重点,
1,模型, 质点、质点系、刚体,
2,概念,位矢、位移、速度、加速度；
角位置、角位移、角速度,
角加速度；
3,计算, 运动学的两类基本问题
课时, 4
第一章 质点运动学
§ 1-1 质点运动的描
述
一、参考系 质点
?描述物质运动具有相对性
坐标系,用以标定物体的空间位置而设置的坐
标系统
?物质运动具有绝对性
参考系,为描述物体的运动而选取的参考物体
质点,具有一定质量的几何点
两种可以把物体看作质点来处理的情况,
?作平动的物体，可以被看作质点
?两相互作用着的物体，如果它们之间的
距离远大于本身的线度，可以把这两物体
看作质点
x
y
z
o
p
r
直角坐标 极坐标系
O
极轴
径向 角向
r
?
P
自然坐标系
O
n?
??
P
常见的坐标系,直角坐标系，极坐标系，柱坐标系,
球坐标系，自然坐标 …,.,
要解决任何具体力学问题,首先应选取一个适当的参考
系,并建立适当的坐标系,否则就无从讨论物体的运动。
O
P
Pr
?
x
y
z
? 直角坐标描述 xyzo ?
OP
Pr
???
? 定义,从参考点 O指向空间 P点的有向线段叫
做 P点的位置矢量,简称位矢或矢径。表示为,
Pr
?
1,描述质点在空间的位置 —— 位置矢量
单位矢量,
kji ???,,i
?
j?
k?
二,位置矢量 运动方程 位移
直角坐标中位矢的表达式
?
o
?
?
y
x
z
r?
? ?zyxP,,
x
z
y
kji zyxr ???? ???
222 zyxrr ???? ?
大小,
1c o sc o sc o s
c o s,c o s,c o s
222
???
???
???
???
r
z
r
y
r
x
方向,
由 ?式写出对应的参数方程,
??
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx 消去参数 t 质点运动
的轨迹方
程
在直角坐标系中，质点运动方程的具体形式为,
???? ?????? kji tztytxr )()()(
)( trr ?? ?
随时间变化的函数 称为质点的运动方程。 r? )(tr?
2.质点的运动方程
质点运动的轨迹方程
例 1,OA = BA = AC,OA 以角速度 ? 绕 O旋转,
B,C 分别沿 y,x 轴运动,现有一点 P,已知
BP = a,PC = b,求 P 点的轨迹方程。
思路,
(1) 确定 P 的位置
jyixr ??? ??
(2) 写出参数方程
(3) 消去 t,得到轨迹方程
?
y
O x
B
A
C
P(x,y)
? r
a
b
解, 以 OA 与 x 轴重合时为
计时起点 则,? =? t
jtbitar ??? ?? s i nco s ???
运动方程,
消去 t 得轨迹方程,
1
2
2
2
??
b
y
a
x 2
?
?
?
?
?
tby
tax
?
?
s i n
c o s参数方程,
椭圆规
原理
?
y
O x
B
A
C
P(x,y)
? r
a
b
x
y
解,(1) 先写参数方程
?
?
?
??
?
22
2
ty
tx
消去 t 得轨迹方程,
4
2
2x
y ??
(2) 位置矢量,
t = 0时,x = 0 y= 2
t = 2时,x = 4 y = -2
jir
jr
???
??
24
2
???
?
例 2.已知：质点的运动方程 jtitr ??? )2(2 2???
求,(1) 质点的轨迹；
(2) t = 0s 及 t = 2s 时,质点的位置矢量。
(SI)
抛物线
4
2
2x
y ??
jir
jr
???
??
24
2
???
?
位置矢量的大小,
( m )47.4)2(4
( m )2
22 ???????
??
rr
rr
?
?
位置矢量的方向,
2326
4
2
a r c t g
90
0
2
a r c t g
???
?
???
??
?
?
?
?
?
?
轴之间的夹角与
轴夹角与
xr
xr
o
y
x
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
?
3,描述质点位置变动的大小和方向 —— 位移矢量
△ r A
B
O
rB rA
定义,质点沿曲线运动
ArAt
?,时刻：
BrBtt
?,:时刻??
时间内位置变化的 净效果,
rrrAB AB ??? ????
末
位
矢
初
位
矢
位矢
增量
位移
矢量
t?
直角坐标表示（以二维情况为例）,
jyixr AAA ??? ??
jyixr BBB ??? ??
Ar?
Br?
△ r
A
B
O
y
x?
y??
x
jyix
jyyixxr
ABAB
??
???
????
????? )()(
x
y
?
?? a r c t g?
22 )()( yxr ????? ?
rr ??? ?
讨论
AB
ABAB
rrr
rrrrr
???
??
???
?????
Ar
?
Br
?O
r??
r?
sr ??? 何时取等号？
位移, 是矢量，表示质点位置
变化的净效果，与质点运动轨
迹无关，只与始末点有关。
路程, 是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点
运动轨迹有关。 直线直进运动
曲线运动 0??t
比较位移和路程
△ r A
B
s?
ABr ?? s A B??
o
y
x
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
?
解, (1) 位移,
ji
jji
rrr
??
???
???
44
224
??
???
????
例 3.求例 2中 P,Q两点间的位移和路程。
m65.5)4(4 22 ????? r?
44
4a r c t g ?? ????
?
大小,
方向,
0?
jir
jr
???
??
24
2
???
?
22 )d()d(d yxs ??
dx
dy
ds
??? QP ss d
(2) 路程,
xx
yxs
xxy
x
y
ty
tx
d4
2
1
)d()(dd 于是
d
2
1
d
4
2
2
2
2
22
2
2
??
??
???
???
?
?
?
??
?
o
y
x
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
?
0?
注意,数学方法在物理问题
中的应用。
o
y
x
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
?
0?
? ?
4
2
0
4
22
0
1
d 4 d
2
1
4 4 l n 4
4
5.9 1 m
Q
P
s s x x
x x x x
? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
????
?
??
t
rv
?
?? ??
平均速度,
物理思想？
△
r A
B
O
rA rB
粗略描述,
ArAt
?,时刻：
BrBtt
?,:时刻??
位移, r??
变速运动 总效果相同的匀速直线运动
类比
三 描述质点运动的快慢和方向 —— 速度矢量
精确描述,
速度是位矢对时间的一阶导数，其
方向沿轨道上质点所在处的切线，
指向前进的一侧。
注意速度的矢量性和瞬时性。
瞬时速度,当 △ t 趋于 0时,B点趋于 A 点，平均速
度的极限表示质点在 t 时刻通过 A 点的瞬时速度，
简称速度。表示为,
t
r
t
rv
t d
dl im
0
???
????
??
A
BB?
B?
v?
r??
在直角坐标系中,
222
d
d
d
d
d
d
d
d
zyx
zyx
vvvv
kvjviv
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
v
???
???
????
?
???
???
?
?
速度的大小,
kji zyxr ???? ???
平均速率
t
sv
?
??
瞬时速率
t
s
t
sv
t d
dlim
0
????
??
讨论
dddd trtr ?
?
vv ??
vv ??
（ 1）
（ 2）
（ 3）
速度与速率的关系
速率是标量
vv ??
（ 1）
v
t
s
t
rvsr ?
?
??
?
?????? ????,
平均速度的大小不等于平均速率
vv ??
（ 2）
v
t
s
t
r
vsr
rst
tt
?????
?????
????
d
d
d
d
dd
,limlim0
00 ?
??
?
即
，时
速度的大小等于速率。
t
r
t
s
t
r
v
rrrr
d
d
d
d
d
d
dd,
????
?????
?
?
??
?
Ar
?
Br
?O
r??
r?
dddd trtr ?
?（ 3）
例 4,已知,
)SI()2(2 2 jtitr ??? ???
求, 2秒末速度的大小
? ? ? ?
1-
2
4
3
4
2
22
2
sm58.3
5
58
2
4
2
d
d
422
22
????
?
??
?????
???
vt
t
t
t
r
v
tttr
tytx
解一,
? ?
1-
2
222
2
sm47.4522
12
22
22
d
d
22
????
????
???
???
???
vt
tvvv
tvv
jti
t
r
v
jtitr
yx
yx
??
?
?
??
?
解二,
判断正误并说明理由 思考
四, 描述质点速度大小、方向变化的快慢 — 加速度矢量
物理思想？
t
va
?
?? ??
用 可粗略描述质点速度改
变快慢和方向,称为平均加速
度 。
表示为,
t
v
?
??
A
B
Av
?
Bv
?
Av?
v??
平均加速度 —— 质点在 A, B
两点的速度分别是 在 △ t
时间内从 A 运动到 B速度改变
为 。
,,BA vv ??
AB vvv
??? ???
物理思想,
变速运动 总效果相同的匀变速直线运动
类比
瞬时加速度 —— 当 △ t 趋于 0时，求得平均加速度
的极限，表示质点通过 A 点的瞬时加速度，简称加
速度。表示为,
2
2
0 d
d)
d
d(
d
d
d
dlim
t
r
t
r
tt
v
t
va
t
?????
???
?
??
??
加速度等于速度对时间的一阶导数,或位移对
时间的二阶导数。
直角坐标系表示,
222
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
zyx
zyx
z
y
x
aaaa
kajaia
k
t
z
j
t
y
i
t
x
k
t
v
j
t
v
i
t
v
t
v
a
???
???
???
????
?
???
???
???
?
?
kvjvivk
t
zj
t
yi
t
x
t
rv
zyx
????????
???????
d
d
d
d
d
d
d
d
例 4：已知,
)SI()2(2 2 jtitr ??? ???
求, 2秒末加速度的大小
a =2 沿 -y 方向，与时间无关。 -2sm?
? ?
j
t
v
a
jti
t
r
v
jtitr
?
?
?
??
?
?
???
2
d
d
22
d
d
22
2
???
???
???
解,
o
y
x
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
?
思考,
dt
d
d
d v
t
v ??
Av
?
Bv
?
v??
v?
l iml im
00t t
v
t
v
t ?
??
?
?
????
?
dt
d
d
d v
t
v ?? ?
五、运动学的两类问题
运动方程是运动学问题的核心
1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及
加速度
? ? 2
2
dt
rd
dt
vda
dt
rdvtrr ??????? ????
2、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及
初始条件求质点的运动方程
?? ?? ttvv dtavddtavd 00,???? ??
?? ?? ttrr dtvrddtvrd 00,????
?
?
例 5 已知质点的运动方程 ? ? jtitr ??? 22192 ???
求,（ 1）轨道方程； （ 2） t=2秒时质点的位置、速度
以及加速度； （ 3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？
解,22,1 9 2x t y t? ? ?(1)
消去时间参数
2119
2yx??
（ 2） ? ?2
2 2 2 1 9 2 2 4 1 1r i j i j? ? ? ? ? ? ?
24drv i tjdt? ? ? ? ?12 28v i j m s ?? ? ?
? ? 2212 2 8 8, 2 5v m s ?? ? ? ? ?1 8 7 5 5 82tg? ? ? ?? ? ? ?
)(4 1??? sma 方向沿 y轴的负方向
（ 3）
（ 4） ? ? ? ?
22 1 9 2 2 4r v t i t j i t j??? ? ? ? ? ???
224 4 ( 1 9 2 ) 4 ( 2 1 8 )t t t t t? ? ? ? ?
8 ( 3 ) ( 3 ) 0t t t? ? ? ?
120 ( ),3 ( )t s t s??
两矢量垂直
24drv i t j
dt
? ? ? 4dvaj
dt
? ? ?
描述质点运动的基本物理量 小 结
作业,P25 1-1; 1-3; 1-9
位置, )(,trr ??位矢
位移
12 rrr
??? ???
位置变化,
位置变化率,速度
t
rv
d
d ?? ?
速度变化率, 加速度
2
2
d
d
d
d
t
r
t
va ??? ??
1,模型, 质点、质点系、刚体,
2,概念,位矢、位移、速度、加速度；
角位置、角位移、角速度,
角加速度；
3,计算, 运动学的两类基本问题
课时, 4
第一章 质点运动学
§ 1-1 质点运动的描
述
一、参考系 质点
?描述物质运动具有相对性
坐标系,用以标定物体的空间位置而设置的坐
标系统
?物质运动具有绝对性
参考系,为描述物体的运动而选取的参考物体
质点,具有一定质量的几何点
两种可以把物体看作质点来处理的情况,
?作平动的物体，可以被看作质点
?两相互作用着的物体，如果它们之间的
距离远大于本身的线度，可以把这两物体
看作质点
x
y
z
o
p
r
直角坐标 极坐标系
O
极轴
径向 角向
r
?
P
自然坐标系
O
n?
??
P
常见的坐标系,直角坐标系，极坐标系，柱坐标系,
球坐标系，自然坐标 …,.,
要解决任何具体力学问题,首先应选取一个适当的参考
系,并建立适当的坐标系,否则就无从讨论物体的运动。
O
P
Pr
?
x
y
z
? 直角坐标描述 xyzo ?
OP
Pr
???
? 定义,从参考点 O指向空间 P点的有向线段叫
做 P点的位置矢量,简称位矢或矢径。表示为,
Pr
?
1,描述质点在空间的位置 —— 位置矢量
单位矢量,
kji ???,,i
?
j?
k?
二,位置矢量 运动方程 位移
直角坐标中位矢的表达式
?
o
?
?
y
x
z
r?
? ?zyxP,,
x
z
y
kji zyxr ???? ???
222 zyxrr ???? ?
大小,
1c o sc o sc o s
c o s,c o s,c o s
222
???
???
???
???
r
z
r
y
r
x
方向,
由 ?式写出对应的参数方程,
??
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx 消去参数 t 质点运动
的轨迹方
程
在直角坐标系中，质点运动方程的具体形式为,
???? ?????? kji tztytxr )()()(
)( trr ?? ?
随时间变化的函数 称为质点的运动方程。 r? )(tr?
2.质点的运动方程
质点运动的轨迹方程
例 1,OA = BA = AC,OA 以角速度 ? 绕 O旋转,
B,C 分别沿 y,x 轴运动,现有一点 P,已知
BP = a,PC = b,求 P 点的轨迹方程。
思路,
(1) 确定 P 的位置
jyixr ??? ??
(2) 写出参数方程
(3) 消去 t,得到轨迹方程
?
y
O x
B
A
C
P(x,y)
? r
a
b
解, 以 OA 与 x 轴重合时为
计时起点 则,? =? t
jtbitar ??? ?? s i nco s ???
运动方程,
消去 t 得轨迹方程,
1
2
2
2
??
b
y
a
x 2
?
?
?
?
?
tby
tax
?
?
s i n
c o s参数方程,
椭圆规
原理
?
y
O x
B
A
C
P(x,y)
? r
a
b
x
y
解,(1) 先写参数方程
?
?
?
??
?
22
2
ty
tx
消去 t 得轨迹方程,
4
2
2x
y ??
(2) 位置矢量,
t = 0时,x = 0 y= 2
t = 2时,x = 4 y = -2
jir
jr
???
??
24
2
???
?
例 2.已知：质点的运动方程 jtitr ??? )2(2 2???
求,(1) 质点的轨迹；
(2) t = 0s 及 t = 2s 时,质点的位置矢量。
(SI)
抛物线
4
2
2x
y ??
jir
jr
???
??
24
2
???
?
位置矢量的大小,
( m )47.4)2(4
( m )2
22 ???????
??
rr
rr
?
?
位置矢量的方向,
2326
4
2
a r c t g
90
0
2
a r c t g
???
?
???
??
?
?
?
?
?
?
轴之间的夹角与
轴夹角与
xr
xr
o
y
x
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
?
3,描述质点位置变动的大小和方向 —— 位移矢量
△ r A
B
O
rB rA
定义,质点沿曲线运动
ArAt
?,时刻：
BrBtt
?,:时刻??
时间内位置变化的 净效果,
rrrAB AB ??? ????
末
位
矢
初
位
矢
位矢
增量
位移
矢量
t?
直角坐标表示（以二维情况为例）,
jyixr AAA ??? ??
jyixr BBB ??? ??
Ar?
Br?
△ r
A
B
O
y
x?
y??
x
jyix
jyyixxr
ABAB
??
???
????
????? )()(
x
y
?
?? a r c t g?
22 )()( yxr ????? ?
rr ??? ?
讨论
AB
ABAB
rrr
rrrrr
???
??
???
?????
Ar
?
Br
?O
r??
r?
sr ??? 何时取等号？
位移, 是矢量，表示质点位置
变化的净效果，与质点运动轨
迹无关，只与始末点有关。
路程, 是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点
运动轨迹有关。 直线直进运动
曲线运动 0??t
比较位移和路程
△ r A
B
s?
ABr ?? s A B??
o
y
x
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
?
解, (1) 位移,
ji
jji
rrr
??
???
???
44
224
??
???
????
例 3.求例 2中 P,Q两点间的位移和路程。
m65.5)4(4 22 ????? r?
44
4a r c t g ?? ????
?
大小,
方向,
0?
jir
jr
???
??
24
2
???
?
22 )d()d(d yxs ??
dx
dy
ds
??? QP ss d
(2) 路程,
xx
yxs
xxy
x
y
ty
tx
d4
2
1
)d()(dd 于是
d
2
1
d
4
2
2
2
2
22
2
2
??
??
???
???
?
?
?
??
?
o
y
x
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
?
0?
注意,数学方法在物理问题
中的应用。
o
y
x
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
?
0?
? ?
4
2
0
4
22
0
1
d 4 d
2
1
4 4 l n 4
4
5.9 1 m
Q
P
s s x x
x x x x
? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
????
?
??
t
rv
?
?? ??
平均速度,
物理思想？
△
r A
B
O
rA rB
粗略描述,
ArAt
?,时刻：
BrBtt
?,:时刻??
位移, r??
变速运动 总效果相同的匀速直线运动
类比
三 描述质点运动的快慢和方向 —— 速度矢量
精确描述,
速度是位矢对时间的一阶导数，其
方向沿轨道上质点所在处的切线，
指向前进的一侧。
注意速度的矢量性和瞬时性。
瞬时速度,当 △ t 趋于 0时,B点趋于 A 点，平均速
度的极限表示质点在 t 时刻通过 A 点的瞬时速度，
简称速度。表示为,
t
r
t
rv
t d
dl im
0
???
????
??
A
BB?
B?
v?
r??
在直角坐标系中,
222
d
d
d
d
d
d
d
d
zyx
zyx
vvvv
kvjviv
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
v
???
???
????
?
???
???
?
?
速度的大小,
kji zyxr ???? ???
平均速率
t
sv
?
??
瞬时速率
t
s
t
sv
t d
dlim
0
????
??
讨论
dddd trtr ?
?
vv ??
vv ??
（ 1）
（ 2）
（ 3）
速度与速率的关系
速率是标量
vv ??
（ 1）
v
t
s
t
rvsr ?
?
??
?
?????? ????,
平均速度的大小不等于平均速率
vv ??
（ 2）
v
t
s
t
r
vsr
rst
tt
?????
?????
????
d
d
d
d
dd
,limlim0
00 ?
??
?
即
，时
速度的大小等于速率。
t
r
t
s
t
r
v
rrrr
d
d
d
d
d
d
dd,
????
?????
?
?
??
?
Ar
?
Br
?O
r??
r?
dddd trtr ?
?（ 3）
例 4,已知,
)SI()2(2 2 jtitr ??? ???
求, 2秒末速度的大小
? ? ? ?
1-
2
4
3
4
2
22
2
sm58.3
5
58
2
4
2
d
d
422
22
????
?
??
?????
???
vt
t
t
t
r
v
tttr
tytx
解一,
? ?
1-
2
222
2
sm47.4522
12
22
22
d
d
22
????
????
???
???
???
vt
tvvv
tvv
jti
t
r
v
jtitr
yx
yx
??
?
?
??
?
解二,
判断正误并说明理由 思考
四, 描述质点速度大小、方向变化的快慢 — 加速度矢量
物理思想？
t
va
?
?? ??
用 可粗略描述质点速度改
变快慢和方向,称为平均加速
度 。
表示为,
t
v
?
??
A
B
Av
?
Bv
?
Av?
v??
平均加速度 —— 质点在 A, B
两点的速度分别是 在 △ t
时间内从 A 运动到 B速度改变
为 。
,,BA vv ??
AB vvv
??? ???
物理思想,
变速运动 总效果相同的匀变速直线运动
类比
瞬时加速度 —— 当 △ t 趋于 0时，求得平均加速度
的极限，表示质点通过 A 点的瞬时加速度，简称加
速度。表示为,
2
2
0 d
d)
d
d(
d
d
d
dlim
t
r
t
r
tt
v
t
va
t
?????
???
?
??
??
加速度等于速度对时间的一阶导数,或位移对
时间的二阶导数。
直角坐标系表示,
222
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
zyx
zyx
z
y
x
aaaa
kajaia
k
t
z
j
t
y
i
t
x
k
t
v
j
t
v
i
t
v
t
v
a
???
???
???
????
?
???
???
???
?
?
kvjvivk
t
zj
t
yi
t
x
t
rv
zyx
????????
???????
d
d
d
d
d
d
d
d
例 4：已知,
)SI()2(2 2 jtitr ??? ???
求, 2秒末加速度的大小
a =2 沿 -y 方向，与时间无关。 -2sm?
? ?
j
t
v
a
jti
t
r
v
jtitr
?
?
?
??
?
?
???
2
d
d
22
d
d
22
2
???
???
???
解,
o
y
x
Q
r?
r??
P 2
-2
4
??
?
思考,
dt
d
d
d v
t
v ??
Av
?
Bv
?
v??
v?
l iml im
00t t
v
t
v
t ?
??
?
?
????
?
dt
d
d
d v
t
v ?? ?
五、运动学的两类问题
运动方程是运动学问题的核心
1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及
加速度
? ? 2
2
dt
rd
dt
vda
dt
rdvtrr ??????? ????
2、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及
初始条件求质点的运动方程
?? ?? ttvv dtavddtavd 00,???? ??
?? ?? ttrr dtvrddtvrd 00,????
?
?
例 5 已知质点的运动方程 ? ? jtitr ??? 22192 ???
求,（ 1）轨道方程； （ 2） t=2秒时质点的位置、速度
以及加速度； （ 3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？
解,22,1 9 2x t y t? ? ?(1)
消去时间参数
2119
2yx??
（ 2） ? ?2
2 2 2 1 9 2 2 4 1 1r i j i j? ? ? ? ? ? ?
24drv i tjdt? ? ? ? ?12 28v i j m s ?? ? ?
? ? 2212 2 8 8, 2 5v m s ?? ? ? ? ?1 8 7 5 5 82tg? ? ? ?? ? ? ?
)(4 1??? sma 方向沿 y轴的负方向
（ 3）
（ 4） ? ? ? ?
22 1 9 2 2 4r v t i t j i t j??? ? ? ? ? ???
224 4 ( 1 9 2 ) 4 ( 2 1 8 )t t t t t? ? ? ? ?
8 ( 3 ) ( 3 ) 0t t t? ? ? ?
120 ( ),3 ( )t s t s??
两矢量垂直
24drv i t j
dt
? ? ? 4dvaj
dt
? ? ?
描述质点运动的基本物理量 小 结
作业,P25 1-1; 1-3; 1-9
位置, )(,trr ??位矢
位移
12 rrr
??? ???
位置变化,
位置变化率,速度
t
rv
d
d ?? ?
速度变化率, 加速度
2
2
d
d
d
d
t
r
t
va ??? ??
