四、平行轴定理
前例中 JC表示相对通过质心的轴的转动惯量,JA表
示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距
L/2。可见,
222
2
3
1
4
1
12
1
2
mLmLmLLmJJ CA ????
?
??
?
?＋＝
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，
相距为 d，刚体对其转动惯量为 J，则有,
这个结论称为 平行轴定理 。
2CJ J m d＝ ＋
例：右图所示刚体对
经过棒端且与棒垂直
的轴的转动惯量如何
计算？ (棒长为 L、球
体半径为 R）
2
1 3
1 LmJ
LL ?
22
5ooJ m R?
2002 dmJJ L ??
2 2 212 ()
35L o oJ m L m R m L R? ? ? ?
作业,P150
4-8 4-9
L
om
o
RLmz
z?
解,棒绕 zz’轴的
转动惯量,
球体绕球心 O
的转动惯量,
利用平行轴定理,
五、刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，
绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处
摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时
的速度和此时滑轮的角速度。
解：如图所示,M,m的受力图得知,
,m m g T m a a R ?? ? ?
21
2M M T R J J M R?
??,＝ ＝ ＝
M
m
Mg
mg
T
T?
N
a
TT??
Mm
m g h
RR
v
?
??
2
41
?
例 2、一个飞轮的质量为 69kg，半
径为 0.25m,正在以每分 1000转的转
速转动。现在要制动飞轮，要求在
5.0秒内使它均匀减速而最后停下
来。求闸瓦对轮子的压力 N为多大？
2
4
2
Mm
m g h
ahv
?
??
g
Mm
m
a
2?
?解方程得：
F
?0
解：飞轮制动时有角加速度
t
0??? ??
2
0
r a d /s9.20s5 0
r a d /s7.1 0 4m in/r1 0 0 0
?????
??
??
?
t
外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。
??? 2mRJNRRfM r ?????＝
?? 2mRNR ?? N784???
?
?mRN
? ?0
N f
r
例 3、一根长为 l、质量为 m的均匀细直棒，其一端有一
固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最
初棒静止在水平位置，求它由此下摆 ?角时的角加速度
和角速度。
解：棒下摆为加速过程，
外力矩为重力对 O的力矩。
棒上取质元 dm,当棒处在
下摆 ?角时, 重力矩为,
?? ? x d mgg x d mM ＝
? X O
dmg
dm
x
Cmxx d m ＝据质心定义 ? Cm g xM ??
重力对整个棒的合力矩与全
部重力集中作用在质心所产
生的力矩一样。
?c o s21 lx c ?
?c o s21 m g lM ?
l
g
ml
mg l
J
M
2
c o s3
3
1
c o s
2
1
2
?
?
? ???
mg
C
?
dmg
X O
dm
xc
???????? ddJdtdddJdtdJJM ????
c o s21 ?m g lM ＝代入
???? dJdm g l ?c o s21
?? ? ?? ???? 00 c o s21 dJdm g l
2
2
1s i n
2
1 ?? Jm g l ?
l
g
J
m g l ??
?
s i n3s i n
??
??? dJMd ?
作业,P151
4-10 4-14
§ 4-3 角动量、角动量守恒定律
1、质点的角动量
vmrPrL ????
～讨论力矩对时间的累积作用，得出角动量定理
和角动量守恒定律。
一、质点的角动量定理和角动量守恒定律
mv
L L
r
r
mv
设质量为 m的质点在时
刻 t以速度 运动，它
对所取参考点 O的角动
量定义,
v
其方向：右手法则确定；
s inL r m v ??大小,
注意,质点的角动量是与位矢、动量、参考点 0的
选择有关。因此在讲述质点的角动量时，必须指明
是对哪一点的角动量。
例：若质点在半径为 r的圆周上运动，在某一时刻，
质点位于点 A速度为 。
v以圆心 0为参考点，那么,
rv?
质点绕 oz轴做圆周运动角动量为,2L r m v m r ???
2、质点的角动量定理
()d m vF
dt?
～质点的角动量定义、牛顿定律导出。
()dr F r m vdt? ? ?
因为,( ) ( ) ( )d d d rr m v r m v m v
d t d t d t? ? ? ? ?
设质量为 m的质点，在合外力 作用下，其运动方
程为,
F
质点对参考点 O的位矢为,故以 叉乘上式两边，
有,
r r
( ) 0dr m v v vdt ? ? ? ?
其中,
所以,
()dr F r m vdt? ? ?
～作用于质点的合力对参考点 O的力矩，等于质点
对该点 O的角动量随时间的变化率。
这与牛顿第二定律在形式上是相似的,
MF?
上式还可写成,M d t d L?
合力 对参考点 0的合力矩,F M r F??
()d d LM r m vd t d t? ? ?
LP?
力矩与作用时间的乘积，叫做 冲量矩
2
1
21
t
t
M d t L L L? ? ? ??
～质点的角动量定理
质点的角动量定理,
对同一参考点 0，质点所受的冲量矩等于质点角
动量的增量。
L r m v C? ? ?
3、质点的角动量守恒定律
若质点所受合力矩为零，即,则有,0M ?
当质点所受对参考点 O的合力矩为零时，质点对该
参考点 O的角动量为一恒矢量。
～质点的角动量守恒定律
注意,0M ? 有两种情况：①
0F ? ② 0F ?
通过参考点 O，即 F //Fr
单位,千克二次方米每秒； 21k g m s ??? 21ML T ?量纲,。
1,定轴转动刚体的角动量
??? 2iiio rmL ?即
o对 的角动量,im
iiiio vmrL
??? ??
?
?
? ??
?
?
?
?
方向：沿
大小,2iiiiiio
io
rmvmrL
L
o
转轴 角速度
刚体上任一质点
转轴与其转动平面交点
绕 圆周运动半径为
??
im
z
im o ir
iv
?
im
o r
?
??
转动
平面
z
i
二、刚体的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的特点,
(1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不
同的圆周运动；
(2) 各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。 ??
定义,质点 对 点的角动量的大小，称为质
点对转轴的角动量。 im
o
?2iiiiiz rmvmrL ??? ??
刚体对 z 轴的总角动量为,
??? JrmrmLL
i
ii
i
ii
i
izz ??? ????
22
式中
??
i
ii rmJ
2 ～刚体对轴的转动惯量
2、刚体的角动量定理
对 个质点 组成的质点系，由 N
Nmmm,,,21 ?
t
LFrM
d
d
??
?? ??? 可得
内外
内外
内外
NN
N
MM
t
L
MM
t
L
MM
t
L
??
?
??
??
?
??
?
??
??
??
d
d
d
d
d
d
22
2
11
1
两边求和得
? ?
?
??
?
i i
ii
i
i
MM
t
L
L
t
内外
??
?
?
d
d
d
d
于是,
外外 ii FrMt
L ???
?
??? ?
id
d
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受
外力矩的矢量和 (合外力矩 )
? ?? ???
i i
ii
i
i MMt
LL
t 内外
????
d
d
d
d
注意,合外力矩 是质点系所受各外力矩
的矢量和，而非合力的力矩。 外M
?
由图可知
0??
i
iM 内
?
1?
2?
12f
?
21f
?
1m
2m
1r?
2r?
d
o
在定轴转动中，可用标量表示,
??? JdtdJJdtdLdtdM ???? )(
刚体定轴转动的转动定律实质是角动量定理的沿固
定轴方向的分量式的一种特殊形式。
积分,
22
11
21
tL
tL
M d t d L L L L? ? ? ? ???
对某个固定轴的外力矩
的作用在某段时间内的
积累效果，称为 冲量矩
右边为刚体对同一转动轴
的角动量的增量 。
～ 当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角
动量的增量。 叫做 角动量定理
12 ?? JJL ???
J也改变时,
1122 ?? JJL ???
J不变时,
3、角动量守恒定律
0.,0 ????? LLMdtdLM 即常量则中，若在
L不变的含义为,
刚体,J不变 非刚体,J?不变
注意,0M ? 有两种情况：① 0F ? ② 0F ?
通过参考点 O，即 F //Fr
但它与轴平行，对定轴转动没有
作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。
0M ?
00 4
3)( mvvvmf d t ?????
子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩
为,
? ? ???? ?Jdtfll d tf
因,由两式得 ff ???
200
3
1
4
9
4
3 MlJ
Ml
mv
J
lmv ??? 这里?
解,以 代表棒对子弹的阻力,对子
弹有, f
例 1、如图所示,一质量为 m的子弹以水平速度射入一
静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失 3/4,求子
弹穿出后棒的角速度 ?。已知棒长为,质量为 。 Ml
0
1
4vv?0
,mv f?
M l
例 2.已知：两平行圆柱在水平面内转动,
求：接触且无相对滑动时
202,2101,1,;,?? RmRm
21 ?? ??
.o1 m
1 R
1
.o2
R2 m2
10? 20?
o1,o2,
1? 2
?
解一,因摩擦力为内力，外力过轴,外力矩为零，
则,J1 + J2 系统角动量守恒,以顺时针方向为
正,
? ?12211202101 ???? JJJJ ???
接触点无相对滑动,
? ?22211 RR ?? ?
又,
? ?321 2111 RmJ ?
? ?421 2222 RmJ ?
联立 1,2,3,4式求解，对不对？
o2
F2
o1,
F1
f1
f2
1?
2?
分别以 m1,m2 为研究对象，
受力如图,
o2
F2
o1,
F1
f1
f2
0 )2(
0 )1(
1
2
2
1
?
?
F
F
Mo
Mo
?
?
为轴
为轴
系统角动量不守恒！
解二, 分别对 m1,m2 用角动量定理列方程
设,f1 = f2 = f, 以顺时针方向为正
1?
2?
问题, (1) 式中各角量是否对同轴而言？
(2) J1 +J2 系统角动量是否守恒？
m1对 o1 轴,
1 1 1 1 1 0d,R f t J J??? ? ??
m2对 o2 轴,
2 2 2 2 20d,R f t J J??? ? ? ??
接触点,
2211 RR ?? ?
联立各
式解得,? ?
? ?
221
20221011
2
121
20221011
1
Rmm
RmRm
Rmm
RmRm
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
2
1 1 1
1
2J m R?
2
2 2 2
1
2J m R?
作业,
P152 4-17
一、力矩作功
||c o s rdFrdFdW ??? ????
力矩对转动物体作的功
等于相应力矩和角位移
的乘积。
称为力矩的功。
?? rdF c o s ?
MrFrF ??? ?? c o sc o s?
?MddW ??
x
O
r
v F
P
?
?
dr
d?
§ 4-4 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理
00W d W M d M
?? ??? ? ???
① 如果力矩的大小和方向都不变，则
即恒力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于力
矩的大小与转过的角度的乘积。
22
11
W d W M d???? ?????
② 如果作用在绕定轴转动的刚体上的力矩是变化的，
则
二,力矩的功率
d W dP M M
d t d t
? ?? ? ?
设刚体在恒力矩作用下绕定轴转动时，则力矩
的功率,
即刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量
与角速度二次方的乘积的一半。
2211( ) ( )
22K i i i iiiE m v m r ?? ? ? ???
刚体上所有质元的动能之和为,
222
2
1)(
2
1 ?? Jrm
i
ii ??? ?
四,刚体绕定轴转动的动能定理
三、转动动能
将定轴转动的转动定律两边乘以 d? 再同时对 ? 积
分，有,
2
1
2
2 2
1
2
1 ?? JJ ??
?? 21?? ?? dJ
???
?
ddtdJ?? 2
1
? 21?? ?Md
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于
刚体的转动动能的增量 。
12 KK EEW ??
上式即为,
这个结论称为定轴转动的动能定理。
ii ghm?
五、刚体的重力势能
h
hi
hc
x O
m
C
?m
一个质元,
i
i
iP hgmE ? ??重
c
i
ii m g hhmg ??? ? )(
整个刚体,
一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质
量都集中在质心时所具有的势能。
六、机械能守恒
对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内
力作功,则此系统的机械能守恒。
P139 表 4-3 质点运动与刚体定轴转动对照表
例 1.(P137 例 1)一质量为 M，半径 R的圆盘，盘上绕由
细绳，一端挂有质量为 m的物体。问物体由静止下落
高度 h时，其速度为多大？
mg
T
M
m
解,
解得,
mM
m g hv
2
2
?
?
22
0
11
22TR J J? ? ?? ? ?
22
0
11
22m g h T h m v m v? ? ?
hR ??? vR??
2000,0,2v J M R?? ? ?
a l
o
v
解,
30°
例 2.(P138 例 2） 一长为 l，质量为 M的杆可饶支点 o自
由转动。一质量为 m，速度为 v的子弹射入距支点为 a
的棒内。若棒偏转角为 30° 。问子弹的初速度为多少。
221
3m v a M l m a ?
??????
??
? ? ? ?2 2 211 1 c o s 3 0 1 c o s 3 02 3 2lM l m a m g a M g??? ? ? ? ? ? ? ?????
? ? ? ? ? ?221 2 3 2 36gv M l m a M l m ama? ? ? ?
系统机械能守恒,
系统,杆、子弹，角动量守恒,
例 3.如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同
一点，杆的质量 m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自
然下垂，将单摆的摆锤拉到高度 ho,令它自静止状态
下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆
下端达到的高度 h 。
(1)
m
l
ho
l
c
hc
h’ h=3h0/2
(2)
解,碰撞前单摆摆锤的速度为,
00 2 ghv ?
令碰撞后直杆的角速度为 ?，摆锤的速度为 v＇。
由角动量守恒，有
在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的,
l
vvv
2
3,
2
00 ??? ?
二式联立解得,
2
0
1,
3m lv m lv J J m l??? ? ?式 中
①
2 2 2
0
1 1 1
2 2 2m v m v J ????
②
按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度为
4
0hh ??
而杆的质心达到的高度满足,
cm g hJ ?
2
2
1 ?
2
32 0hhh
c ??
得,
作业,P153 4-23 4-28
刚体的质心被限制在一平面上运动，则这
种刚体的运动就称为 刚体的平面平行运动。
一、定义,
c
c
dvF m a m
dt??
§ 4-5 刚体的平面平行运动
二、研究方法,
刚体运动：质心的平动、刚体绕质心的转动的合成。
① 质心的平动,
zc c c
dM J J
dt
????
② 刚体绕质心的转动,
PcE m g h?
③ 刚体的动能,
刚体质心的平动动能 刚体绕质心的转动动能
2211
22k c cE m v J ???
④ 刚体的势能视为是质心的势能，即,
TcP F m a??
例 1(P140)一绳索缠绕在半径为 R、质量为 m的均匀圆
盘的圆周上，绳的另一端悬挂在天花板上 (图 4-32)。
设绳的质量忽略不计，求,(1)圆盘质心的加速度；
(2)绳的张力。
① 质心的平动,
21
2TcF R J mR????
② 刚体绕质心的转动,
解 1 用转动定律求解：作用在圆盘
上的力有重力 和绳索的张力,
建立坐标 。
P
TF
y mR
c
P m g?
TF
y圆盘质心相对天花板的加速度
通过圆盘质心的转轴的角加速度
ca R a???
③ 圆盘滚动时，绳索相
对于圆盘质心的加速度,
代入上式,
21
2
c
T
aF R m R
R?
1
2TcF m a?
即,
所以,1
3TF m g?
2
3cag?
解 1 用功能原理求解：系统：绳索、圆盘、地球。
2211
22 ccE m v J m g y?? ? ? ? 恒 量
系统满足机械能守恒定律，有,
对 t求导，有,cc
c
d v d ydm v J m g
d t d t d t
??? ? ? 0
其中,
,,ccccdv dydavdt dt dt? ?? ? ?
2
3cag??
,cca R v R????且,
作业,
P155 4-34
§ 4-6 经典力学的成就和局限性
经典物理：伽利略时期～ 19世纪末
经过 300年发展，到达全盛的“黄金时代”
形成三大理论体系
1,机械运动, 以牛顿定律和万有引力定律为基础的
经典力学
2,电磁运动, 以麦克斯韦方程组为基础的经典电磁学
3,热运动,以热力学三定律为基础的热力学宏观理论
分子热运动为基础的统计物理学微观理论
在牛顿定律基础上建立的力学理论体系称为 牛顿力
学 或 经典力学 。
成就,
② 经典力学是物理学中较早地发展成为理论严密、
体系完整、应用广泛的一门学科，并且还是经典电
磁学和经典统计力学的基础。
③ 促进了蒸汽机和电机的发明，为产业革命和电力技
术革命奠定了基础。
④ 科学技术的发展，如智能技术、信息技术、材料
科学、生命科学等技术，经典力学还是极为重要的
基础之一。
① 质点力学和刚体力学流体力学、弹性力学、结构
力学等多门工程力学学科均属于牛顿力学或经典力
学的范畴。
⑤ 可以肯定，在科学技术今后的发展中，它仍将发
挥其不可替代的作用。
局限性,
物理学家感到自豪而满足，两个事例,
在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只要做
一些零碎的修补工作就行了。也就是在测量数据的小
数点后面添加几位有效数字而已。
——开尔芬（ 1899年除夕）
理论物理实际上已经完成了，所有的微分方程都已
经解出，青年人不值得选择一种将来不会有任何发
展的事去做。
——约利致普朗克的信
正当物理学家们为经典物理学的成就感到满意的时候，
一些新的实验事实却给经典物理学以有力的冲击，这
些冲击主要来自以下三个方面。
① 1887年的迈克耳孙 —莫雷实验否定了绝对参考系的
存在；
② 1900年瑞利和金斯用经典的能量均分定理来说明热
辐射现象时，出现了所谓的, 紫外灾难, ；
③ 1896年贝克勒尔首次发现放射性现象，说明原子不
是物质的基本单元，原子是可分的。
经典物理理论无法对这些新的实验结果作出正确
的解释，从而使经典物理处于非常困难的境地，也
使一些物理学家深感困惑。
1905年爱因斯坦建立了狭义相对论,1925年前后建
立了量子理论对实验结果作出正确的解释。
一、经典力学只适用于处理物体的低速运动问题，
而不能用于处理高速运动问题
1.牛顿力学的相对性原理和伽利略变换
研究的问题,
在两个惯性系中考察同一物理事件
实验室参考系
运动参考系
牛顿力学的绝对时空：长度和时间的测量与参照系
无关。
在不同的惯性系中，考察
同一物理事件。
开始两个参考系对表
问题,
P
与 重合时,o o? 0tt???
S
o
y
xo?
S?
'y
'x
u
r
r?
,,x x y y z zv v u v v v v? ? ?? ? ? ?
（一）伽利略变换 Galilean transformation
t时刻，物体到达 P点
S ? ?,,,r x y z t ? ?,,,v x y z t a
S? ? ?,,,r x y z t? ? ? ? ?? ?,,,v x y z t? ? ? ? ?a?
分
量
式
,,,x x u t y y z z t t? ? ? ?? ? ? ? ?
,,,x x u t y y z z t t? ? ? ? ?? ? ? ? ?
正变换
逆变换
速度
变换
,,x x y y z zv v u v v v v? ? ?? ? ? ?
正变换
逆变换
drv
dt
?
drv
dt
???
?
加速度变换
,,x x y y z zdua a a a a a
dt
? ? ?? ? ? ?
,,x x y y z zdua a a a a a
dt
? ? ?? ? ? ?
?
.
u
const
?
xx
yy
zz
aa
aa
aa
? ?
? ?
? ?
正变换
逆变换 惯性系
在两个惯性系中 aa? ?
F m a?
F m a???
（二）牛顿的相对性原理 Newton Principle of
relativity
:,,S F m a
牛顿力学中,
相互作用是客观的，分
析力与参考系无关。质
量的测量与运动无关。,,,S F m a? ? ?
宏观低速物体的力学规律在任何惯性系中形式相同。
或 牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变。
或 牛顿力学规律是伽利略不变式。
3) 高速运动的粒子
00
1 ???c
与参照系无关
牛顿力学的困难,
2) 光速 C — 在哪个参考系中测的?
1) 电磁场方程组不服从伽利略变换
1,伽利略变换不是经典电磁定律的对称操作
带电粒子受力,
BvqEqF ???? ???
洛仑兹力 电场力
因速度 与参考系有关，所以经伽利略变换后洛
仑兹力将发生变化，经典电磁定律不具有伽利略变换
的不变性 。
推广：一切与速度有关的力都不具有伽利略变换的不变性。
v?
?s i nq v BF ?
洛仑兹力,
垂直于 决定的平面 vB ??,
2,与高速运动 (光的传播 )的实验结果不符
真空中的光速,c
由经典电磁理论
-18
00 sm1031 ???? ??c
与参考系选择无关
由伽利略变换速度与参考系选择有关。
彼此矛盾！
地对车光对地光对车 vvv
??? ??
u?uc?)( uc ??
双星观察实验
枪沿圆周运动，并以恒定速
率 u 发射子弹。
对双星星光的观测，没有类似结果！
光速与光发射体的运动无关，不遵从伽利略变换。
实验检验,
观察者接收到的子弹密
度会呈周期性变化。
枪对地弹对枪弹对地 vvv
??? ??
相对性原理的普遍性（对称性）
伽利略变换（经典力学）
电磁学定律
三者无法协调
解决困难的途径,
① 否定相对性原理的普遍性，承认惯性系对电磁学定
律不等价，寻找电磁学定律在其中成立的特殊惯性系。
② 改造电磁学理论，重建具有对伽利略变换不变性的
电磁学定律。
③ 重新定位伽利略变换，改造经典力学，寻求对电磁
理论和改造后的力学定律均为对称操作的“新变换”。
①② 无一例外遭到失败，爱因斯坦选择 ③ 取得成功。
爱因斯坦的选择来自坚定的信念,
自然的设计是对称的，不仅力学规律在所有的惯性
系中有相同的数学形式，所有的物理规律都应与惯性
系的选择无关。
实验结果说明，在所有惯性系中，真空中的光速恒
为 c,伽利略变换以及导致伽利略变换的牛顿绝对时
空观有问题，必须寻找新的变换，建立新的时空观。
,爱因斯坦把方法倒了过来，他不是从已知的方程组
出发去证明协变性是存在的，而是把协变性应当存在
这一点作为假设提出来，并且用它演绎出方程组应有
的形式。,
——— 洛仑兹
,我尊敬的迈克尔孙博士，您开始工作时，我还是
个孩子，只有 1米高，正是您将物理学家引向新的道
路，通过您精湛的实验工作，铺平了相对论发展的
道路，您揭示了光以太的隐患，激发了洛仑兹和菲
兹杰诺的思想，狭义相对论正是由此发展而来的。
没有您的工作，相对论今天顶多也只是一个有趣的
猜想，您的验证使之得到最初的实验基础。”
“我的实验竟然对相对论这个怪物的诞生起了作用，
我对此感到十分遗憾。”
爱因斯坦 1931年会见 迈克尔孙
1905爱因斯坦提出了狭义相对论，描述了一种新的
时空观，认为时间和空间是相互联系的，且时间的流
逝和空间的延拓与物质和运动有关。
2,光在真空中的速度与发射体的运动状态
无关～ 光速不变原理
1) 爱因斯坦的理论是牛顿理论的发展 说明
一切物理规律 力学规律
2) 光速不变与伽利略变换与伽利略的速度叠
加原理针锋相对
3) 观念上的变革
速度与参考系有关
(相对性 )
与参考系无关
牛顿力学
时间标度
长度标度
质量的测量
1、一切物理规律在任何惯性系中形式相同～
相对性原理 基本假设
狭义相对
论力学
长度、时间测
量的相对性 光速不变
21
xx
x
xx
uv
u
uv
c
?
?
? ?
? ?
?
介绍几个力学中的物理量，在高速运动与低速运动
时的差异。 (P143)
1.高速运动时速度的相对性
式中,c为光速,为质点在 S系中沿 Ox轴的速度,
S’系相对 S系沿 Ox轴的速度,为质点在 S’系中沿
Ox轴的速度
xvxu
xu??
～狭义相对沦的速
度变换式也称洛伦
兹速度变换式。
如果质点 P在 S’系中的速度远小于光速，即
xuc?? ??
211
xxuv
c
???? x x xu u v????
0
2 1
2
2( 1 )
m
m
v
c
?
?
2,高速运动时的动量和质量
爱因斯坦的狭
义相对论指出，
质点的动量为,
如果质点 P在 S’系中的速度远小于光速，即 vc??
0
2 1
2
2( 1 )
mv
p
v
c
?
?
质点在高速运
动时的质量为,
2 1
2
2( 1 ) 1
v
c?? 00,p m v m m??
3,高速运动时的动能
爱因斯坦的狭
义相对论指出，
质点的动能为,
如果质点 P在 S’系中的速度远小于光速，即 vc??
2
0 2
1
2
2
1
1
( 1 )
k
E m c
v
c
??
??
????
???
????
2
0
1
2kE m v?
4,质量与能量之间的关系, 2E m c?
这个关系式深刻地反映了物质与其运动的不可分
割性；有质量必有能量，有能量必有质量，任何
物体都具有质量和与之相对应的能量。
前例中 JC表示相对通过质心的轴的转动惯量,JA表
示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距
L/2。可见,
222
2
3
1
4
1
12
1
2
mLmLmLLmJJ CA ????
?
??
?
?＋＝
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，
相距为 d，刚体对其转动惯量为 J，则有,
这个结论称为 平行轴定理 。
2CJ J m d＝ ＋
例：右图所示刚体对
经过棒端且与棒垂直
的轴的转动惯量如何
计算？ (棒长为 L、球
体半径为 R）
2
1 3
1 LmJ
LL ?
22
5ooJ m R?
2002 dmJJ L ??
2 2 212 ()
35L o oJ m L m R m L R? ? ? ?
作业,P150
4-8 4-9
L
om
o
RLmz
z?
解,棒绕 zz’轴的
转动惯量,
球体绕球心 O
的转动惯量,
利用平行轴定理,
五、刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，
绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处
摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时
的速度和此时滑轮的角速度。
解：如图所示,M,m的受力图得知,
,m m g T m a a R ?? ? ?
21
2M M T R J J M R?
??,＝ ＝ ＝
M
m
Mg
mg
T
T?
N
a
TT??
Mm
m g h
RR
v
?
??
2
41
?
例 2、一个飞轮的质量为 69kg，半
径为 0.25m,正在以每分 1000转的转
速转动。现在要制动飞轮，要求在
5.0秒内使它均匀减速而最后停下
来。求闸瓦对轮子的压力 N为多大？
2
4
2
Mm
m g h
ahv
?
??
g
Mm
m
a
2?
?解方程得：
F
?0
解：飞轮制动时有角加速度
t
0??? ??
2
0
r a d /s9.20s5 0
r a d /s7.1 0 4m in/r1 0 0 0
?????
??
??
?
t
外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。
??? 2mRJNRRfM r ?????＝
?? 2mRNR ?? N784???
?
?mRN
? ?0
N f
r
例 3、一根长为 l、质量为 m的均匀细直棒，其一端有一
固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最
初棒静止在水平位置，求它由此下摆 ?角时的角加速度
和角速度。
解：棒下摆为加速过程，
外力矩为重力对 O的力矩。
棒上取质元 dm,当棒处在
下摆 ?角时, 重力矩为,
?? ? x d mgg x d mM ＝
? X O
dmg
dm
x
Cmxx d m ＝据质心定义 ? Cm g xM ??
重力对整个棒的合力矩与全
部重力集中作用在质心所产
生的力矩一样。
?c o s21 lx c ?
?c o s21 m g lM ?
l
g
ml
mg l
J
M
2
c o s3
3
1
c o s
2
1
2
?
?
? ???
mg
C
?
dmg
X O
dm
xc
???????? ddJdtdddJdtdJJM ????
c o s21 ?m g lM ＝代入
???? dJdm g l ?c o s21
?? ? ?? ???? 00 c o s21 dJdm g l
2
2
1s i n
2
1 ?? Jm g l ?
l
g
J
m g l ??
?
s i n3s i n
??
??? dJMd ?
作业,P151
4-10 4-14
§ 4-3 角动量、角动量守恒定律
1、质点的角动量
vmrPrL ????
～讨论力矩对时间的累积作用，得出角动量定理
和角动量守恒定律。
一、质点的角动量定理和角动量守恒定律
mv
L L
r
r
mv
设质量为 m的质点在时
刻 t以速度 运动，它
对所取参考点 O的角动
量定义,
v
其方向：右手法则确定；
s inL r m v ??大小,
注意,质点的角动量是与位矢、动量、参考点 0的
选择有关。因此在讲述质点的角动量时，必须指明
是对哪一点的角动量。
例：若质点在半径为 r的圆周上运动，在某一时刻，
质点位于点 A速度为 。
v以圆心 0为参考点，那么,
rv?
质点绕 oz轴做圆周运动角动量为,2L r m v m r ???
2、质点的角动量定理
()d m vF
dt?
～质点的角动量定义、牛顿定律导出。
()dr F r m vdt? ? ?
因为,( ) ( ) ( )d d d rr m v r m v m v
d t d t d t? ? ? ? ?
设质量为 m的质点，在合外力 作用下，其运动方
程为,
F
质点对参考点 O的位矢为,故以 叉乘上式两边，
有,
r r
( ) 0dr m v v vdt ? ? ? ?
其中,
所以,
()dr F r m vdt? ? ?
～作用于质点的合力对参考点 O的力矩，等于质点
对该点 O的角动量随时间的变化率。
这与牛顿第二定律在形式上是相似的,
MF?
上式还可写成,M d t d L?
合力 对参考点 0的合力矩,F M r F??
()d d LM r m vd t d t? ? ?
LP?
力矩与作用时间的乘积，叫做 冲量矩
2
1
21
t
t
M d t L L L? ? ? ??
～质点的角动量定理
质点的角动量定理,
对同一参考点 0，质点所受的冲量矩等于质点角
动量的增量。
L r m v C? ? ?
3、质点的角动量守恒定律
若质点所受合力矩为零，即,则有,0M ?
当质点所受对参考点 O的合力矩为零时，质点对该
参考点 O的角动量为一恒矢量。
～质点的角动量守恒定律
注意,0M ? 有两种情况：①
0F ? ② 0F ?
通过参考点 O，即 F //Fr
单位,千克二次方米每秒； 21k g m s ??? 21ML T ?量纲,。
1,定轴转动刚体的角动量
??? 2iiio rmL ?即
o对 的角动量,im
iiiio vmrL
??? ??
?
?
? ??
?
?
?
?
方向：沿
大小,2iiiiiio
io
rmvmrL
L
o
转轴 角速度
刚体上任一质点
转轴与其转动平面交点
绕 圆周运动半径为
??
im
z
im o ir
iv
?
im
o r
?
??
转动
平面
z
i
二、刚体的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的特点,
(1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不
同的圆周运动；
(2) 各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。 ??
定义,质点 对 点的角动量的大小，称为质
点对转轴的角动量。 im
o
?2iiiiiz rmvmrL ??? ??
刚体对 z 轴的总角动量为,
??? JrmrmLL
i
ii
i
ii
i
izz ??? ????
22
式中
??
i
ii rmJ
2 ～刚体对轴的转动惯量
2、刚体的角动量定理
对 个质点 组成的质点系，由 N
Nmmm,,,21 ?
t
LFrM
d
d
??
?? ??? 可得
内外
内外
内外
NN
N
MM
t
L
MM
t
L
MM
t
L
??
?
??
??
?
??
?
??
??
??
d
d
d
d
d
d
22
2
11
1
两边求和得
? ?
?
??
?
i i
ii
i
i
MM
t
L
L
t
内外
??
?
?
d
d
d
d
于是,
外外 ii FrMt
L ???
?
??? ?
id
d
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受
外力矩的矢量和 (合外力矩 )
? ?? ???
i i
ii
i
i MMt
LL
t 内外
????
d
d
d
d
注意,合外力矩 是质点系所受各外力矩
的矢量和，而非合力的力矩。 外M
?
由图可知
0??
i
iM 内
?
1?
2?
12f
?
21f
?
1m
2m
1r?
2r?
d
o
在定轴转动中，可用标量表示,
??? JdtdJJdtdLdtdM ???? )(
刚体定轴转动的转动定律实质是角动量定理的沿固
定轴方向的分量式的一种特殊形式。
积分,
22
11
21
tL
tL
M d t d L L L L? ? ? ? ???
对某个固定轴的外力矩
的作用在某段时间内的
积累效果，称为 冲量矩
右边为刚体对同一转动轴
的角动量的增量 。
～ 当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角
动量的增量。 叫做 角动量定理
12 ?? JJL ???
J也改变时,
1122 ?? JJL ???
J不变时,
3、角动量守恒定律
0.,0 ????? LLMdtdLM 即常量则中，若在
L不变的含义为,
刚体,J不变 非刚体,J?不变
注意,0M ? 有两种情况：① 0F ? ② 0F ?
通过参考点 O，即 F //Fr
但它与轴平行，对定轴转动没有
作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。
0M ?
00 4
3)( mvvvmf d t ?????
子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩
为,
? ? ???? ?Jdtfll d tf
因,由两式得 ff ???
200
3
1
4
9
4
3 MlJ
Ml
mv
J
lmv ??? 这里?
解,以 代表棒对子弹的阻力,对子
弹有, f
例 1、如图所示,一质量为 m的子弹以水平速度射入一
静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失 3/4,求子
弹穿出后棒的角速度 ?。已知棒长为,质量为 。 Ml
0
1
4vv?0
,mv f?
M l
例 2.已知：两平行圆柱在水平面内转动,
求：接触且无相对滑动时
202,2101,1,;,?? RmRm
21 ?? ??
.o1 m
1 R
1
.o2
R2 m2
10? 20?
o1,o2,
1? 2
?
解一,因摩擦力为内力，外力过轴,外力矩为零，
则,J1 + J2 系统角动量守恒,以顺时针方向为
正,
? ?12211202101 ???? JJJJ ???
接触点无相对滑动,
? ?22211 RR ?? ?
又,
? ?321 2111 RmJ ?
? ?421 2222 RmJ ?
联立 1,2,3,4式求解，对不对？
o2
F2
o1,
F1
f1
f2
1?
2?
分别以 m1,m2 为研究对象，
受力如图,
o2
F2
o1,
F1
f1
f2
0 )2(
0 )1(
1
2
2
1
?
?
F
F
Mo
Mo
?
?
为轴
为轴
系统角动量不守恒！
解二, 分别对 m1,m2 用角动量定理列方程
设,f1 = f2 = f, 以顺时针方向为正
1?
2?
问题, (1) 式中各角量是否对同轴而言？
(2) J1 +J2 系统角动量是否守恒？
m1对 o1 轴,
1 1 1 1 1 0d,R f t J J??? ? ??
m2对 o2 轴,
2 2 2 2 20d,R f t J J??? ? ? ??
接触点,
2211 RR ?? ?
联立各
式解得,? ?
? ?
221
20221011
2
121
20221011
1
Rmm
RmRm
Rmm
RmRm
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
2
1 1 1
1
2J m R?
2
2 2 2
1
2J m R?
作业,
P152 4-17
一、力矩作功
||c o s rdFrdFdW ??? ????
力矩对转动物体作的功
等于相应力矩和角位移
的乘积。
称为力矩的功。
?? rdF c o s ?
MrFrF ??? ?? c o sc o s?
?MddW ??
x
O
r
v F
P
?
?
dr
d?
§ 4-4 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理
00W d W M d M
?? ??? ? ???
① 如果力矩的大小和方向都不变，则
即恒力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于力
矩的大小与转过的角度的乘积。
22
11
W d W M d???? ?????
② 如果作用在绕定轴转动的刚体上的力矩是变化的，
则
二,力矩的功率
d W dP M M
d t d t
? ?? ? ?
设刚体在恒力矩作用下绕定轴转动时，则力矩
的功率,
即刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量
与角速度二次方的乘积的一半。
2211( ) ( )
22K i i i iiiE m v m r ?? ? ? ???
刚体上所有质元的动能之和为,
222
2
1)(
2
1 ?? Jrm
i
ii ??? ?
四,刚体绕定轴转动的动能定理
三、转动动能
将定轴转动的转动定律两边乘以 d? 再同时对 ? 积
分，有,
2
1
2
2 2
1
2
1 ?? JJ ??
?? 21?? ?? dJ
???
?
ddtdJ?? 2
1
? 21?? ?Md
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于
刚体的转动动能的增量 。
12 KK EEW ??
上式即为,
这个结论称为定轴转动的动能定理。
ii ghm?
五、刚体的重力势能
h
hi
hc
x O
m
C
?m
一个质元,
i
i
iP hgmE ? ??重
c
i
ii m g hhmg ??? ? )(
整个刚体,
一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质
量都集中在质心时所具有的势能。
六、机械能守恒
对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内
力作功,则此系统的机械能守恒。
P139 表 4-3 质点运动与刚体定轴转动对照表
例 1.(P137 例 1)一质量为 M，半径 R的圆盘，盘上绕由
细绳，一端挂有质量为 m的物体。问物体由静止下落
高度 h时，其速度为多大？
mg
T
M
m
解,
解得,
mM
m g hv
2
2
?
?
22
0
11
22TR J J? ? ?? ? ?
22
0
11
22m g h T h m v m v? ? ?
hR ??? vR??
2000,0,2v J M R?? ? ?
a l
o
v
解,
30°
例 2.(P138 例 2） 一长为 l，质量为 M的杆可饶支点 o自
由转动。一质量为 m，速度为 v的子弹射入距支点为 a
的棒内。若棒偏转角为 30° 。问子弹的初速度为多少。
221
3m v a M l m a ?
??????
??
? ? ? ?2 2 211 1 c o s 3 0 1 c o s 3 02 3 2lM l m a m g a M g??? ? ? ? ? ? ? ?????
? ? ? ? ? ?221 2 3 2 36gv M l m a M l m ama? ? ? ?
系统机械能守恒,
系统,杆、子弹，角动量守恒,
例 3.如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同
一点，杆的质量 m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自
然下垂，将单摆的摆锤拉到高度 ho,令它自静止状态
下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆
下端达到的高度 h 。
(1)
m
l
ho
l
c
hc
h’ h=3h0/2
(2)
解,碰撞前单摆摆锤的速度为,
00 2 ghv ?
令碰撞后直杆的角速度为 ?，摆锤的速度为 v＇。
由角动量守恒，有
在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的,
l
vvv
2
3,
2
00 ??? ?
二式联立解得,
2
0
1,
3m lv m lv J J m l??? ? ?式 中
①
2 2 2
0
1 1 1
2 2 2m v m v J ????
②
按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度为
4
0hh ??
而杆的质心达到的高度满足,
cm g hJ ?
2
2
1 ?
2
32 0hhh
c ??
得,
作业,P153 4-23 4-28
刚体的质心被限制在一平面上运动，则这
种刚体的运动就称为 刚体的平面平行运动。
一、定义,
c
c
dvF m a m
dt??
§ 4-5 刚体的平面平行运动
二、研究方法,
刚体运动：质心的平动、刚体绕质心的转动的合成。
① 质心的平动,
zc c c
dM J J
dt
????
② 刚体绕质心的转动,
PcE m g h?
③ 刚体的动能,
刚体质心的平动动能 刚体绕质心的转动动能
2211
22k c cE m v J ???
④ 刚体的势能视为是质心的势能，即,
TcP F m a??
例 1(P140)一绳索缠绕在半径为 R、质量为 m的均匀圆
盘的圆周上，绳的另一端悬挂在天花板上 (图 4-32)。
设绳的质量忽略不计，求,(1)圆盘质心的加速度；
(2)绳的张力。
① 质心的平动,
21
2TcF R J mR????
② 刚体绕质心的转动,
解 1 用转动定律求解：作用在圆盘
上的力有重力 和绳索的张力,
建立坐标 。
P
TF
y mR
c
P m g?
TF
y圆盘质心相对天花板的加速度
通过圆盘质心的转轴的角加速度
ca R a???
③ 圆盘滚动时，绳索相
对于圆盘质心的加速度,
代入上式,
21
2
c
T
aF R m R
R?
1
2TcF m a?
即,
所以,1
3TF m g?
2
3cag?
解 1 用功能原理求解：系统：绳索、圆盘、地球。
2211
22 ccE m v J m g y?? ? ? ? 恒 量
系统满足机械能守恒定律，有,
对 t求导，有,cc
c
d v d ydm v J m g
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其中,
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,cca R v R????且,
作业,
P155 4-34
§ 4-6 经典力学的成就和局限性
经典物理：伽利略时期～ 19世纪末
经过 300年发展，到达全盛的“黄金时代”
形成三大理论体系
1,机械运动, 以牛顿定律和万有引力定律为基础的
经典力学
2,电磁运动, 以麦克斯韦方程组为基础的经典电磁学
3,热运动,以热力学三定律为基础的热力学宏观理论
分子热运动为基础的统计物理学微观理论
在牛顿定律基础上建立的力学理论体系称为 牛顿力
学 或 经典力学 。
成就,
② 经典力学是物理学中较早地发展成为理论严密、
体系完整、应用广泛的一门学科，并且还是经典电
磁学和经典统计力学的基础。
③ 促进了蒸汽机和电机的发明，为产业革命和电力技
术革命奠定了基础。
④ 科学技术的发展，如智能技术、信息技术、材料
科学、生命科学等技术，经典力学还是极为重要的
基础之一。
① 质点力学和刚体力学流体力学、弹性力学、结构
力学等多门工程力学学科均属于牛顿力学或经典力
学的范畴。
⑤ 可以肯定，在科学技术今后的发展中，它仍将发
挥其不可替代的作用。
局限性,
物理学家感到自豪而满足，两个事例,
在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只要做
一些零碎的修补工作就行了。也就是在测量数据的小
数点后面添加几位有效数字而已。
——开尔芬（ 1899年除夕）
理论物理实际上已经完成了，所有的微分方程都已
经解出，青年人不值得选择一种将来不会有任何发
展的事去做。
——约利致普朗克的信
正当物理学家们为经典物理学的成就感到满意的时候，
一些新的实验事实却给经典物理学以有力的冲击，这
些冲击主要来自以下三个方面。
① 1887年的迈克耳孙 —莫雷实验否定了绝对参考系的
存在；
② 1900年瑞利和金斯用经典的能量均分定理来说明热
辐射现象时，出现了所谓的, 紫外灾难, ；
③ 1896年贝克勒尔首次发现放射性现象，说明原子不
是物质的基本单元，原子是可分的。
经典物理理论无法对这些新的实验结果作出正确
的解释，从而使经典物理处于非常困难的境地，也
使一些物理学家深感困惑。
1905年爱因斯坦建立了狭义相对论,1925年前后建
立了量子理论对实验结果作出正确的解释。
一、经典力学只适用于处理物体的低速运动问题，
而不能用于处理高速运动问题
1.牛顿力学的相对性原理和伽利略变换
研究的问题,
在两个惯性系中考察同一物理事件
实验室参考系
运动参考系
牛顿力学的绝对时空：长度和时间的测量与参照系
无关。
在不同的惯性系中，考察
同一物理事件。
开始两个参考系对表
问题,
P
与 重合时,o o? 0tt???
S
o
y
xo?
S?
'y
'x
u
r
r?
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（一）伽利略变换 Galilean transformation
t时刻，物体到达 P点
S ? ?,,,r x y z t ? ?,,,v x y z t a
S? ? ?,,,r x y z t? ? ? ? ?? ?,,,v x y z t? ? ? ? ?a?
分
量
式
,,,x x u t y y z z t t? ? ? ?? ? ? ? ?
,,,x x u t y y z z t t? ? ? ? ?? ? ? ? ?
正变换
逆变换
速度
变换
,,x x y y z zv v u v v v v? ? ?? ? ? ?
正变换
逆变换
drv
dt
?
drv
dt
???
?
加速度变换
,,x x y y z zdua a a a a a
dt
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,,x x y y z zdua a a a a a
dt
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?
.
u
const
?
xx
yy
zz
aa
aa
aa
? ?
? ?
? ?
正变换
逆变换 惯性系
在两个惯性系中 aa? ?
F m a?
F m a???
（二）牛顿的相对性原理 Newton Principle of
relativity
:,,S F m a
牛顿力学中,
相互作用是客观的，分
析力与参考系无关。质
量的测量与运动无关。,,,S F m a? ? ?
宏观低速物体的力学规律在任何惯性系中形式相同。
或 牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变。
或 牛顿力学规律是伽利略不变式。
3) 高速运动的粒子
00
1 ???c
与参照系无关
牛顿力学的困难,
2) 光速 C — 在哪个参考系中测的?
1) 电磁场方程组不服从伽利略变换
1,伽利略变换不是经典电磁定律的对称操作
带电粒子受力,
BvqEqF ???? ???
洛仑兹力 电场力
因速度 与参考系有关，所以经伽利略变换后洛
仑兹力将发生变化，经典电磁定律不具有伽利略变换
的不变性 。
推广：一切与速度有关的力都不具有伽利略变换的不变性。
v?
?s i nq v BF ?
洛仑兹力,
垂直于 决定的平面 vB ??,
2,与高速运动 (光的传播 )的实验结果不符
真空中的光速,c
由经典电磁理论
-18
00 sm1031 ???? ??c
与参考系选择无关
由伽利略变换速度与参考系选择有关。
彼此矛盾！
地对车光对地光对车 vvv
??? ??
u?uc?)( uc ??
双星观察实验
枪沿圆周运动，并以恒定速
率 u 发射子弹。
对双星星光的观测，没有类似结果！
光速与光发射体的运动无关，不遵从伽利略变换。
实验检验,
观察者接收到的子弹密
度会呈周期性变化。
枪对地弹对枪弹对地 vvv
??? ??
相对性原理的普遍性（对称性）
伽利略变换（经典力学）
电磁学定律
三者无法协调
解决困难的途径,
① 否定相对性原理的普遍性，承认惯性系对电磁学定
律不等价，寻找电磁学定律在其中成立的特殊惯性系。
② 改造电磁学理论，重建具有对伽利略变换不变性的
电磁学定律。
③ 重新定位伽利略变换，改造经典力学，寻求对电磁
理论和改造后的力学定律均为对称操作的“新变换”。
①② 无一例外遭到失败，爱因斯坦选择 ③ 取得成功。
爱因斯坦的选择来自坚定的信念,
自然的设计是对称的，不仅力学规律在所有的惯性
系中有相同的数学形式，所有的物理规律都应与惯性
系的选择无关。
实验结果说明，在所有惯性系中，真空中的光速恒
为 c,伽利略变换以及导致伽利略变换的牛顿绝对时
空观有问题，必须寻找新的变换，建立新的时空观。
,爱因斯坦把方法倒了过来，他不是从已知的方程组
出发去证明协变性是存在的，而是把协变性应当存在
这一点作为假设提出来，并且用它演绎出方程组应有
的形式。,
——— 洛仑兹
,我尊敬的迈克尔孙博士，您开始工作时，我还是
个孩子，只有 1米高，正是您将物理学家引向新的道
路，通过您精湛的实验工作，铺平了相对论发展的
道路，您揭示了光以太的隐患，激发了洛仑兹和菲
兹杰诺的思想，狭义相对论正是由此发展而来的。
没有您的工作，相对论今天顶多也只是一个有趣的
猜想，您的验证使之得到最初的实验基础。”
“我的实验竟然对相对论这个怪物的诞生起了作用，
我对此感到十分遗憾。”
爱因斯坦 1931年会见 迈克尔孙
1905爱因斯坦提出了狭义相对论，描述了一种新的
时空观，认为时间和空间是相互联系的，且时间的流
逝和空间的延拓与物质和运动有关。
2,光在真空中的速度与发射体的运动状态
无关～ 光速不变原理
1) 爱因斯坦的理论是牛顿理论的发展 说明
一切物理规律 力学规律
2) 光速不变与伽利略变换与伽利略的速度叠
加原理针锋相对
3) 观念上的变革
速度与参考系有关
(相对性 )
与参考系无关
牛顿力学
时间标度
长度标度
质量的测量
1、一切物理规律在任何惯性系中形式相同～
相对性原理 基本假设
狭义相对
论力学
长度、时间测
量的相对性 光速不变
21
xx
x
xx
uv
u
uv
c
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介绍几个力学中的物理量，在高速运动与低速运动
时的差异。 (P143)
1.高速运动时速度的相对性
式中,c为光速,为质点在 S系中沿 Ox轴的速度,
S’系相对 S系沿 Ox轴的速度,为质点在 S’系中沿
Ox轴的速度
xvxu
xu??
～狭义相对沦的速
度变换式也称洛伦
兹速度变换式。
如果质点 P在 S’系中的速度远小于光速，即
xuc?? ??
211
xxuv
c
???? x x xu u v????
0
2 1
2
2( 1 )
m
m
v
c
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2,高速运动时的动量和质量
爱因斯坦的狭
义相对论指出，
质点的动量为,
如果质点 P在 S’系中的速度远小于光速，即 vc??
0
2 1
2
2( 1 )
mv
p
v
c
?
?
质点在高速运
动时的质量为,
2 1
2
2( 1 ) 1
v
c?? 00,p m v m m??
3,高速运动时的动能
爱因斯坦的狭
义相对论指出，
质点的动能为,
如果质点 P在 S’系中的速度远小于光速，即 vc??
2
0 2
1
2
2
1
1
( 1 )
k
E m c
v
c
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2
0
1
2kE m v?
4,质量与能量之间的关系, 2E m c?
这个关系式深刻地反映了物质与其运动的不可分
割性；有质量必有能量，有能量必有质量，任何
物体都具有质量和与之相对应的能量。
