§ 3.高斯定理
习题
p73 1-14,15,16,17,20
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
电力线、通量
? 为什么要研究通量、环流？
? 对象变导致一系列深刻的变化 —— 不仅规律
的形式，而且规律的性质发生变化
研究范畴 对象 规律 规律的性质
牛顿力学 质点、刚体、连续体 可逆 决定论
热学 大量分子构成的群体 不 可逆性 非决定论
引入熵 概率论
? 表明研究对象变化, 规律性质发生变化,
? 会有相应的数学手段的引入
? 如牛顿研究引力的同时提出了微积分
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
场是一定空间范围内连续分布的客体
? 温度 T 温度分布 —— 温度场（标量场）
? 流速 v 流速分布 —— 流速场（矢量场）
? 电荷产生的场具有什么性质？
? 已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分布
? 已知场分布也可求得其他带电体在其中的运动
? 物理学家不满足于这些,各种各样的电荷的场分布五
花八门，只是表面现象，其本质是什么？
? 期望从不同的角度揭示电场的规律性
? 经过探索通过与流体类比找到用矢量场论来描述电场
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
流速场
? 有源（或汇）、有旋,两者兼而有之
0
0
0
0
0
?
?
?
?
?
?? ??? lvSv
LS
d环流d通量
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
类比
? 流线 —— 电力线
? 流量 —— 电通量
SdEE d SdS E ??? ?c o s?的通量通过d
?物理意义：穿过 dS的电力线的根数
?电通量与电场强度的关系？
?定义电力线数密度：单位面积内电力线的根数
令其等于该处电场强度的大小
?人为定义
EdSdEE d SdNdS
dNE ?????? ??'
'
EdS ?'
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
任意曲面
? 规定：
? 取闭合面外法线方向为正, 则
?? ???
S
E SdE
任意闭合曲面
?? ???
S
E SdE
0,2;0,2 ?????? EE dd ????
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
高斯定理 p22
? 立体角定义
??? ????
内S
i
S
E qSdE
0
1
?通过任意
闭合曲面
的电通量 Gauss
面
Gauss面上的场强, 是
所有电荷产生的场
面内电量的代
数和, 与面外
电荷无关
）球面度(?' 22 r drdSd Sr ????
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
证明,从特殊到一般
? 点电荷 q被任意 球面 包围
设 q >0，场具有球对称性
2
04
1
r
qE
??? 0
2
0
2
0
4
1
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??
q
dS
r
q
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r
q
E d SSdE
S
S SS
E
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??
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24 r?
? 一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为
中心的任意球面的电通量等于
0?
q
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
点电荷 q被
任意 曲面 包围
? 对整个闭合面 S有
?? dqr dqrSqd E
0
2
0
2
0 4
?
4
'
4 ?????? ?
??? Sr
000 44 ?????
qdqdqd
SSS
EE ???? ?????? ????
?4
? 包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于
? 结果与电力平方反比律分不开 0?
q
2?? rf
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
闭合曲面不包围点电荷
? 闭合曲面不包围点电荷,
dS′与 dS所对的立体角 ?? dd ??'
? 则电通量也有 EE ?? ??'
? 对于闭合面 S’+S，总通量为 0??
E
? 结论：通过不包围点电荷的闭合曲面的
电通量为零
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
多个点电荷
被任意闭合曲面包围
? 设带电体系由 n个点电荷组
成,其中 k个在 闭合面内,
n-k个在 闭合面外
? 由场强叠加原理，通过闭
合面的总通量为
?????
??????
??????
????????
?
内S
i
S
n
S
k
S
k
SS
E
qSdESdE
SdESdESdE
0
1
1
1
?
?
?
=0
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
讨论,Gauss 定理说明
? 闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量,只
要 S内 电荷不为零, 则通量不为零 —— 有源
? 正电荷 —— 喷泉形成的流速场 —— 源
? 负电荷 —— 有洞水池中的流速场 —— 汇
? 闭合 面外的电荷 虽然对通量没有贡献, 但并不
意味着不影响闭合面上的电场, 高斯面上的场
强是空间所有带电体所产生的
? 高斯定理是静电场的一条重要的定理, 有其重
要的理论地位, 是静电场基本方程之一, 它
是由库仑定律导出的, 反映了电力平方反比
律, 如果电力平方反比律不满足, 则高斯定
理也不成立 。
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
? 静电力是有心力，但高斯定理只给出了
源和通量的关系，并没有反映静电场是
有心力场这一特性，它只反映静电场性
质的一个侧面（下一节还要讲另一个定
理 —— 环路定理）
? 所以不能说高斯定理与库仑定律完全等价
? 若不添加附加条件（如场的对称性等），
无法从高斯定理导出库仑定理
? 电力平方反比律 —— 高斯定理
? 电荷间的作用力是有心力 —— 环路定理
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
从 Gauss定理看 电场线 的性质
? 电场线疏的地方场强小，密
的地方场强大
）管内无电荷(0co sco s 222111 ??? SESEE ??? ??
1
2
22
11
c o s
c o s
S
S
E
Eor
?
?＝：－
?
?
? 电场线起始于正电荷或无穷
远，止于负电荷或无穷远
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
Gauss定理应用列举
? 定理反映了静电场的性质 —— 有源场
? 提供求带电体周围的电场强度的方法
? P24－ p29
? 球对称的电场
? 轴对称的电场
? 无限大带电平面的电场
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
球对称的电场 p24
? 例题 6：求均匀带正电球
壳内外的场强, 设球壳所
带电量为 Q,半径为 R
? 在球坐标下分析, ?? EEEpE r,，~)(
? 球壳电荷均匀分布, 围绕任一直径都是旋
转不变 —— 场强分布也不变, 但旋转时 E?
和 E?变 —— 只有 E?＝ 0和 E?＝ 0
? 只有径向分量 Er不为零, r相同 Er相同 ——
场呈球对称分布
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
? 根据场的对称性做高斯面
? 求出通过 Gauss面的通量
00
1
??
QqSdERr
S
i
S
E ????? ???
内
?
2
0
2
44 r
QEErdSEE d S
SS ??
? ???? ????
0
04 2
??
???? ????
E
ErdSEE d SRr
SS
?
? 结论：球壳内 E=0； 球壳外 与点电荷场相同
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
P26例题 7
? 利用例题 6的结果，球外一样
? 在球内任意取半径为 r的 Gauss面
? 注意计算 r<R时，高斯面内所包
围的电量为 体电荷
3
4' 3rq
e
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
4
1
)(
4
1
3
0
2
0
Rr
R
Qr
Rr
r
Q
E
??
??
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
轴对称的电场
? p27例题 8求无限长均
匀带电棒外的场强分
布
? 在柱坐标下分析
? 作平面 П1和 П2
?柱体对 П1镜像反射变换是不变的 —— 场分布也不变
?但此变换下 Eφ分量反向，只有 Eφ＝ 0
?柱体对 П2镜像反射变换是不变的 —— 场分布也不变
?但此变换下 Ez分量反向，只有 Ez＝ 0
?剩下唯一不可能等于 0的分量只有 Er
?无限长圆柱体具有沿 z方向的平移不变性
? —— 等 r处 Er相等 —— 轴对称性
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
设棒上线电荷密度为 +?e
? 作高斯面 —— 以细棒为对称轴的圆柱（ l长）
? 求出通过 Gauss面的通量
00
1
?
?
?
lqSdE e
S
i
S
E ???? ???
内
?
r l ESdESdESdE ?2?????? ??????
侧面下底上底
E⊥ dS E 是常数
r
E e?
?? 02
1?
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
无限大带电平面的电场
? 设带电板的面电荷密度
为 +?e
? 对称性分析
? 在直角坐标下分析
? 对 yz平面,镜像反射变
换不变,场也不变
? —— Ex=0
? 对 zx平面 镜像反射变换
不变，场也不变
? —— Ey=0
? 只有 Ez不为零，
无限大平面自身具有平
移不变性,Ez与场点的
坐标无关
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
? 结论：均匀带电的无限大平面板产生的场强大
小与场点到平面的距离无关
? 图示 c板间场强为何？
EΔS
00
1
?
?
?
SqSdE e
S
i
S
E
?????? ???
内
SESdESdESdE ??????? ?????? 2
侧面下底上底
方向如图,2
0?
? eE ??
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
讨论,
? 以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、
面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。
? 用 Gauss定理可以计算具有强对称性场的场强
? 通量要好算
? 注意选取合适的 Gauss面
? Gauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用，
计算各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。
? 上述三个例子的结论可以作为已知结论运用, 例如
? 求两块无限大带电平面板的场分布
? 求均匀带电球体内外的场分布
? 求均匀带电的无限长圆柱内外场分布
? 整体不具有对称性, 但局部具有对称性的电荷分布的电
场, 可以分别求出场强再叠加
习题
p73 1-14,15,16,17,20
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
电力线、通量
? 为什么要研究通量、环流？
? 对象变导致一系列深刻的变化 —— 不仅规律
的形式，而且规律的性质发生变化
研究范畴 对象 规律 规律的性质
牛顿力学 质点、刚体、连续体 可逆 决定论
热学 大量分子构成的群体 不 可逆性 非决定论
引入熵 概率论
? 表明研究对象变化, 规律性质发生变化,
? 会有相应的数学手段的引入
? 如牛顿研究引力的同时提出了微积分
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
场是一定空间范围内连续分布的客体
? 温度 T 温度分布 —— 温度场（标量场）
? 流速 v 流速分布 —— 流速场（矢量场）
? 电荷产生的场具有什么性质？
? 已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分布
? 已知场分布也可求得其他带电体在其中的运动
? 物理学家不满足于这些,各种各样的电荷的场分布五
花八门，只是表面现象，其本质是什么？
? 期望从不同的角度揭示电场的规律性
? 经过探索通过与流体类比找到用矢量场论来描述电场
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
流速场
? 有源（或汇）、有旋,两者兼而有之
0
0
0
0
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LS
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2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
类比
? 流线 —— 电力线
? 流量 —— 电通量
SdEE d SdS E ??? ?c o s?的通量通过d
?物理意义：穿过 dS的电力线的根数
?电通量与电场强度的关系？
?定义电力线数密度：单位面积内电力线的根数
令其等于该处电场强度的大小
?人为定义
EdSdEE d SdNdS
dNE ?????? ??'
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EdS ?'
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
任意曲面
? 规定：
? 取闭合面外法线方向为正, 则
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任意闭合曲面
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2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
高斯定理 p22
? 立体角定义
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0
1
?通过任意
闭合曲面
的电通量 Gauss
面
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所有电荷产生的场
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数和, 与面外
电荷无关
）球面度(?' 22 r drdSd Sr ????
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
证明,从特殊到一般
? 点电荷 q被任意 球面 包围
设 q >0，场具有球对称性
2
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? 一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为
中心的任意球面的电通量等于
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2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
点电荷 q被
任意 曲面 包围
? 对整个闭合面 S有
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? 包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于
? 结果与电力平方反比律分不开 0?
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2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
闭合曲面不包围点电荷
? 闭合曲面不包围点电荷,
dS′与 dS所对的立体角 ?? dd ??'
? 则电通量也有 EE ?? ??'
? 对于闭合面 S’+S，总通量为 0??
E
? 结论：通过不包围点电荷的闭合曲面的
电通量为零
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
多个点电荷
被任意闭合曲面包围
? 设带电体系由 n个点电荷组
成,其中 k个在 闭合面内,
n-k个在 闭合面外
? 由场强叠加原理，通过闭
合面的总通量为
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2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
讨论,Gauss 定理说明
? 闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量,只
要 S内 电荷不为零, 则通量不为零 —— 有源
? 正电荷 —— 喷泉形成的流速场 —— 源
? 负电荷 —— 有洞水池中的流速场 —— 汇
? 闭合 面外的电荷 虽然对通量没有贡献, 但并不
意味着不影响闭合面上的电场, 高斯面上的场
强是空间所有带电体所产生的
? 高斯定理是静电场的一条重要的定理, 有其重
要的理论地位, 是静电场基本方程之一, 它
是由库仑定律导出的, 反映了电力平方反比
律, 如果电力平方反比律不满足, 则高斯定
理也不成立 。
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
? 静电力是有心力，但高斯定理只给出了
源和通量的关系，并没有反映静电场是
有心力场这一特性，它只反映静电场性
质的一个侧面（下一节还要讲另一个定
理 —— 环路定理）
? 所以不能说高斯定理与库仑定律完全等价
? 若不添加附加条件（如场的对称性等），
无法从高斯定理导出库仑定理
? 电力平方反比律 —— 高斯定理
? 电荷间的作用力是有心力 —— 环路定理
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
从 Gauss定理看 电场线 的性质
? 电场线疏的地方场强小，密
的地方场强大
）管内无电荷(0co sco s 222111 ??? SESEE ??? ??
1
2
22
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c o s
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S
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?
? 电场线起始于正电荷或无穷
远，止于负电荷或无穷远
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
Gauss定理应用列举
? 定理反映了静电场的性质 —— 有源场
? 提供求带电体周围的电场强度的方法
? P24－ p29
? 球对称的电场
? 轴对称的电场
? 无限大带电平面的电场
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
球对称的电场 p24
? 例题 6：求均匀带正电球
壳内外的场强, 设球壳所
带电量为 Q,半径为 R
? 在球坐标下分析, ?? EEEpE r,，~)(
? 球壳电荷均匀分布, 围绕任一直径都是旋
转不变 —— 场强分布也不变, 但旋转时 E?
和 E?变 —— 只有 E?＝ 0和 E?＝ 0
? 只有径向分量 Er不为零, r相同 Er相同 ——
场呈球对称分布
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
? 根据场的对称性做高斯面
? 求出通过 Gauss面的通量
00
1
??
QqSdERr
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2
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E
ErdSEE d SRr
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? 结论：球壳内 E=0； 球壳外 与点电荷场相同
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
P26例题 7
? 利用例题 6的结果，球外一样
? 在球内任意取半径为 r的 Gauss面
? 注意计算 r<R时，高斯面内所包
围的电量为 体电荷
3
4' 3rq
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2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
轴对称的电场
? p27例题 8求无限长均
匀带电棒外的场强分
布
? 在柱坐标下分析
? 作平面 П1和 П2
?柱体对 П1镜像反射变换是不变的 —— 场分布也不变
?但此变换下 Eφ分量反向，只有 Eφ＝ 0
?柱体对 П2镜像反射变换是不变的 —— 场分布也不变
?但此变换下 Ez分量反向，只有 Ez＝ 0
?剩下唯一不可能等于 0的分量只有 Er
?无限长圆柱体具有沿 z方向的平移不变性
? —— 等 r处 Er相等 —— 轴对称性
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
设棒上线电荷密度为 +?e
? 作高斯面 —— 以细棒为对称轴的圆柱（ l长）
? 求出通过 Gauss面的通量
00
1
?
?
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2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
无限大带电平面的电场
? 设带电板的面电荷密度
为 +?e
? 对称性分析
? 在直角坐标下分析
? 对 yz平面,镜像反射变
换不变,场也不变
? —— Ex=0
? 对 zx平面 镜像反射变换
不变，场也不变
? —— Ey=0
? 只有 Ez不为零，
无限大平面自身具有平
移不变性,Ez与场点的
坐标无关
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
? 结论：均匀带电的无限大平面板产生的场强大
小与场点到平面的距离无关
? 图示 c板间场强为何？
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00
1
?
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侧面下底上底
方向如图,2
0?
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2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
讨论,
? 以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、
面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。
? 用 Gauss定理可以计算具有强对称性场的场强
? 通量要好算
? 注意选取合适的 Gauss面
? Gauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用，
计算各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。
? 上述三个例子的结论可以作为已知结论运用, 例如
? 求两块无限大带电平面板的场分布
? 求均匀带电球体内外的场分布
? 求均匀带电的无限长圆柱内外场分布
? 整体不具有对称性, 但局部具有对称性的电荷分布的电
场, 可以分别求出场强再叠加
