讲座一
电力平方反比律的精确验证
—— Cavendish-Maxwell
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
Cavendish(1731-1810)实验想法,
? 则均匀带电导体球壳内表面将带电
0若设 ?? ?? ??,2rf
0,,,?）（ 总内 baQQ ?
? 找出此函数关系（理论），比较 Q内
与 Q总 （实验），便可确定 ?的下限。
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
02 ???? ? ?nrf n 若设,
? 电荷 Q 将受到的指向或背向
球心 O的作用力
Q不在球心
的作用力及受 21 dSdSQ ??
nn r
QdS
r
QdSdF
2
2
1
1 ?? ??
2
2
2
2
1
1 c o sc o s
r
dS
r
dSd ?? ???
)11(c o s 2
2
2
1
?? ?
??
nn rr
QddF
?
? 00,2 ???? dFn ?若
? 证明：若 ??0，则 均匀带电球面对内部任
意点电荷作用力不为零
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
点背向合指向
点指向合力指向
同号设
OdSFdn
OdSFdn
Q
，力
，
、
0,,,2
0,,,2
0
1
2
???
???
??
?
? 电荷在球壳内任一点处（除球
心外）都受到电场力；
? 结论：若 ??0,均匀带电球壳
在球内各处场强不严格为零
（球心除外）
点指向合指向
点背向合力指向
异号设
OdSFdn
OdSFdn
Q
，力
，
、
0,,,2
0,,,2
0
2
1
???
???
??
?
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
推论,若 ??0,带电导体球壳 内
表面应带电
? ?? 0时,若内表面无电荷
分布,（只分布在外表
面），使导体中自由电子
因受力或趋向球心运动，
或背离球心而移动，最终
使电荷分布满足导体内场
强处处为零的条件 ——内
表面有电荷分布
导体内表面
带电导
体壳
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
装置,1773年
? 他是这样描述他的装置的：
,我取一个直径为 12.1英
寸的球, 用一根实心的玻
璃棒穿过中心当作轴, 并
覆盖以封蜡 。 …… 然后把
这个球封在两个中空的半
球中间, 半球直径为 13.3
英寸, 1/20英寸厚 。 ……
然后, 我用一根导线将莱
顿瓶的正极接到半球, 使
半球带电 。,
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
实验方法
? 用一根导线将内外球联在一起，外球
壳带电后，取走导线，打开外球壳，
用木髓球验电器试验内球是否带电。
? 结论：木髓球验电器没有指示, 证明
内球没有带电, 指数 02.0??
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
Cavendish其人
? Cavendish的同心球实验结果和他自己的许
多看法没有公开发表。
? 19世纪中叶，开尔文发现 Cavendish的手稿
中有圆盘和同半径的圆球所带电荷的正确
比值，才注意到这些手稿的价值，经他催
促，才于 1879年 由 Maxwell整理发表。
? 他的许多重要发现竟埋藏了一百年之久。
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
Maxwell介绍
?,这些关于数学和电学实验的手稿近 20捆,
其中, 物体上电荷 （ 分布 ）, 的实验,
Cavendish早就写好了详细的叙述, 并且费
了很大气力书写得十分工整 （ 就象要拿出
去发表的样子 ）, 而且所有这些工作在
1774年以前就已完成, 但 Cavendish（ 并
不急于发表 ） 仍是兢兢业业地继续做电学
实验, 直到 1810年去世时, 手稿仍在他身
边 。,
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
一百年以后的 Maxwell实验
? Maxwell在 Cawendish实验室重
新做了测量电力的示零实验
? 他改进了实验装置
? 导体球壳 A,B，之间用绝缘的硬
橡胶环固定
? A球固定在绝缘支架上
? 利用 C，使之可相连或分开
? M用来估计外壳上的原始电荷
M, 小的黄
铜球, 放在
了 离 外 壳 相
当 远 的 绝 缘
支架上
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
由推论,若 ??0,带电导体球壳 内表面应带电
，）（ 总内 0,,,0 ??? baQQ ??
）壳的半径是 Aa(
0,,,' ?）（ baVV B ?或，
壳的半径）是( Bb
? 与装置相联系，设函数
带电导
体壳 A
导体内表
面 B
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
实验操作如下（ 三步）
? 1.合 C,A 与 B相连，充电 VA=VB=V
? 2.撤 C,A与 B分开,A接地放电，留原处。
?? 0?若 0?）（ ?即BQ 0'' ?? ）（即 ?AQ感应使
0'0'0 ???? BV??,
0,,,' ??? 即可证实只要找出 ）（ baVV B
（见后面的理论分析）
? 3.探测 V’B，比较 V’B与 V的大小，确定 ?的下限 。
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
Maxwell作的理论分析
? 计算半径为 c的 均匀带电球壳 的电势分布
）（ 02 ?? ?? ??rf设
? ?? ??
?
?
?
???
球面球面球面
rrP
dr
r
dqE d rdVV,
2 ?
???? ddc s in2
? ? ? ?? ? ? ????0 20 2 s i n)(r drddcr?
???? 2
1)(
rr
? ?? ? ? ????0 220 s i n)(' ddcr rf ?
? ??
r drrrrf )()('定义
由于 ??0,积分不好算，定义函数是为了算出积分
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
? ?? ? ? ????0 220 s i n)(' ddcr rf
?c o s2222 cddcr ???
?? dcdr d rr s i n?:两边求导对
?? ? ? ??0 s i n12 dcdr d rrr
面元
dcrr ???? 1,??
?
?
?
?
?
?
??
??
???
cd
cddc
cdcd
rr
上，
内，
外，
,0
,
,
,0 2?
? ?? ? ??20 12 )(' d r drfdcV rrP )1()]()([2 21 rfrfdc ?? ??
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
? ?? ? ??20 12 )(' d r drfdcV rrP
)1()]()([2 21 rfrfdc ?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
?
）内（在球内，
）上（在球上，
）外（在球外
4)]()([
2
3)]0()2([
2
2) ],()([
2
2
Pdcfdcf
cd
Pfcf
a
Pcdfdcf
cd
?
?
?
为球面总电量??? 24 c?
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
?计算 两均匀带电同心球壳
内外球面的电势
)5()]()([2)]0()2([2 2 bafbafabfafaV A ?????? ??
)6()]()([2)]0()2([2 2 bafbafabfbfbV B ?????? ??
外壳上,
c=a,d=a
内壳外,
c=b,d=a
内壳上, c=b 外壳内,c=a,d=b
以上是 ??0时两个 不连通 的同心球壳的内外电势
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
? 求 ? ?0且 内外球壳连通 时, 内壳上电量 ?与 ?, 充
电电势 V以及内外半径 a, b的定量关系
? 由实验步骤 1：合 C,A 与 B相连, 充电 VA=VB=V；
? 由 （ 5） =（ 6） =V,消去 ?得内壳 B上所带电量 ?
2)]()([)]0()2()][0()2([
)]()([)]0()2([2
bafbaffbffaf
bafbafafafbVb
??????
???????
有关与 ?)()()(' rfdrrrrf r ??? ? ????? 21)( rr由
当 ??0时, 内球壳表面电荷 ?不为零
（ 7）
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
按实验步骤 2：撤 C,A与 B
分开, A接地放电, 留原处
? 计算此时内球壳 B的电势
?A球接地放电, 则 A球上电势 VA=V?V’A =0
?又因留原处并保持接地 ——A表面有感应电荷
?‘, 于是由 （ 5） 式 =0解得
)8]()0()2( )()([' faf bafbafab ? ????? ??
将 ?‘, ?代入 （ 6）
得内球壳电势 )9](
)0()2(
)()(1['
faf
bafbaf
b
aVV
B ?
??????
内球壳电势不为零,这是电力平方反比律有偏差造成的
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
计算 )0()( frf ?
??
?
??
????????
???? ??? ??
11
1)()(' 12 rrrdrrrdrrrrf
rrr
)0(11)(')( 2
1
frdrrdrrfrf ??????
?
?? ??
??
rerrfrf ln
22
1
11
)0()( ?
?
?? ?
?
?
??
?
rerrfrf ln
22
1
11)0()(
?
?
?? ?????
?
????? 22 )ln(!21ln1(1 rrr ???
做级数展开
)10)(ln1( rr ???
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
? 代入 （ 9）
? ?]ln1[2 )]ln (1)[()]ln (1)[(1' aa bababababaVV B ? ?? ? ??????????
? 展开、计算得
)11(ln4ln
2
1'
22
2
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
ba
ba
b
a
ba
aVV
B ?
?这是 Maxwell结合他的实验装置和实验步骤导出的
理论公式代入当时实验时 V, a, b数据，实验结果
表为
)12(1 4 7 8.0' dVV B ??? ?
其中 d为静电计观察不到任何效应时的 最大零点漂移值
？
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
确定静电计的灵敏度
? 给予静电计零点漂移 d以定量结果
? d取决于仪器的灵敏度
? 当时实验设备十分简陋，没有绝对测量的
标准仪器，定量确定 d有困难
? Maxwell巧妙地 将 d与充电电势 V 相比较给
出 d:V的下限，再由（ 12）式确定 ?的下限
? 方法：因 V太大，经 反复感应,使之缩小为
V/486
)12(1 4 7 8.0' dVV B ??? ?
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
将球 A充电到电势 V,带电
量 Q(Q>0),小球接地, 因感
应, 小球带电－ Q/54
撤去小球地线, 保持其电
量, 再将大球接地, 达到
平衡后大球因受小球感应
带正电, 电量为小球的 1/9
撤去大球地线, 保持其电量,
再将小球移去 ——单独的大球
的电势和电量从最初的 Q,V
减少为最终的值 （ 如图所标 ）
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
?确定 ?的下限
?静电计指示偏转为 D=V/486
?将 D 与 d 相比较，估计得 D>300d
?比较后得
1 4 5 8 0 0486300300
VVDd ?
??? 1 4 5 8 0 0
1??
V
d
2 1 6 0 0
1
1 4 5 8 0 01 4 7 8.0
1
1 4 7 8.0 ???? V
d?
dVV B ??? ?1478.0'
5105 ????M a xw el l年1879
9102 ???? 等年 P l i m p t o n1936
1610)1.37.2( ????? 等年 W i l l i a m1971
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
小结
? 测量方法构思巧妙
? 示零实验 ——假定有，证实没有
? 理论分析用到了静电学中许多知识，如：
? 导体的静电平衡、电势计算
? 利用数学工具来避免复杂计算
? 要从前辈大师地杰出工作中领悟物理学的研究方
法，通过对他们提出问题、研究问题、设计实验
来证实自己的猜测与判断最后得出结论的了解而
得到启迪。
电力平方反比律的精确验证
—— Cavendish-Maxwell
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
Cavendish(1731-1810)实验想法,
? 则均匀带电导体球壳内表面将带电
0若设 ?? ?? ??,2rf
0,,,?）（ 总内 baQQ ?
? 找出此函数关系（理论），比较 Q内
与 Q总 （实验），便可确定 ?的下限。
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
02 ???? ? ?nrf n 若设,
? 电荷 Q 将受到的指向或背向
球心 O的作用力
Q不在球心
的作用力及受 21 dSdSQ ??
nn r
QdS
r
QdSdF
2
2
1
1 ?? ??
2
2
2
2
1
1 c o sc o s
r
dS
r
dSd ?? ???
)11(c o s 2
2
2
1
?? ?
??
nn rr
QddF
?
? 00,2 ???? dFn ?若
? 证明：若 ??0，则 均匀带电球面对内部任
意点电荷作用力不为零
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
点背向合指向
点指向合力指向
同号设
OdSFdn
OdSFdn
Q
，力
，
、
0,,,2
0,,,2
0
1
2
???
???
??
?
? 电荷在球壳内任一点处（除球
心外）都受到电场力；
? 结论：若 ??0,均匀带电球壳
在球内各处场强不严格为零
（球心除外）
点指向合指向
点背向合力指向
异号设
OdSFdn
OdSFdn
Q
，力
，
、
0,,,2
0,,,2
0
2
1
???
???
??
?
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
推论,若 ??0,带电导体球壳 内
表面应带电
? ?? 0时,若内表面无电荷
分布,（只分布在外表
面），使导体中自由电子
因受力或趋向球心运动，
或背离球心而移动，最终
使电荷分布满足导体内场
强处处为零的条件 ——内
表面有电荷分布
导体内表面
带电导
体壳
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
装置,1773年
? 他是这样描述他的装置的：
,我取一个直径为 12.1英
寸的球, 用一根实心的玻
璃棒穿过中心当作轴, 并
覆盖以封蜡 。 …… 然后把
这个球封在两个中空的半
球中间, 半球直径为 13.3
英寸, 1/20英寸厚 。 ……
然后, 我用一根导线将莱
顿瓶的正极接到半球, 使
半球带电 。,
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
实验方法
? 用一根导线将内外球联在一起，外球
壳带电后，取走导线，打开外球壳，
用木髓球验电器试验内球是否带电。
? 结论：木髓球验电器没有指示, 证明
内球没有带电, 指数 02.0??
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
Cavendish其人
? Cavendish的同心球实验结果和他自己的许
多看法没有公开发表。
? 19世纪中叶，开尔文发现 Cavendish的手稿
中有圆盘和同半径的圆球所带电荷的正确
比值，才注意到这些手稿的价值，经他催
促，才于 1879年 由 Maxwell整理发表。
? 他的许多重要发现竟埋藏了一百年之久。
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
Maxwell介绍
?,这些关于数学和电学实验的手稿近 20捆,
其中, 物体上电荷 （ 分布 ）, 的实验,
Cavendish早就写好了详细的叙述, 并且费
了很大气力书写得十分工整 （ 就象要拿出
去发表的样子 ）, 而且所有这些工作在
1774年以前就已完成, 但 Cavendish（ 并
不急于发表 ） 仍是兢兢业业地继续做电学
实验, 直到 1810年去世时, 手稿仍在他身
边 。,
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
一百年以后的 Maxwell实验
? Maxwell在 Cawendish实验室重
新做了测量电力的示零实验
? 他改进了实验装置
? 导体球壳 A,B，之间用绝缘的硬
橡胶环固定
? A球固定在绝缘支架上
? 利用 C，使之可相连或分开
? M用来估计外壳上的原始电荷
M, 小的黄
铜球, 放在
了 离 外 壳 相
当 远 的 绝 缘
支架上
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
由推论,若 ??0,带电导体球壳 内表面应带电
，）（ 总内 0,,,0 ??? baQQ ??
）壳的半径是 Aa(
0,,,' ?）（ baVV B ?或，
壳的半径）是( Bb
? 与装置相联系，设函数
带电导
体壳 A
导体内表
面 B
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
实验操作如下（ 三步）
? 1.合 C,A 与 B相连，充电 VA=VB=V
? 2.撤 C,A与 B分开,A接地放电，留原处。
?? 0?若 0?）（ ?即BQ 0'' ?? ）（即 ?AQ感应使
0'0'0 ???? BV??,
0,,,' ??? 即可证实只要找出 ）（ baVV B
（见后面的理论分析）
? 3.探测 V’B，比较 V’B与 V的大小，确定 ?的下限 。
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
Maxwell作的理论分析
? 计算半径为 c的 均匀带电球壳 的电势分布
）（ 02 ?? ?? ??rf设
? ?? ??
?
?
?
???
球面球面球面
rrP
dr
r
dqE d rdVV,
2 ?
???? ddc s in2
? ? ? ?? ? ? ????0 20 2 s i n)(r drddcr?
???? 2
1)(
rr
? ?? ? ? ????0 220 s i n)(' ddcr rf ?
? ??
r drrrrf )()('定义
由于 ??0,积分不好算，定义函数是为了算出积分
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
? ?? ? ? ????0 220 s i n)(' ddcr rf
?c o s2222 cddcr ???
?? dcdr d rr s i n?:两边求导对
?? ? ? ??0 s i n12 dcdr d rrr
面元
dcrr ???? 1,??
?
?
?
?
?
?
??
??
???
cd
cddc
cdcd
rr
上，
内，
外，
,0
,
,
,0 2?
? ?? ? ??20 12 )(' d r drfdcV rrP )1()]()([2 21 rfrfdc ?? ??
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
? ?? ? ??20 12 )(' d r drfdcV rrP
)1()]()([2 21 rfrfdc ?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
?
）内（在球内，
）上（在球上，
）外（在球外
4)]()([
2
3)]0()2([
2
2) ],()([
2
2
Pdcfdcf
cd
Pfcf
a
Pcdfdcf
cd
?
?
?
为球面总电量??? 24 c?
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
?计算 两均匀带电同心球壳
内外球面的电势
)5()]()([2)]0()2([2 2 bafbafabfafaV A ?????? ??
)6()]()([2)]0()2([2 2 bafbafabfbfbV B ?????? ??
外壳上,
c=a,d=a
内壳外,
c=b,d=a
内壳上, c=b 外壳内,c=a,d=b
以上是 ??0时两个 不连通 的同心球壳的内外电势
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
? 求 ? ?0且 内外球壳连通 时, 内壳上电量 ?与 ?, 充
电电势 V以及内外半径 a, b的定量关系
? 由实验步骤 1：合 C,A 与 B相连, 充电 VA=VB=V；
? 由 （ 5） =（ 6） =V,消去 ?得内壳 B上所带电量 ?
2)]()([)]0()2()][0()2([
)]()([)]0()2([2
bafbaffbffaf
bafbafafafbVb
??????
???????
有关与 ?)()()(' rfdrrrrf r ??? ? ????? 21)( rr由
当 ??0时, 内球壳表面电荷 ?不为零
（ 7）
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
按实验步骤 2：撤 C,A与 B
分开, A接地放电, 留原处
? 计算此时内球壳 B的电势
?A球接地放电, 则 A球上电势 VA=V?V’A =0
?又因留原处并保持接地 ——A表面有感应电荷
?‘, 于是由 （ 5） 式 =0解得
)8]()0()2( )()([' faf bafbafab ? ????? ??
将 ?‘, ?代入 （ 6）
得内球壳电势 )9](
)0()2(
)()(1['
faf
bafbaf
b
aVV
B ?
??????
内球壳电势不为零,这是电力平方反比律有偏差造成的
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
计算 )0()( frf ?
??
?
??
????????
???? ??? ??
11
1)()(' 12 rrrdrrrdrrrrf
rrr
)0(11)(')( 2
1
frdrrdrrfrf ??????
?
?? ??
??
rerrfrf ln
22
1
11
)0()( ?
?
?? ?
?
?
??
?
rerrfrf ln
22
1
11)0()(
?
?
?? ?????
?
????? 22 )ln(!21ln1(1 rrr ???
做级数展开
)10)(ln1( rr ???
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
? 代入 （ 9）
? ?]ln1[2 )]ln (1)[()]ln (1)[(1' aa bababababaVV B ? ?? ? ??????????
? 展开、计算得
)11(ln4ln
2
1'
22
2
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
ba
ba
b
a
ba
aVV
B ?
?这是 Maxwell结合他的实验装置和实验步骤导出的
理论公式代入当时实验时 V, a, b数据，实验结果
表为
)12(1 4 7 8.0' dVV B ??? ?
其中 d为静电计观察不到任何效应时的 最大零点漂移值
？
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
确定静电计的灵敏度
? 给予静电计零点漂移 d以定量结果
? d取决于仪器的灵敏度
? 当时实验设备十分简陋，没有绝对测量的
标准仪器，定量确定 d有困难
? Maxwell巧妙地 将 d与充电电势 V 相比较给
出 d:V的下限，再由（ 12）式确定 ?的下限
? 方法：因 V太大，经 反复感应,使之缩小为
V/486
)12(1 4 7 8.0' dVV B ??? ?
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
将球 A充电到电势 V,带电
量 Q(Q>0),小球接地, 因感
应, 小球带电－ Q/54
撤去小球地线, 保持其电
量, 再将大球接地, 达到
平衡后大球因受小球感应
带正电, 电量为小球的 1/9
撤去大球地线, 保持其电量,
再将小球移去 ——单独的大球
的电势和电量从最初的 Q,V
减少为最终的值 （ 如图所标 ）
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
?确定 ?的下限
?静电计指示偏转为 D=V/486
?将 D 与 d 相比较，估计得 D>300d
?比较后得
1 4 5 8 0 0486300300
VVDd ?
??? 1 4 5 8 0 0
1??
V
d
2 1 6 0 0
1
1 4 5 8 0 01 4 7 8.0
1
1 4 7 8.0 ???? V
d?
dVV B ??? ?1478.0'
5105 ????M a xw el l年1879
9102 ???? 等年 P l i m p t o n1936
1610)1.37.2( ????? 等年 W i l l i a m1971
2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
小结
? 测量方法构思巧妙
? 示零实验 ——假定有，证实没有
? 理论分析用到了静电学中许多知识，如：
? 导体的静电平衡、电势计算
? 利用数学工具来避免复杂计算
? 要从前辈大师地杰出工作中领悟物理学的研究方
法，通过对他们提出问题、研究问题、设计实验
来证实自己的猜测与判断最后得出结论的了解而
得到启迪。
