一、刚体的定轴转动（运动）
二、力矩、刚体定轴转动的转动定律、转动惯量
三、刚体的角动量、角动量定理和角动量守恒定律
四、力矩作功、刚体定轴转动的动能定理
主要
内容,
刚体定轴转动定律 角动量定理
结构框图
角动量
角动量
变化率
转动
惯量
角动量守
恒定律
力矩
作功
转动
动能
动能
定理
刚体转动
力矩 牛顿定律
角量 角速度、角加速度
角量与线
量关系
刚体运动学
刚体动力学
§ 4-1 刚体的定轴转动
一、刚体的基本运动
在运动过程中，其上任意两点的连线在
各个时刻位置始终保持平行的运动。
平动,
刚体,在无论多大的外力作用下，其形状和大小
都不发生任何变化的物体。即其内部任意
两点之间距离永远不变，刚体的各部分之
间没有相对运动。
说明,① 刚体是一个物体，可视为由许多质点组成；因此
研究质点系的方法和得出的一般结论均适合刚体。
② 刚体是物理学中的一个理想模型，绝对的刚体是
不存在的。
刚体的平动：用质点的运动处理。
二、刚体转动的角速度、角加速度
由 右手螺旋法则 确定,右手弯
曲的四指沿转动方向，伸直的
大拇指即为角速度 的方向。 ??
定轴
转动,
转轴固定不动的转动。 各质元均作圆周运动，
其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。
各质元的线量一般不同（因为半径不同）但
角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。
一般刚体的运动,质心的平动＋绕质心的转动
转动,刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。
称为刚体的转动。这条直线称为转轴。
??
r?
v?
线速度与角速
度之间的关系,rv ??? ?? ?
注意,?,?是矢量，由于在定轴转动中轴的方
位不变，故用正负表示其方向。
在刚体作 匀加
速转动 时，相
应公式如下,???????
????
2
2
1
2
0
2
0
2
00
????
???
t
tt
刚体运动学中所用
的 角量 关系及 角量
和线量 的关系如下,
2
2
2
???
??
?
?
?
rararv
dt
d
dt
d
dt
d
nt ???
??＝
角加速度矢量,
dt
d?? ?? ?
作业,P149 4-1 4-2
z
F
d o
§ 4-2 力矩 转动定律转动惯量
一、力矩
在垂直与转轴的平
面内，外力 与力线到
转轴的距离 d(力臂 )的乘
积定义为对转轴的力矩。
F
M r F??
力矩逆时针方向 为正。 M?
力矩顺时针方向 为负。 M?
M?
r? ?
② 力矩,
定轴转动，规定,?
① 力臂：从转轴 与
截面的交点 O到力
的作用线的垂直距离
d～力 对转轴的力
臂
F
F
z
按矢量叠加。
若几个外力同时作用在一个绕定轴转动的刚体上，且
这几个外力都在与转轴相垂直的平面内，则它们的合
外力矩等于这几个外力矩的代数和。
③ 合 力矩,
即,大小为 ；方向：右手法则确定。 M sinFr ?
单位,牛顿米；量纲,。 Nm? 22ML T ?
注,如果作用在刚体上的外力不在垂直转轴的平面内，
那么 应当理解为外力在平面内的分矢量，这样该分
矢量才对刚体转动产生影响。
结论,刚体内各质点间的作用力对转袖的合内力矩
等于零。（参见 P116 图 4-12,4-13)
右手法则,把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的
方向是由径矢 通过小于 的角转向力 的方向，
这时拇指所指的方向就是力矩的方向,
0180 Fr
z
Oi r
i
二、刚体定轴转动的转动定律
?mi
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定
轴转动的动力学规律。
Oz
设,为定轴,为
刚体中任一质点,其
质量为 。质点
受外力,内力
的作用，均在与 轴
相垂直的同一平面内。
oz P
iF iF?
im? i
i
① 牛顿第二定律,
i iiiF F m a?? ? ?
itF?
iF?
iF
itF
建立自然坐标：切向、法向；
切向分量式为,
注：切向分力与圆的半径及转轴三者互相垂直。
切向分量式两边乘以 ri,有,
外力矩 内力矩
i t i t i i t i iF F m a m r ??? ? ? ? ?
法向分量式为,
i n i n i i nF F m a?? ? ?
② 利用,即为,
i i tM r F?M r F??
2i t i i t i i iF r F r m r ??? ? ?
③ 对所有质元的同样的式子求和,
一对内力的力矩之和为零，所以有
为刚体对于转轴的 转动惯量
～合外力矩
则有,
结论,刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所
受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比,
叫做定轴转动时刚体的转动定律，简称 转动定律 。
转动定律是解决刚体定轴转动问题的基本方程。
?mj
?mi
ro r
j r
i Oi
Z
ijF
jiF
2i t i i t i i
iF r F r m r ??? ? ?? ? ?
2i t i i iF r m r ?????
2iiJ m r???
④ 定义,
i t iM F r? ?
MJ ??
m反映质点的平动惯性,J反映刚体的转动惯性
与 amF＝ 地位相当 MJ ??
三、转动惯量 J
2.与转动惯量有关的因素,①刚体的质量；②转轴的
位置；③刚体的形状。
实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量
分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
1.转动惯量的物理意义,
当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同
刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转
动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变
得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转
动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变
得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转
动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。
? ?
i
ii rmJ
2＝ 若质量连续分布 ?? dmrJ 2
在（ SI）中,J 的单位,kgm2 量纲,ML2
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下,
dldm ??
dsdm ??
dVdm ??
质量为线分布
质量为面分布
质量为体分布
其中 ?,?,?分别
为质量的线密度、
面密度和体密度。
线分布 面分布 体分布
3.转动惯量的计算
教材 P121 表 4-2 几种 均匀刚体的转动惯量
例 1、求质量为 m、半径为 R的均匀圆环的转动惯量。
轴与圆环平面垂直并通过圆心。
R O
解,
222 mRdmRdmRJ ??? ??
J是可加的，所以若为薄
圆筒（不计厚度）结果相
同。
例 2、求质量为 m、半径为 R、厚为 l 的均匀圆盘的转
动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解：取半径为 r宽为 dr的薄圆环,
l O
R r dr
lr d rdm ??? ?? 2
drlrdmrdJ 32 2 ?? ???
dm
lRdrlrdJJ R 4
0
3
2
12 ???? ???? ??
可见，转动惯量与 l无关。所以，实心圆柱对其轴的
转动惯量也是 mR2/2。
例 3、求长为 L、质量为 m的均匀细棒对图中不同轴的
转动惯量。
A B
L X
A B
L/2 L/2
C
X
解：取如图坐标,dm=?dx
12/22
2
2 mLdxxJ
L
LC ?? ?? ?
2
2 2
1 mRJ
lR
m ???
???
3/20 2 mLdxxJ LA ?? ? ?
例 4,求质量 m,半径 R 的球壳对直径的转动惯量
解,取离轴线距离相等的点的
集合为积分元
24 R
m
?? ?
???? ds in2d2d RRlrs ???
??? ds i n21dd msm ??
? ? ??? ds i n21ds i ndd 3222 mRmRmrJ ???
? ? ???
?
??
0
232
3
2ds in
2
1d mRmRJJ
o
R
ld
?
?d
r
例 5,求质量 m,半径 R 的球体对直径的转动惯量
解,以距中心,厚 的球壳
为积分元
r rd
rrV d4d 2??
3
3
4
R
m
?
? ?
Vm dd ??
3
4
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3
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R
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3
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二、力矩、刚体定轴转动的转动定律、转动惯量
三、刚体的角动量、角动量定理和角动量守恒定律
四、力矩作功、刚体定轴转动的动能定理
主要
内容,
刚体定轴转动定律 角动量定理
结构框图
角动量
角动量
变化率
转动
惯量
角动量守
恒定律
力矩
作功
转动
动能
动能
定理
刚体转动
力矩 牛顿定律
角量 角速度、角加速度
角量与线
量关系
刚体运动学
刚体动力学
§ 4-1 刚体的定轴转动
一、刚体的基本运动
在运动过程中，其上任意两点的连线在
各个时刻位置始终保持平行的运动。
平动,
刚体,在无论多大的外力作用下，其形状和大小
都不发生任何变化的物体。即其内部任意
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间没有相对运动。
说明,① 刚体是一个物体，可视为由许多质点组成；因此
研究质点系的方法和得出的一般结论均适合刚体。
② 刚体是物理学中的一个理想模型，绝对的刚体是
不存在的。
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二、刚体转动的角速度、角加速度
由 右手螺旋法则 确定,右手弯
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转轴固定不动的转动。 各质元均作圆周运动，
其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。
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角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。
一般刚体的运动,质心的平动＋绕质心的转动
转动,刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。
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§ 4-2 力矩 转动定律转动惯量
一、力矩
在垂直与转轴的平
面内，外力 与力线到
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② 力矩,
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① 力臂：从转轴 与
截面的交点 O到力
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这几个外力都在与转轴相垂直的平面内，则它们的合
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③ 合 力矩,
即,大小为 ；方向：右手法则确定。 M sinFr ?
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注,如果作用在刚体上的外力不在垂直转轴的平面内，
那么 应当理解为外力在平面内的分矢量，这样该分
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结论,刚体内各质点间的作用力对转袖的合内力矩
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二、刚体定轴转动的转动定律
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轴转动的动力学规律。
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结论,刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所
受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比,
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三、转动惯量 J
2.与转动惯量有关的因素,①刚体的质量；②转轴的
位置；③刚体的形状。
实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量
分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
1.转动惯量的物理意义,
当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同
刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转
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得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转
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质量为面分布
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面密度和体密度。
线分布 面分布 体分布
3.转动惯量的计算
教材 P121 表 4-2 几种 均匀刚体的转动惯量
例 1、求质量为 m、半径为 R的均匀圆环的转动惯量。
轴与圆环平面垂直并通过圆心。
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圆筒（不计厚度）结果相
同。
例 2、求质量为 m、半径为 R、厚为 l 的均匀圆盘的转
动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解：取半径为 r宽为 dr的薄圆环,
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转动惯量也是 mR2/2。
例 3、求长为 L、质量为 m的均匀细棒对图中不同轴的
转动惯量。
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