以气体为研究对象,从气体分子热运动
观点出发，运用统计方法来研究大量气体分子的热运
动规律,并对理想气体的热学性质给予微观说明。
第七章 气体动理论
学时,8
气体动理论,
结构框图
分子
热运
动统
计规
律性
理想气体物态方程
平均平动
动能与温
度的关系
能量
均分
定理
理想气
体内能
两者与压强、
温度的关系
分子平均碰撞次
数和平均自由程
物质
微观
模型
理想
气体
压强
公式
气体分
子速率
分布律
三种统
计速率
?物质的微观模型，理想气体的压强和温度的微观本
质，能量均分定理，理想气体的内能 。
主要内容,
?麦克斯韦气体分子速率分布律，要求掌握三种统计
速率的计算
?分子平均由由程、碰撞次数
?简略介绍在非平衡态下气体内的迁移现象、热力学
第二定律的统计解释和玻耳兹曼关系式 。
§ 7-1 物质的微观模型 统计规律性
一、分子的数密度和线度
? 物质的分子是可以独立存在、并保持该物质原
有性质的最小粒子。
? 实验证明,1mol 任何物质中所含的分子 (或原
子，离子 )数都是相同的，其值即为阿伏伽德罗常
数,N
A＝ 6.0221367(36)× 1023mol-1
?分子数密度,单位体积内的分子数，用符号 n表示
由实验可测得，在通常温度和压强下，氧的
n≈2.5 × 1019cm-3，氮的 n≈2.47 × 1019cm-3，水的
n≈3.3 × 1022cm-3，铜的 n≈7.3 × 1022cm-3。
而分子质量 m很小，如，氢分子 m=0.332× 10-26 kg，
氧分子 m=5.31× 10-26 kg
?分子的线度,分子自身的直径，数量级约为 10-10m 。
如,实验表明：在标准状态下，氧气分子间的距离约
为分子直径的 10倍。即，每个氧分子占有的体积 V
约为氧分子本身体积的 1000
?在标准状态下容器中的气体分子可以看成大小可略
去不计的质点。
?随着气体压强的增加，分子间的距离要变小，但在
不太大的压强下，每个分子占有的体积仍比分子本身
的大小要大得多,
? 固体和液体的分子之所以会聚在一起而不分开，是
因为分子之间有相互吸引力；
? 固体和液体又很难压缩，即使气体也不能无限制地
压缩，说明分子之间有斥力。
二、分子力
? 分子力,分子之间的相互作用力 ---包括斥力和引
力。在本质上分子力属于分子和原子内的电荷之间相
互作用的电磁力。
分子力（包括斥力和引力及其合力 F）的大小与分子
之间的距离 r有关。其分子力曲线如图所示。
(1)当 ( 的数量级约为 )时，斥力 =
引力,F= 0，分子受力平衡。 称为平衡位置。 0rr? 0
r 1010 m?
0r
(2)当 时，斥力 > 引力，分子力表现为斥力，
且随 的减少而急剧增加。 0rr?r
(3)当 时，斥力 < 引力，分子力表现为引力，
且随 的增大而先增大后减小；当 > 分子力的有效
作用距离 (亦称分子力的有效作用半径，约 )
时，引力很快趋于零，分子力可忽略不计。
0rr?
910 m?
r r
三、分子热运动的无序性及统计规律性
1.气体分子热运动 (常温、常压 )特征,
? 气体分子的热运动是分子在惯性支配下的自由运动。
? 气体分子热运动的平均速率很大，相继两次碰撞之
间自由运动的平均路程很小。
实验与计算：气体分子之间的距离很大，除分子和分
子相碰的瞬间 (约为 )外，分子力很小可忽略，
而重力作用也可忽略，所以气体分子在相继两次碰撞
之间的运动可看作是在惯性支配下的自由运动。
1310 s?
? 气体分子相互之间的碰撞极为频繁。
根据计算，一秒钟内一个分子和其他分子碰撞的平
均次数约为 (几十亿 )次，由于气体分子之间极
其频繁地碰撞，使分子的运动路径是迂回曲折的折
线，使气体分子的运动速度的大小和方向瞬息万变，
杂乱无章，这就是气体分子热运动的不规则性 (或称
为 无序性 )。
1010
2.统计规律性
大量偶然事件总体具有的规律性。
统计规律性是对大量分子整体
而言的
例：伽耳顿板实验,掷骰子、
抛硬币
伽尔顿板实验
每个小球落入哪个槽是偶然的
少量小球按狭槽分布有明显偶然性
大量小球按狭槽分布呈现规律性
掷骰子
每掷一次出现点数是偶然的
掷少数次，点数分布有明显偶然性
掷大量次数，每点出现次数约 1/6，呈现
规律
抛硬币
每抛一次出现正反面是偶然的
抛少数次，正反数分布有明显偶然性
抛大量次数，正反数约各 1/2，呈现规律性
? 理想气体的微观模型
§ 7-2 理想气体的压强公式
① 分子本身的大小与分子间平均距离相比可以忽略不
计，分子间的平均距离很大，分子可以看作是 质点 。
② 除碰撞的瞬间外，分子间的相互作用力可忽略不计。
因此在两次碰撞之间，分子的运动可当作 匀速直线
运动 。
③ 气体分子间的碰撞以及气体分子与器壁间的碰撞可
看作是完全 弹性碰撞 。分子与器壁间的碰撞只改变
分子运动的方向，不改变它的速率，气体分子的动
能不因与器壁碰撞而有任何改变。
理想气体,可视为由大量的作无规运动的、其体积及
彼此间相互作用可略去不计的的弹性小球所组成。
?理想气体压强公式
以理想气体微观模型为对象, 运用牛顿定律, 采取
求 微观量平均值 的统计方法来导出理想气体的压强 (宏
观量 )公式 。
设任意形状容器中贮有一定量的理想气体, 体积为 V,
含有 N个同类气体分子, 气体分子数密度为, 每个
分子的质量均为 m
Nn
V?
在平衡状态下，容器壁上的每部分都受到大量分子
的碰撞，容器中的每个器壁都受到均匀的连续的冲力，
各处的压强均相等。
只要计算容器中任何一个器壁所受的压强即可。取
直角坐标,求垂直于 轴的器壁上面积 dA所受的
压强。
xyz x
为了讨论方便，可以把分子分成若干组，每组内分子
具有大小相等、方向一致的速度。每组的分子数密度
为
1 inn??? ???、,,
i
i
nn? ?
则有,
x
z
y
o ixv
iyv
izv
?
iv
i
⑴ 单个分子,分子 i和壁面的 dA的碰撞
碰前的速度,
i ix iy izv v i v j v k? ? ?
x
z
y
y
z
x
ixmv i?
ixmv i
ixv
izv
iyv
碰后的速度,
i ix iy izv v i v j v k? ? ? ?
分子动量增量,( ) ( ) 2
i i x i x i xm v m v i m v i m v i? ? ? ? ? ?
根据动量定理,i分子动量增量等于器壁给予 i分子
的力的冲量，力的方向与 x轴正方向相反。
根据牛顿第三定律,i分子施与壁面 dA力的冲量为
,力的方向与 x轴正方向相同。
2 ixmv i
(2)dt时间内所有分子施与壁
面 dA的总冲量
iv
ixv dt
dA
x
具有 分子中,dt内能与 dA
相碰的分子仅位于以 dA为底、
vixdt为高、为轴线的斜形柱
体内的那一部分分子。
iv
i i ixn d V n v d t d A? ? ? ? ?
容器中气体无整体运动,
平均来讲 vix> 0 的分子
数等于 vix< 0 的分子数。
依上面的假设,的分子数密度, dt内与 dA相碰
的分子数为, iniv
一组分子在 dt时间内施与壁面 dA的总冲量 为, iv
22 i ixn m v d t d A? ? ?
dt时间内所有分子施与 dA的总冲量对 求和，但仅有
才能与 dA相碰。 ix
v
0ixv ?
22
( 0 )
2
ix
i i x i i x
i v i
d I n m v d t d A n m v d t d A
?
? ? ? ? ? ? ???
⑶ 气体施与器壁的宏观量压强,
22
i i x i i x
ii
dIp n m v m n v
d t d A
? ? ? ?
? ??
以 表示对 所有分子平均值,则有,2
xv 2xv
22
22
2 1 1 2 2
12
i i x i i x
x x i i
x
i
i
n v n v
n v n v
v
n n n n
??
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
??
?
2
xp n m v??
在平衡状态下，气体性质与方向无关，分子沿各个
方向的机率均等。
222
x y zvvv??
对大量分子而言，必有,
理想气体
压强公式
2 2 2 2 2 2 2 2 2;3
i ix iy iz x y z xv v v v v v v v v? ? ? ? ? ? ? ?
222 1 2()
3 2 3xk
p nm v n m v n ?? ? ? ?
式中,～分子的平均平动动能 21
2k mv? ?
nm? ? 21
3pv??
～气体的密度，则,
注意,
⑴ 上式将宏观量 p与微观量 的平均值 联系起
来了。 2
1
2 mv k?
k?
p可以由实验测定，而 不能直接测定
～气体的压强正比于单位积内的分子数和分子的平均
平动动能。
分子施与器壁冲量大小是涨落不定的，即,p是
一个统计平均值（统计量）。
2
3 kpn??
～一个统计规律,而不是一个力学规律。即
说个别分子产生多大压强，是无意义的。
⑶ 从此公式出发，可以满意地解释或论证已经验证过
的理想气体诸定律，是气体动理论的基本公式之一。
⑵ 推导过程引入统计概念和方法。
§ 7—3 理想气体分子的平均平动动能与温度的关系
气体的温度与
分子的平均平
动动能的关系
宏观量：
温度的微
观本质
2
3
kpn
m
PV RT
M
??
?
说明
温度标志着物体
内部分子无规则
运动的激烈程度
213
22k
m v k T? ??
：分子无规则
运动激烈程度
的定量表示
k?
理想气体的状态方程,
mp V R T
M
??,Am m N M m N? ? ? ? ?
气体
质量
分子
质量
气体的
分子数
阿伏伽德
罗常数
A
NRp T n k T
VN
? ? ?
2 3 11, 3 8 1 0
Ak R N
JK??
?
? ? ?分子数密度
玻耳兹
曼常量
22 2 1 2()
3 2 3xk
p n m v n m v n n k T?? ? ? ? ?
注意,
⑴ 温度 T是表征大量分子热运动激烈程度的宏观物理量。
气体的温度越高，分子的平均平动动能越大；分子
平均平动动能越大，分子热运动的程度越激烈。
⑵ 温度 T与 联系,T是大量分子热运动的集体表现，
具有统计意义。与压强一样，温度也是一个统计量。
对个别分子，说它有多少温度是没有意义的。
k?
(3)不同种类的两种理想气体，只要温度 T 相同，则
分子的平均平动动能相同；反之当它们的分子的平
均平动动能相同时，则它们的温度一定相同。
解,1eV～近代物理中常用能量单位
～一个电子在电场中通过电位差 1V的区间时，电
场力所获得的能量。
例,在多高的温度下，气体分子的平均平动动能等于
一个电子伏特？
1 9 1 91 1, 6 0 2 1 8 9 2 1 0 1 1, 6 0 2 1 0e V C V J??? ? ? ? ?
3 1
2k
kT eV? ??
19
3
23
2 1 2 1, 6 0 2 1 0 7, 7 3 1 0
3 3 1, 3 8 1 0
eVTK
k
?
?
??? ? ? ? ? ?
??
作业,P268 7-3 7-4
191, 6 0 2 1 8 9 2 1 0eC ???
§ 7—4 能量均分定理 理想气体内能
一, 分子能量自由度
前面讨论分子热运动，只考虑气体分子的平动。一
般地，除单原子分子外，分子的运动除了平动，还有
转动和分子间原子间的振动。
引用力学中的自由度概念，确定分子的各种形式
运动能量的统计规律。
1.物体的自由度数,决定一个物体的空间位置所需要
的独立坐标数。
质
点
① 空间运动：三个独立坐标 X,Y,Z 三个自由度
② 平面、曲面运动：只需两个独立坐标 二个自由度
③ 直线、曲线运动：一个独立坐标 一个自由度
?刚体：除了平动，还有转动。
可以分解：质心平动及绕通过质心轴的转动。
① 平动：三个独立坐标如 X,Y,Z,决定其质心位置
② 用两个独立坐标如 α, β （三个方位角中只有
两个是独立的,）
决定转轴的方位。
2 2 2c o s c o s c o s 1? ? ?? ? ?
③ 用一个独立坐标 θ 决定
刚体相对于某一起始位
置转过的角度。
结论,
? 自由运动的刚体有六个自由
度，其中：三个平动、三个
转动。
2.分子的自由度
① 单原子分子
如：氦、氖、氩等～自由运动的质点，仅有平动，
有三个自由度。
② 双原子分子 (平动＋转动或转动和振动 )
分两类：哑铃式双原子分子和非哑铃式双原子分子
?哑铃式双原子分子
?当物体运动受到某种限制时，自由度数也会减少。
如：绕定轴转动的刚体只有一个自由度。
若两原子 m1和 m2之间的距离，在运动过程中可视为
不变，这就好像两原子 m1和 m2之间由一根质量不计的
刚性细杆相连～ 哑铃式 (或刚性 )双原子分子 。
C
z
y
x
通过 C点的绕 Y,Z轴的转动，二个转动自由度
质心 C的平动，三个自由度
C
z
y
x? ?
2m1m
?非哑铃式双原子分子
分子中的两原子间的距离随时间而改变，双原子间
可视为被一根质量略去不计的弹簧相连～ 非哑铃式
或非刚性双原子分子。
质心 C的平动，三个自由度
运动
分解,
运动分解,
通过 C点的绕 Y,Z轴的转动，二个转动自由度 运动
分解,一维谐振动，一个振动自由度
3.分子能量自由度（简称自由度，用符号 i表示）
定义：分子能量中独立的速度和坐标的二次方项数
目叫做分子能量自由度。
① 单原子分子
质点平动,213
22kt m v k T? ??
气体处在平衡态,222
x y zvvv??
2221 1 1 3
2 2 2 2k t x y zm v m v m v k T? ? ? ? ?
分子平均
平动动能 动能 平动
玻耳兹
曼常量
2 3 11, 3 8 1 0
Ak R N
JK??
?
? ? ?
2221111
2222x y zm v m v m v k T? ? ? ?
～分子平均平动动能有三个独立的速度二次方项，
而且与每一个独立的速度二次方项相对应的平均平
动动能是相等的，都为各 。 1
2 kT
故,单原子分子的平均能量 。
分子能量自由度为 3
13
2 kT? ??
② 双原子分子
a.哑铃式双原子
平均
能量 2 2 2 2 21 1 1 1 12 2 2 2 2k t k r x y z y zm v m v m v J J? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
～刚性 (哑铃式 )双原子分子的平均能量共有 5个独立
的速度二次方项，其中三项属平均平动动能，两项
属平均转动动能，即分子能量自由度为 5
b.非哑铃式双原子分子
平均能量, k t k r v? ? ? ?? ? ?
一维简谐振
动的能量, 221122v C xv k x????
分子平均
振动动能
平均振
动势能
分子的折
合质量 12
12
mm
mm?
??
?
两原子振动
的相对位移
2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2x y z y z C xm v m v m v J J v k x? ? ?? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ） （ ）
k t k r v? ? ? ?? ? ? ?
～非哑铃式双原子分子的平均能量共有 7个独立的能
量二次方项，其中 6个是独立的速度二次方项,1个是
独立的坐标二次方项。在这 7个独立的能量二次方项
中，三项属平动的、两项属转动的，两项属振动的。
即分子能量自由度为 7
3i?
结论,
?
单原子分子的自由度,
非刚性双原子分子的自由度,
刚性双原子分子的自由度,5i?
7i ?
二, 能量均分定理 ～能量按自由度均分定理
玻耳兹曼
假 设,
气体处于平衡态时，分子任何一个自由
度的平均能量都相等，均为各 。 2kT
能量均分定理指出,
由定理知,
3i?
单原子分子,
刚性双原子分子,
5i?
非刚性双原子分子,
7i ?
无论是平动、转动或者振动，每一个独立的速度二次
方项或每一个独立的坐标二次方项所对应的平均能量
均相等，都等于 。 2kT
13
22i k T k T? ? ? ?
15
22i k T k T? ? ? ?
17
22i k T k T? ? ? ?
11()
22
t r v k T i k T? ? ? ? ? ? ?
三, 理想气体的内能和摩尔热容
气体内能,分子的动能、势能、分子间的相互作用能
理想气体：略去分子间的相互作用的气体。
1
2 2 2A A A
iiE N N i k T N k T R T?? ? ? ? ? ? ?
?理想气体内能,气体内所有分子的动能和分子内原
子间的势能之和。
1mol理想气
体的内能为,
(m/M)mol理想气体的内能为,
() 2miE E T R TM? ? ?
说明,
(1)理想气体的内能只取决于分子的自由度 和热力学
温度，或者说理想气体的内能只是温度 T的单值函数。
(2)对于一定量的某种理想气体, 内能的改变只与初
末态的温度有关 。 只要 Δ T 相同, Δ E就相同, 而与
过程无关 。
(3)物体的内能不同于机械能：如静止于地面的物体，
相对于地面，它的机械能（包括动能和重力势能）等
于零；而它的内能永远不会等于零 (考虑为什么？ )。
物体的内能和机械能之间可以互相转换。
?理想气
体的摩
尔热容,
,2Vm
m m id E C d T R d T
MM? ? ?,2Vm
iCR??
,,
2
2p m V m
iC C R R?? ? ?,
,
2pm
Vm
C i
Ci
? ???
气 体 Cv,m Cp,m Cp,m-Cv,m
单原子分子 3 12.47 20.78 8.31 1.67
刚性双原子分子 5 20.78 29.09 8.31 1.40
非刚性双原子分子 7 29.09 37.39 8.31 1.39
刚性三原子分子 6 24.93 33.24 8.31 1.33
非刚性三原子分子 12 49.86 58.17 8.31 1.17
?
7
2kT
i
5
2kT
3
2kT
3kT
6kT
P239 表 7-1
(Cp,m,Cv,m 的单位均为, R 的单位为 ) 11J mol K???? 118,3 1 J m o l K????
理想气体分子自由度、分子平均能量和摩尔热容的理论值
作业,P269
习题 7-10
,
,
pm
Vm
C
C? ?
观点出发，运用统计方法来研究大量气体分子的热运
动规律,并对理想气体的热学性质给予微观说明。
第七章 气体动理论
学时,8
气体动理论,
结构框图
分子
热运
动统
计规
律性
理想气体物态方程
平均平动
动能与温
度的关系
能量
均分
定理
理想气
体内能
两者与压强、
温度的关系
分子平均碰撞次
数和平均自由程
物质
微观
模型
理想
气体
压强
公式
气体分
子速率
分布律
三种统
计速率
?物质的微观模型，理想气体的压强和温度的微观本
质，能量均分定理，理想气体的内能 。
主要内容,
?麦克斯韦气体分子速率分布律，要求掌握三种统计
速率的计算
?分子平均由由程、碰撞次数
?简略介绍在非平衡态下气体内的迁移现象、热力学
第二定律的统计解释和玻耳兹曼关系式 。
§ 7-1 物质的微观模型 统计规律性
一、分子的数密度和线度
? 物质的分子是可以独立存在、并保持该物质原
有性质的最小粒子。
? 实验证明,1mol 任何物质中所含的分子 (或原
子，离子 )数都是相同的，其值即为阿伏伽德罗常
数,N
A＝ 6.0221367(36)× 1023mol-1
?分子数密度,单位体积内的分子数，用符号 n表示
由实验可测得，在通常温度和压强下，氧的
n≈2.5 × 1019cm-3，氮的 n≈2.47 × 1019cm-3，水的
n≈3.3 × 1022cm-3，铜的 n≈7.3 × 1022cm-3。
而分子质量 m很小，如，氢分子 m=0.332× 10-26 kg，
氧分子 m=5.31× 10-26 kg
?分子的线度,分子自身的直径，数量级约为 10-10m 。
如,实验表明：在标准状态下，氧气分子间的距离约
为分子直径的 10倍。即，每个氧分子占有的体积 V
约为氧分子本身体积的 1000
?在标准状态下容器中的气体分子可以看成大小可略
去不计的质点。
?随着气体压强的增加，分子间的距离要变小，但在
不太大的压强下，每个分子占有的体积仍比分子本身
的大小要大得多,
? 固体和液体的分子之所以会聚在一起而不分开，是
因为分子之间有相互吸引力；
? 固体和液体又很难压缩，即使气体也不能无限制地
压缩，说明分子之间有斥力。
二、分子力
? 分子力,分子之间的相互作用力 ---包括斥力和引
力。在本质上分子力属于分子和原子内的电荷之间相
互作用的电磁力。
分子力（包括斥力和引力及其合力 F）的大小与分子
之间的距离 r有关。其分子力曲线如图所示。
(1)当 ( 的数量级约为 )时，斥力 =
引力,F= 0，分子受力平衡。 称为平衡位置。 0rr? 0
r 1010 m?
0r
(2)当 时，斥力 > 引力，分子力表现为斥力，
且随 的减少而急剧增加。 0rr?r
(3)当 时，斥力 < 引力，分子力表现为引力，
且随 的增大而先增大后减小；当 > 分子力的有效
作用距离 (亦称分子力的有效作用半径，约 )
时，引力很快趋于零，分子力可忽略不计。
0rr?
910 m?
r r
三、分子热运动的无序性及统计规律性
1.气体分子热运动 (常温、常压 )特征,
? 气体分子的热运动是分子在惯性支配下的自由运动。
? 气体分子热运动的平均速率很大，相继两次碰撞之
间自由运动的平均路程很小。
实验与计算：气体分子之间的距离很大，除分子和分
子相碰的瞬间 (约为 )外，分子力很小可忽略，
而重力作用也可忽略，所以气体分子在相继两次碰撞
之间的运动可看作是在惯性支配下的自由运动。
1310 s?
? 气体分子相互之间的碰撞极为频繁。
根据计算，一秒钟内一个分子和其他分子碰撞的平
均次数约为 (几十亿 )次，由于气体分子之间极
其频繁地碰撞，使分子的运动路径是迂回曲折的折
线，使气体分子的运动速度的大小和方向瞬息万变，
杂乱无章，这就是气体分子热运动的不规则性 (或称
为 无序性 )。
1010
2.统计规律性
大量偶然事件总体具有的规律性。
统计规律性是对大量分子整体
而言的
例：伽耳顿板实验,掷骰子、
抛硬币
伽尔顿板实验
每个小球落入哪个槽是偶然的
少量小球按狭槽分布有明显偶然性
大量小球按狭槽分布呈现规律性
掷骰子
每掷一次出现点数是偶然的
掷少数次，点数分布有明显偶然性
掷大量次数，每点出现次数约 1/6，呈现
规律
抛硬币
每抛一次出现正反面是偶然的
抛少数次，正反数分布有明显偶然性
抛大量次数，正反数约各 1/2，呈现规律性
? 理想气体的微观模型
§ 7-2 理想气体的压强公式
① 分子本身的大小与分子间平均距离相比可以忽略不
计，分子间的平均距离很大，分子可以看作是 质点 。
② 除碰撞的瞬间外，分子间的相互作用力可忽略不计。
因此在两次碰撞之间，分子的运动可当作 匀速直线
运动 。
③ 气体分子间的碰撞以及气体分子与器壁间的碰撞可
看作是完全 弹性碰撞 。分子与器壁间的碰撞只改变
分子运动的方向，不改变它的速率，气体分子的动
能不因与器壁碰撞而有任何改变。
理想气体,可视为由大量的作无规运动的、其体积及
彼此间相互作用可略去不计的的弹性小球所组成。
?理想气体压强公式
以理想气体微观模型为对象, 运用牛顿定律, 采取
求 微观量平均值 的统计方法来导出理想气体的压强 (宏
观量 )公式 。
设任意形状容器中贮有一定量的理想气体, 体积为 V,
含有 N个同类气体分子, 气体分子数密度为, 每个
分子的质量均为 m
Nn
V?
在平衡状态下，容器壁上的每部分都受到大量分子
的碰撞，容器中的每个器壁都受到均匀的连续的冲力，
各处的压强均相等。
只要计算容器中任何一个器壁所受的压强即可。取
直角坐标,求垂直于 轴的器壁上面积 dA所受的
压强。
xyz x
为了讨论方便，可以把分子分成若干组，每组内分子
具有大小相等、方向一致的速度。每组的分子数密度
为
1 inn??? ???、,,
i
i
nn? ?
则有,
x
z
y
o ixv
iyv
izv
?
iv
i
⑴ 单个分子,分子 i和壁面的 dA的碰撞
碰前的速度,
i ix iy izv v i v j v k? ? ?
x
z
y
y
z
x
ixmv i?
ixmv i
ixv
izv
iyv
碰后的速度,
i ix iy izv v i v j v k? ? ? ?
分子动量增量,( ) ( ) 2
i i x i x i xm v m v i m v i m v i? ? ? ? ? ?
根据动量定理,i分子动量增量等于器壁给予 i分子
的力的冲量，力的方向与 x轴正方向相反。
根据牛顿第三定律,i分子施与壁面 dA力的冲量为
,力的方向与 x轴正方向相同。
2 ixmv i
(2)dt时间内所有分子施与壁
面 dA的总冲量
iv
ixv dt
dA
x
具有 分子中,dt内能与 dA
相碰的分子仅位于以 dA为底、
vixdt为高、为轴线的斜形柱
体内的那一部分分子。
iv
i i ixn d V n v d t d A? ? ? ? ?
容器中气体无整体运动,
平均来讲 vix> 0 的分子
数等于 vix< 0 的分子数。
依上面的假设,的分子数密度, dt内与 dA相碰
的分子数为, iniv
一组分子在 dt时间内施与壁面 dA的总冲量 为, iv
22 i ixn m v d t d A? ? ?
dt时间内所有分子施与 dA的总冲量对 求和，但仅有
才能与 dA相碰。 ix
v
0ixv ?
22
( 0 )
2
ix
i i x i i x
i v i
d I n m v d t d A n m v d t d A
?
? ? ? ? ? ? ???
⑶ 气体施与器壁的宏观量压强,
22
i i x i i x
ii
dIp n m v m n v
d t d A
? ? ? ?
? ??
以 表示对 所有分子平均值,则有,2
xv 2xv
22
22
2 1 1 2 2
12
i i x i i x
x x i i
x
i
i
n v n v
n v n v
v
n n n n
??
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
??
?
2
xp n m v??
在平衡状态下，气体性质与方向无关，分子沿各个
方向的机率均等。
222
x y zvvv??
对大量分子而言，必有,
理想气体
压强公式
2 2 2 2 2 2 2 2 2;3
i ix iy iz x y z xv v v v v v v v v? ? ? ? ? ? ? ?
222 1 2()
3 2 3xk
p nm v n m v n ?? ? ? ?
式中,～分子的平均平动动能 21
2k mv? ?
nm? ? 21
3pv??
～气体的密度，则,
注意,
⑴ 上式将宏观量 p与微观量 的平均值 联系起
来了。 2
1
2 mv k?
k?
p可以由实验测定，而 不能直接测定
～气体的压强正比于单位积内的分子数和分子的平均
平动动能。
分子施与器壁冲量大小是涨落不定的，即,p是
一个统计平均值（统计量）。
2
3 kpn??
～一个统计规律,而不是一个力学规律。即
说个别分子产生多大压强，是无意义的。
⑶ 从此公式出发，可以满意地解释或论证已经验证过
的理想气体诸定律，是气体动理论的基本公式之一。
⑵ 推导过程引入统计概念和方法。
§ 7—3 理想气体分子的平均平动动能与温度的关系
气体的温度与
分子的平均平
动动能的关系
宏观量：
温度的微
观本质
2
3
kpn
m
PV RT
M
??
?
说明
温度标志着物体
内部分子无规则
运动的激烈程度
213
22k
m v k T? ??
：分子无规则
运动激烈程度
的定量表示
k?
理想气体的状态方程,
mp V R T
M
??,Am m N M m N? ? ? ? ?
气体
质量
分子
质量
气体的
分子数
阿伏伽德
罗常数
A
NRp T n k T
VN
? ? ?
2 3 11, 3 8 1 0
Ak R N
JK??
?
? ? ?分子数密度
玻耳兹
曼常量
22 2 1 2()
3 2 3xk
p n m v n m v n n k T?? ? ? ? ?
注意,
⑴ 温度 T是表征大量分子热运动激烈程度的宏观物理量。
气体的温度越高，分子的平均平动动能越大；分子
平均平动动能越大，分子热运动的程度越激烈。
⑵ 温度 T与 联系,T是大量分子热运动的集体表现，
具有统计意义。与压强一样，温度也是一个统计量。
对个别分子，说它有多少温度是没有意义的。
k?
(3)不同种类的两种理想气体，只要温度 T 相同，则
分子的平均平动动能相同；反之当它们的分子的平
均平动动能相同时，则它们的温度一定相同。
解,1eV～近代物理中常用能量单位
～一个电子在电场中通过电位差 1V的区间时，电
场力所获得的能量。
例,在多高的温度下，气体分子的平均平动动能等于
一个电子伏特？
1 9 1 91 1, 6 0 2 1 8 9 2 1 0 1 1, 6 0 2 1 0e V C V J??? ? ? ? ?
3 1
2k
kT eV? ??
19
3
23
2 1 2 1, 6 0 2 1 0 7, 7 3 1 0
3 3 1, 3 8 1 0
eVTK
k
?
?
??? ? ? ? ? ?
??
作业,P268 7-3 7-4
191, 6 0 2 1 8 9 2 1 0eC ???
§ 7—4 能量均分定理 理想气体内能
一, 分子能量自由度
前面讨论分子热运动，只考虑气体分子的平动。一
般地，除单原子分子外，分子的运动除了平动，还有
转动和分子间原子间的振动。
引用力学中的自由度概念，确定分子的各种形式
运动能量的统计规律。
1.物体的自由度数,决定一个物体的空间位置所需要
的独立坐标数。
质
点
① 空间运动：三个独立坐标 X,Y,Z 三个自由度
② 平面、曲面运动：只需两个独立坐标 二个自由度
③ 直线、曲线运动：一个独立坐标 一个自由度
?刚体：除了平动，还有转动。
可以分解：质心平动及绕通过质心轴的转动。
① 平动：三个独立坐标如 X,Y,Z,决定其质心位置
② 用两个独立坐标如 α, β （三个方位角中只有
两个是独立的,）
决定转轴的方位。
2 2 2c o s c o s c o s 1? ? ?? ? ?
③ 用一个独立坐标 θ 决定
刚体相对于某一起始位
置转过的角度。
结论,
? 自由运动的刚体有六个自由
度，其中：三个平动、三个
转动。
2.分子的自由度
① 单原子分子
如：氦、氖、氩等～自由运动的质点，仅有平动，
有三个自由度。
② 双原子分子 (平动＋转动或转动和振动 )
分两类：哑铃式双原子分子和非哑铃式双原子分子
?哑铃式双原子分子
?当物体运动受到某种限制时，自由度数也会减少。
如：绕定轴转动的刚体只有一个自由度。
若两原子 m1和 m2之间的距离，在运动过程中可视为
不变，这就好像两原子 m1和 m2之间由一根质量不计的
刚性细杆相连～ 哑铃式 (或刚性 )双原子分子 。
C
z
y
x
通过 C点的绕 Y,Z轴的转动，二个转动自由度
质心 C的平动，三个自由度
C
z
y
x? ?
2m1m
?非哑铃式双原子分子
分子中的两原子间的距离随时间而改变，双原子间
可视为被一根质量略去不计的弹簧相连～ 非哑铃式
或非刚性双原子分子。
质心 C的平动，三个自由度
运动
分解,
运动分解,
通过 C点的绕 Y,Z轴的转动，二个转动自由度 运动
分解,一维谐振动，一个振动自由度
3.分子能量自由度（简称自由度，用符号 i表示）
定义：分子能量中独立的速度和坐标的二次方项数
目叫做分子能量自由度。
① 单原子分子
质点平动,213
22kt m v k T? ??
气体处在平衡态,222
x y zvvv??
2221 1 1 3
2 2 2 2k t x y zm v m v m v k T? ? ? ? ?
分子平均
平动动能 动能 平动
玻耳兹
曼常量
2 3 11, 3 8 1 0
Ak R N
JK??
?
? ? ?
2221111
2222x y zm v m v m v k T? ? ? ?
～分子平均平动动能有三个独立的速度二次方项，
而且与每一个独立的速度二次方项相对应的平均平
动动能是相等的，都为各 。 1
2 kT
故,单原子分子的平均能量 。
分子能量自由度为 3
13
2 kT? ??
② 双原子分子
a.哑铃式双原子
平均
能量 2 2 2 2 21 1 1 1 12 2 2 2 2k t k r x y z y zm v m v m v J J? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
～刚性 (哑铃式 )双原子分子的平均能量共有 5个独立
的速度二次方项，其中三项属平均平动动能，两项
属平均转动动能，即分子能量自由度为 5
b.非哑铃式双原子分子
平均能量, k t k r v? ? ? ?? ? ?
一维简谐振
动的能量, 221122v C xv k x????
分子平均
振动动能
平均振
动势能
分子的折
合质量 12
12
mm
mm?
??
?
两原子振动
的相对位移
2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2x y z y z C xm v m v m v J J v k x? ? ?? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ） （ ）
k t k r v? ? ? ?? ? ? ?
～非哑铃式双原子分子的平均能量共有 7个独立的能
量二次方项，其中 6个是独立的速度二次方项,1个是
独立的坐标二次方项。在这 7个独立的能量二次方项
中，三项属平动的、两项属转动的，两项属振动的。
即分子能量自由度为 7
3i?
结论,
?
单原子分子的自由度,
非刚性双原子分子的自由度,
刚性双原子分子的自由度,5i?
7i ?
二, 能量均分定理 ～能量按自由度均分定理
玻耳兹曼
假 设,
气体处于平衡态时，分子任何一个自由
度的平均能量都相等，均为各 。 2kT
能量均分定理指出,
由定理知,
3i?
单原子分子,
刚性双原子分子,
5i?
非刚性双原子分子,
7i ?
无论是平动、转动或者振动，每一个独立的速度二次
方项或每一个独立的坐标二次方项所对应的平均能量
均相等，都等于 。 2kT
13
22i k T k T? ? ? ?
15
22i k T k T? ? ? ?
17
22i k T k T? ? ? ?
11()
22
t r v k T i k T? ? ? ? ? ? ?
三, 理想气体的内能和摩尔热容
气体内能,分子的动能、势能、分子间的相互作用能
理想气体：略去分子间的相互作用的气体。
1
2 2 2A A A
iiE N N i k T N k T R T?? ? ? ? ? ? ?
?理想气体内能,气体内所有分子的动能和分子内原
子间的势能之和。
1mol理想气
体的内能为,
(m/M)mol理想气体的内能为,
() 2miE E T R TM? ? ?
说明,
(1)理想气体的内能只取决于分子的自由度 和热力学
温度，或者说理想气体的内能只是温度 T的单值函数。
(2)对于一定量的某种理想气体, 内能的改变只与初
末态的温度有关 。 只要 Δ T 相同, Δ E就相同, 而与
过程无关 。
(3)物体的内能不同于机械能：如静止于地面的物体，
相对于地面，它的机械能（包括动能和重力势能）等
于零；而它的内能永远不会等于零 (考虑为什么？ )。
物体的内能和机械能之间可以互相转换。
?理想气
体的摩
尔热容,
,2Vm
m m id E C d T R d T
MM? ? ?,2Vm
iCR??
,,
2
2p m V m
iC C R R?? ? ?,
,
2pm
Vm
C i
Ci
? ???
气 体 Cv,m Cp,m Cp,m-Cv,m
单原子分子 3 12.47 20.78 8.31 1.67
刚性双原子分子 5 20.78 29.09 8.31 1.40
非刚性双原子分子 7 29.09 37.39 8.31 1.39
刚性三原子分子 6 24.93 33.24 8.31 1.33
非刚性三原子分子 12 49.86 58.17 8.31 1.17
?
7
2kT
i
5
2kT
3
2kT
3kT
6kT
P239 表 7-1
(Cp,m,Cv,m 的单位均为, R 的单位为 ) 11J mol K???? 118,3 1 J m o l K????
理想气体分子自由度、分子平均能量和摩尔热容的理论值
作业,P269
习题 7-10
,
,
pm
Vm
C
C? ?
