§ 4 环路定理
习题
p74 1-24,25,26、
36,37,39,41
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
静电场力做功与路径无关
? 电荷间的作用力是有心力 —— 环路定理
? 讨论静电场的环流
? ??? ??
??
?
无旋
有旋
流速场的环流
0
0
ldv
? 静电场：电力线不闭合
? 可以猜到静电场的环流为零 ? ??? 0ldE
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
证明
? 单个点电荷产生的场
? 把试探电荷 q0从 P移到 Q
?? ??? ?????? QPQP rrQP rrQPQPPQ rdrqqF d rF d rdlFldFA '' 2
0
0
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0
2
0
0
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? 静电场力做功只与起点终点有关, 与路径无关
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
点电荷组产生的场
? 在电场中把试探电荷从 P移至 Q电场力所做的功
nqqq,,,21 ?
nEEEE ???? ?21
??
?
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Q
P n
Q
P
Q
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Q
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2
2
2
1
1
1
1
0
0
4 ??
P到 q1
的距离 Q到 q1的距离 每项均与路径无关，只与位置有关
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
任意有限大的带电体产生的电场
? 可以将带电体无限分割成微元，每一个
微元均为一点电荷 —— 点电荷组
? 结论, 在任何电场中移动试探电荷时,
电场力所做的功除了与电场本身有关外,
只与试探电荷的大小及其起点, 终点有
关, 与移动电荷所走过的路径无关
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
静电场的环路定理
? 静电场力做功与路径无关 等价
于 静电场力沿任意闭合回路做功
恒等于零
? ??? 0ldE? 在任意电场中取一闭合回路, 将试探电荷沿路径
L从 p—— Q—— P,电场力所做的功为
??? ?????? P LQQ LP
L
ldEqldEqldEqA
)(0)(00 21
0)(0)(0
21
????? ?? Q LpQ Lp ldEqldEq ? ??? 0ldE
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
讨论
? 在证明 Gauss定理中, 说电力必须与 r2成反比,
那么在环路定理的证明中是否也必须要求与 r2成
反比？
? 答：不一定 也有类似性质如弹性力 krf ?
? 哪些力具有做功与路径无关这种性质？
? 引力 引入引力势能
? 重力 引入重力势能 势函数
? 弹性力 引入弹性势能 （ 位 ）
? 静电力 引入静电势能
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
电势能, 电势差, 电势
? 可以与重力做功类比
? 电场力做正功, 电势能将减少
? 电场力做负功, 电势能将增加
电势能的
改变量
q0在 P点
的电势能 q0在 Q点的电势能 电势增量
)(0 PQQPPQ
Q
PPQ WWWWWldEqA ???????? ?
定义 静电场与 q0有能量交换电场力 的功
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
电势的定义
? 从中扣除 q0,即引入电势
?
?
?
?
?
?
?
?
加电场吸收能量，能量增
均有关与场源和( 电势能的减少
少电场付出能量，能量减
0
0
0qWA PQPQ,
? ????
Q
PPQ
PQPQ ldEU
q
A
q
W
00
? P,Q两点之间的电势差定义为
? 从 P点到 Q点移动单位正电荷时电场力所作的功
? 单位正电荷的电势能差
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
空间某点的电势值
? 为了确定某点的值，还需要选择零点
? 一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为
? ?? ???? PPP ldEqAUpU
0
)(
? 两点之间电势差可表为两点电势值之差
)()( QUPUldEldEldEU QPQPPQ ???????? ??? ??
? 单位,1V(伏特）＝ 1J/C
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
电势叠加原理
? 点电荷组有
?
????
??????
??????????
????
i
piPkPP
P
k
PPP
P
UUUU
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21
21
? 连续带电体有
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PP
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04
1
???
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
讨论
? 电势 与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，
与试探电荷无关，是 标量。电势叠加是标量叠加。
? 电势 UP,P与无穷处电势差
? 电势零点 选取
? 可以任意选取
? 选择零点原则：场弱、变化不太剧烈
? 问题
? 选无穷远为零点 ?？ ?选地为零点即地和无穷远等电
势吗？
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
地与无穷远的电势差
? 实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场
是地球所带的负电荷和大气中的等离子体产生
的
? 若以无穷远为势能零点, 则地球的电势为
VU 8104.5 ???地
? 思考：
? 点电荷的势能零点是否可以选在电荷上？
? 无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
例题 10一示波器中阳极 A和阴极 K之间的电压是
3000 V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，
设电子从阴极出发时初速为零。
? [解 ]电子带负电, 它沿电势升高的方向加速运动, 即从阴极
K出发到达阳极 A,静电场力是保守力, 按能量守恒
J.
Uevm e
16
192
10804
)0003()1060.1(
2
1
?
?
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??????? JKA
电子到达阳极时获得的动能为
m / s1025.3m / s
1011.9
1080.422 7
13
16
e
KA ??
?
?????
?
?
m
Uev
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
电子伏特
? 电子伏特：能量单位
? 带有电量 +e或 -e的粒子飞跃一个电势差为 1V的
区间，电场力对它作的功 (从而粒子本身获得
这么多能量（动能） —— 1eV
JVCeV 1919 1060.111060.11 ?? ?????
兆千 eVM eVeVkeV 63 101101 ??
太吉 eVT e VeVG e V 129 101101 ??
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
求电势 ? 用电势定义求：
? 用电势叠加原理求
?? ?? PP ldEU
?? dUU P
? P35例题 11－ 12自己看
? 补充题两个均匀带电的同心球面, 半径分别为 Ra和 Rb，
带电总量分别为 Qa和 Qb,求图中 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ 区内的电势
分布
方法一：已知场强求电势
b
ba
ba
a
a
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r
QQ
E
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Q
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2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
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b
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2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
方法二：电势叠加
? 各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的
? 电势的叠加
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Q
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R
Q
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a
a
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外
内
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Ⅰ,
Ⅱ,
Ⅲ,
内内 21 UU ?
内内 21 UU ?
外外 21 UU ?
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
小结：
? 求一点电势要已知这点到无穷远的场强分
布；
? 电势叠加要先求各带电体单独存在时的电
势，然后再叠加；
? 电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠
加容易
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电场强度和电势
? 已知场强 可求电势
? 已知电势 可否求场强？
0c o s0c o s00 ?????? ??E d lqldEqdA
ldE ???? 2??
? 等势面
? 等势面与电力线处处正交
? 证明：设一试探电荷 q0沿任意一个等势面作一任意元
位移 dl电场力所做的元功
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
? 等势面密集处场强大，稀疏处场强小
? 证明,设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差
为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以
点电荷为例，其电势为
r
qrU
04
1)(
???
drrqrdU 2
04
1)(
?????微分
因为相邻等势面电势差为一定值, 所以有
UdUrdr ?? ???? ??,
Urqr ??? 204 ??
半径之差 ∝ r2
定值
2
1
rE ?而
E 越大 越密 等势面间距越小 越小越小
E 越小 越稀 等势面间距越大 越大越大
，，，
，，，
2
2
rr
rr
??
??
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电势梯度
? 场有分布，沿各方向存在不同的方向微商
? 梯度：最大的方向微商
? 如 速度梯度 温度梯度等
? 沿 ?l的方向微商可以表示为
l
U
l
U
ol ?
??
?
?
? ???
lim
? 若取垂直方向，即场强方向 ?n，则沿该方向的
方向微商为
显然nUnU
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?
?
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??????????? ?? c o s,c o s1 nUlUlUnU 或有 n
U
l
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??
?
?
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
结论,两等势面间 U沿 Δn 方向的变化率比沿
其他任何方向的变化率都大
? 电势梯度
? 方向,沿电势变化最快的方向
? 大小：
n
U
?
?
? 在三微空间
n
U
?
? g ra d UU 或?
? 电势梯度与场强的关系
nEldEU Q
P
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n
U
n
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n ?
??
?
???
? ??? 0
lim
Δn 很小，
场强 E变化不大
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? E总是沿着指向电势减少的方向 —— E与 Δn相反
? 在数学场论中把
)( g r a d UUE ??? k
z
j
y
i
x ?
??
?
??
?
???
矢量微分算符 直角坐标系表示
称作梯度:U?
称作散度:A??
称作旋度:A??
例题
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
静电场的基本方程的微分形式
? 数学场论公式
体积分面积分 ??????? ???
S V
dVd ASA
面积分线积分 ?????? ??? SAlA dd
SL
)(
? 对静电场方程积分形式进行变换可以得到
一组静电场的 基本微分方程
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
000
1
?
??
?? ?????????? ????? ??? EESE VS V dV
qdVd
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???? E
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有源
无旋
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??????? EE 代入将 U
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?
???????????? UUE
拉普拉斯方程0若
泊松方程,得
???
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02
0
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U
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?
?
场方程的微分形式
静电场的基本
微分方程
习题
p74 1-24,25,26、
36,37,39,41
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
静电场力做功与路径无关
? 电荷间的作用力是有心力 —— 环路定理
? 讨论静电场的环流
? ??? ??
??
?
无旋
有旋
流速场的环流
0
0
ldv
? 静电场：电力线不闭合
? 可以猜到静电场的环流为零 ? ??? 0ldE
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
证明
? 单个点电荷产生的场
? 把试探电荷 q0从 P移到 Q
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? 静电场力做功只与起点终点有关, 与路径无关
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
点电荷组产生的场
? 在电场中把试探电荷从 P移至 Q电场力所做的功
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P到 q1
的距离 Q到 q1的距离 每项均与路径无关，只与位置有关
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
任意有限大的带电体产生的电场
? 可以将带电体无限分割成微元，每一个
微元均为一点电荷 —— 点电荷组
? 结论, 在任何电场中移动试探电荷时,
电场力所做的功除了与电场本身有关外,
只与试探电荷的大小及其起点, 终点有
关, 与移动电荷所走过的路径无关
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
静电场的环路定理
? 静电场力做功与路径无关 等价
于 静电场力沿任意闭合回路做功
恒等于零
? ??? 0ldE? 在任意电场中取一闭合回路, 将试探电荷沿路径
L从 p—— Q—— P,电场力所做的功为
??? ?????? P LQQ LP
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0)(0)(0
21
????? ?? Q LpQ Lp ldEqldEq ? ??? 0ldE
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
讨论
? 在证明 Gauss定理中, 说电力必须与 r2成反比,
那么在环路定理的证明中是否也必须要求与 r2成
反比？
? 答：不一定 也有类似性质如弹性力 krf ?
? 哪些力具有做功与路径无关这种性质？
? 引力 引入引力势能
? 重力 引入重力势能 势函数
? 弹性力 引入弹性势能 （ 位 ）
? 静电力 引入静电势能
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
电势能, 电势差, 电势
? 可以与重力做功类比
? 电场力做正功, 电势能将减少
? 电场力做负功, 电势能将增加
电势能的
改变量
q0在 P点
的电势能 q0在 Q点的电势能 电势增量
)(0 PQQPPQ
Q
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定义 静电场与 q0有能量交换电场力 的功
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
电势的定义
? 从中扣除 q0,即引入电势
?
?
?
?
?
?
?
?
加电场吸收能量，能量增
均有关与场源和( 电势能的减少
少电场付出能量，能量减
0
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00
? P,Q两点之间的电势差定义为
? 从 P点到 Q点移动单位正电荷时电场力所作的功
? 单位正电荷的电势能差
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
空间某点的电势值
? 为了确定某点的值，还需要选择零点
? 一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为
? ?? ???? PPP ldEqAUpU
0
)(
? 两点之间电势差可表为两点电势值之差
)()( QUPUldEldEldEU QPQPPQ ???????? ??? ??
? 单位,1V(伏特）＝ 1J/C
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
电势叠加原理
? 点电荷组有
?
????
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P
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P
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ldEldEldEldEU
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21
21
? 连续带电体有
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???
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
讨论
? 电势 与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，
与试探电荷无关，是 标量。电势叠加是标量叠加。
? 电势 UP,P与无穷处电势差
? 电势零点 选取
? 可以任意选取
? 选择零点原则：场弱、变化不太剧烈
? 问题
? 选无穷远为零点 ?？ ?选地为零点即地和无穷远等电
势吗？
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
地与无穷远的电势差
? 实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场
是地球所带的负电荷和大气中的等离子体产生
的
? 若以无穷远为势能零点, 则地球的电势为
VU 8104.5 ???地
? 思考：
? 点电荷的势能零点是否可以选在电荷上？
? 无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
例题 10一示波器中阳极 A和阴极 K之间的电压是
3000 V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，
设电子从阴极出发时初速为零。
? [解 ]电子带负电, 它沿电势升高的方向加速运动, 即从阴极
K出发到达阳极 A,静电场力是保守力, 按能量守恒
J.
Uevm e
16
192
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电子到达阳极时获得的动能为
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1080.422 7
13
16
e
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2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
电子伏特
? 电子伏特：能量单位
? 带有电量 +e或 -e的粒子飞跃一个电势差为 1V的
区间，电场力对它作的功 (从而粒子本身获得
这么多能量（动能） —— 1eV
JVCeV 1919 1060.111060.11 ?? ?????
兆千 eVM eVeVkeV 63 101101 ??
太吉 eVT e VeVG e V 129 101101 ??
2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
求电势 ? 用电势定义求：
? 用电势叠加原理求
?? ?? PP ldEU
?? dUU P
? P35例题 11－ 12自己看
? 补充题两个均匀带电的同心球面, 半径分别为 Ra和 Rb，
带电总量分别为 Qa和 Qb,求图中 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ 区内的电势
分布
方法一：已知场强求电势
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2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
方法二：电势叠加
? 各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的
? 电势的叠加
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Ⅰ,
Ⅱ,
Ⅲ,
内内 21 UU ?
内内 21 UU ?
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2005.2,北京大学物理学院王稼军编写
小结：
? 求一点电势要已知这点到无穷远的场强分
布；
? 电势叠加要先求各带电体单独存在时的电
势，然后再叠加；
? 电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠
加容易
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电场强度和电势
? 已知场强 可求电势
? 已知电势 可否求场强？
0c o s0c o s00 ?????? ??E d lqldEqdA
ldE ???? 2??
? 等势面
? 等势面与电力线处处正交
? 证明：设一试探电荷 q0沿任意一个等势面作一任意元
位移 dl电场力所做的元功
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? 等势面密集处场强大，稀疏处场强小
? 证明,设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差
为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以
点电荷为例，其电势为
r
qrU
04
1)(
???
drrqrdU 2
04
1)(
?????微分
因为相邻等势面电势差为一定值, 所以有
UdUrdr ?? ???? ??,
Urqr ??? 204 ??
半径之差 ∝ r2
定值
2
1
rE ?而
E 越大 越密 等势面间距越小 越小越小
E 越小 越稀 等势面间距越大 越大越大
，，，
，，，
2
2
rr
rr
??
??
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电势梯度
? 场有分布，沿各方向存在不同的方向微商
? 梯度：最大的方向微商
? 如 速度梯度 温度梯度等
? 沿 ?l的方向微商可以表示为
l
U
l
U
ol ?
??
?
?
? ???
lim
? 若取垂直方向，即场强方向 ?n，则沿该方向的
方向微商为
显然nUnU
on ?
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?
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lim ?co sln ???
??????????? ?? c o s,c o s1 nUlUlUnU 或有 n
U
l
U
?
??
?
?
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结论,两等势面间 U沿 Δn 方向的变化率比沿
其他任何方向的变化率都大
? 电势梯度
? 方向,沿电势变化最快的方向
? 大小：
n
U
?
?
? 在三微空间
n
U
?
? g ra d UU 或?
? 电势梯度与场强的关系
nEldEU Q
P
????? ?
n
U
n
UE
n ?
??
?
???
? ??? 0
lim
Δn 很小，
场强 E变化不大
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? E总是沿着指向电势减少的方向 —— E与 Δn相反
? 在数学场论中把
)( g r a d UUE ??? k
z
j
y
i
x ?
??
?
??
?
???
矢量微分算符 直角坐标系表示
称作梯度:U?
称作散度:A??
称作旋度:A??
例题
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静电场的基本方程的微分形式
? 数学场论公式
体积分面积分 ??????? ???
S V
dVd ASA
面积分线积分 ?????? ??? SAlA dd
SL
)(
? 对静电场方程积分形式进行变换可以得到
一组静电场的 基本微分方程
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000
1
?
??
?? ?????????? ????? ??? EESE VS V dV
qdVd
00)( ?????????? ??? ESElE dd
SL
0?
???? E
0??? E
有源
无旋
0?
??????? EE 代入将 U
0
2)(
?
???????????? UUE
拉普拉斯方程0若
泊松方程,得
???
????
02
0
2
＝＝ U
U
?
?
?
场方程的微分形式
静电场的基本
微分方程
