2005.4 北京大学物理学院王稼军编
互感和自感 p205 3-25,26,31,34,35
? 美国物理学家亨利（ J.Henry）
? 讨论由电流变化而引起的感应电动势中
电动势与电流变化率的关系
? 由于亨利的工作，人们对电磁感应现象的
认识又向前跨进了一步。电磁感应还可区
分为 自感应 和 互感应
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
自感现象
? 自感应：
? 回路中因自身电流变
化引起的感应电动势 S
1与 S2是两个相同的灯泡；
R=RL,
?现象,
?(a) 接通 K瞬间,S1比 S2先亮
?(b) 断开瞬间，灯泡突然亮一下
?为什么？
?接通 K或切断 K，由于电流变化导致磁场变化
）匝线圈NtItItIB )(()()( ???????
磁通匝链数
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
自感系数
? ?=LI
? 比例系数为 L,称为自感系数
? L只与线圈大小、几何形状、匝数、以及介
质性质有关。
? 感应电动势还可以表示成
)(tI??
比例系数？
dt
dIL
dt
d ???? ??
总是
反抗
回路
上电
流的
变化
dt
dIL ????
I
N
IL
??????单位, 亨利 （ H）
HmHA sVAwbH ?63 101011111 ?????
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
例题 P193
? 例题 8 密绕长直螺线管
? 例题 9,求长为 l 的 传输线的电感
? 方法：求 B—— ?—— L
1
20 ln
2
2
1 R
RIlB l d rB d S R
R
S ?
????? ???
1
20 ln
2 R
Rl
IL ?
?????
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
同轴电缆
? 同轴电缆中间的线是实心
导体圆柱
? 传输线的结果也可用于同
轴电缆，为什么？
? 由于传输高频信号时有趋
肤效应存在电流分布在圆
柱体表面
? 例如一根半径 R＝ 1.0cm
的铜导线，其截面上的电
流密度随频率变化的情况
如图所示
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
趋肤效应
? 为什么在电流变化时会有趋肤
效应产生？
? I变 —— B变 —— I’ (涡电流 )
? 在一个周期内大部分时间里轴
线附近 I与 I’方向相反
? 而表面附近 I和 I’同向
? 所以轴线附近的电流被削弱
? 表面附近的电流被加强
趋肤效应
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
趋肤效应的后果及应用
? 传输高频信号时，由于趋肤效应会使导线
的 有效截面减少,从而是 等效电阻增加
? 对铁来说，由于 ?大，即使频率不太大，趋
肤效应也很明显，
? 对于良导体，在高频下的 趋肤深度 很小，
即电流仅分布在导体表面很薄的一层
? 工业上可用于金属表面的 淬火
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
互感应
? 互感现象
? 由于其它电路中电流变化在回路中引起的感应
电动势的现象
N1 N2
自感磁通匝链数
互感磁通匝链数
?1 1? I ?2 2? I
221 I?? 112 I??
线圈 1 线圈 2
比例系数为 M21和 M12，其值取决于线圈大小、
匝数、几何形状,两线圈的相对位置
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
互感电动势
? 线圈 1电流变化在线圈 2
中产生的感应电动势为 dtdIMdtd 112122 ??????
? 线圈 2电流变化在线圈 1
中产生的感应电动势为 dtdIMdtd 221211 ??????
互感系数
dt
dI
dt
dIM 2
21
1
12 ?? ????
MMM ?? 1221
可以证明
1
122
I
N ??
2
211
I
N ??
例题 7:先算 ? 再算 M —— ?
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
证明,以单匝线圈为例 MMM ??
1221
??? ?????
22
21112
LS
ldASdB
????
??
1 12
110
1 4)(
L r
ldIpA
?
?
?
?
? ? ??
1 2 12
2110
4 L L r
ldldI
??
?
?
? ? ?????
1 2 12
210
1
12
12 4
L L r
ldld
I
M
??
?
?
线圈 1
激发
的 磁
场 通
过 2的
通量
同理,有 ? ? ?????
2 1 21
120
2
21
21 4
L L r
ldld
I
M
??
?
?
单位与自感系数相同
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
耦合系数
? 线圈相对位置不同，
M的值不同,设
1212 ??? k 0 12? ?k
2121 ??? k 0 11? ?k
无漏磁1)( 12221112 ????????? kkka
漏磁1)( 12221112 ????????? kkkb
无耦合000)( 122112 ?????? kkc
2121
21
2121212
2112,LLkkII
kkNNMMMM ????????
212121 LLkLLkkM ???21kkk ?令
耦合系数
几何尺
寸相同
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
两个线圈串联的自感系数
? L1＋ L2=?L
? 一般情况不等，与串联方式有关
? 串联方式
? 串联顺接,1尾与 2头接 L =L1＋ L2 +2M
? 串联反接,1尾与 2尾接 L =L1＋ L2 -2M
2121 2 LLLLL ???
2121 2 LLLLL ???
无漏磁时
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
磁能
? 自感磁能
? 开关接通 1 I 增加 Ф增
加 ?L方向与 I方向相反
? 电源做功
? 产生焦耳热
? 因抵消感应电流多做功,
使电路中电流达到 I值
? 电源克服感应电动势所做
的功
dttitdA L )()(???
dt
diL
L ????
L i d ii d tdtdiLdA ????
? ? ??? I LIL i d idAA 0 21 2
线圈中
电流从
0增到
I过程
中，电
源由于
L中出
现感应
电动势
而多做
的功的
总和
K 倒向 2,电 流 从 I
减到 0,自感电动势
做正功 =A
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
互感磁能
? 在建立电流 过程中 电源做功
? R上产生焦耳热
? 抵抗自感电动势做功 － WL
? 抵抗互感电动势做功－？
互感系数 M
?此时线圈 1和 2 互相影响, 情况比较复杂, 可
采取以下做法计算,
?先在线圈 1中建立电流 I1,2中无电流, 故无互感
?在接通线圈 2 并维持 1中电流 I1不变 （ 可用一个
外接可调电源平衡掉 2对 1的互感 ） 外接电源需要
抵抗互感电动势所做的功 —— 互感电动势
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
外接电源需要抵抗互感电动势所做的功
? 同样若先建立 I2，再接通线圈 2则
? ?? ???? 0 0 2211121 dtdtdiMIdtIA ?
维持线圈 1内
电流不变
20 1212121
2 IIMdiIMI? ??
这部分功
转化成互
感磁能储
存在线圈
内
? ?? ???? 0 0 1122212' dtdtdiMIdtIA ?维持线圈 2内
电流不变
21120 1112
2 IIMdiIMI ?? ?
?而总磁能与电流建立的先后次序无关,
?A＝ A’,所以便证明了 M21＝ M12＝ M
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
两个线圈系统总磁能
?推广到 k个线圈的普遍情况
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILIL
mW ???
总
磁
能
1,2的自感磁能，
大于零
互感磁能,
可正可负
21212112
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
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mW ????
对
称
形
式
ji
k
ij
i
ij
k
i
ii IIMILmW ??
?
??
??
)(
11
2
2
1
2
1
i,j线圈
之间的 M
第 i个线
圈的自感
系数
互感和自感 p205 3-25,26,31,34,35
? 美国物理学家亨利（ J.Henry）
? 讨论由电流变化而引起的感应电动势中
电动势与电流变化率的关系
? 由于亨利的工作，人们对电磁感应现象的
认识又向前跨进了一步。电磁感应还可区
分为 自感应 和 互感应
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
自感现象
? 自感应：
? 回路中因自身电流变
化引起的感应电动势 S
1与 S2是两个相同的灯泡；
R=RL,
?现象,
?(a) 接通 K瞬间,S1比 S2先亮
?(b) 断开瞬间，灯泡突然亮一下
?为什么？
?接通 K或切断 K，由于电流变化导致磁场变化
）匝线圈NtItItIB )(()()( ???????
磁通匝链数
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
自感系数
? ?=LI
? 比例系数为 L,称为自感系数
? L只与线圈大小、几何形状、匝数、以及介
质性质有关。
? 感应电动势还可以表示成
)(tI??
比例系数？
dt
dIL
dt
d ???? ??
总是
反抗
回路
上电
流的
变化
dt
dIL ????
I
N
IL
??????单位, 亨利 （ H）
HmHA sVAwbH ?63 101011111 ?????
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
例题 P193
? 例题 8 密绕长直螺线管
? 例题 9,求长为 l 的 传输线的电感
? 方法：求 B—— ?—— L
1
20 ln
2
2
1 R
RIlB l d rB d S R
R
S ?
????? ???
1
20 ln
2 R
Rl
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2005.4 北京大学物理学院王稼军编
同轴电缆
? 同轴电缆中间的线是实心
导体圆柱
? 传输线的结果也可用于同
轴电缆，为什么？
? 由于传输高频信号时有趋
肤效应存在电流分布在圆
柱体表面
? 例如一根半径 R＝ 1.0cm
的铜导线，其截面上的电
流密度随频率变化的情况
如图所示
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
趋肤效应
? 为什么在电流变化时会有趋肤
效应产生？
? I变 —— B变 —— I’ (涡电流 )
? 在一个周期内大部分时间里轴
线附近 I与 I’方向相反
? 而表面附近 I和 I’同向
? 所以轴线附近的电流被削弱
? 表面附近的电流被加强
趋肤效应
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
趋肤效应的后果及应用
? 传输高频信号时，由于趋肤效应会使导线
的 有效截面减少,从而是 等效电阻增加
? 对铁来说，由于 ?大，即使频率不太大，趋
肤效应也很明显，
? 对于良导体，在高频下的 趋肤深度 很小，
即电流仅分布在导体表面很薄的一层
? 工业上可用于金属表面的 淬火
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
互感应
? 互感现象
? 由于其它电路中电流变化在回路中引起的感应
电动势的现象
N1 N2
自感磁通匝链数
互感磁通匝链数
?1 1? I ?2 2? I
221 I?? 112 I??
线圈 1 线圈 2
比例系数为 M21和 M12，其值取决于线圈大小、
匝数、几何形状,两线圈的相对位置
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
互感电动势
? 线圈 1电流变化在线圈 2
中产生的感应电动势为 dtdIMdtd 112122 ??????
? 线圈 2电流变化在线圈 1
中产生的感应电动势为 dtdIMdtd 221211 ??????
互感系数
dt
dI
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dIM 2
21
1
12 ?? ????
MMM ?? 1221
可以证明
1
122
I
N ??
2
211
I
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例题 7:先算 ? 再算 M —— ?
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
证明,以单匝线圈为例 MMM ??
1221
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22
21112
LS
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1 12
110
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2110
4 L L r
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12 4
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线圈 1
激发
的 磁
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过 2的
通量
同理,有 ? ? ?????
2 1 21
120
2
21
21 4
L L r
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?
单位与自感系数相同
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
耦合系数
? 线圈相对位置不同，
M的值不同,设
1212 ??? k 0 12? ?k
2121 ??? k 0 11? ?k
无漏磁1)( 12221112 ????????? kkka
漏磁1)( 12221112 ????????? kkkb
无耦合000)( 122112 ?????? kkc
2121
21
2121212
2112,LLkkII
kkNNMMMM ????????
212121 LLkLLkkM ???21kkk ?令
耦合系数
几何尺
寸相同
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
两个线圈串联的自感系数
? L1＋ L2=?L
? 一般情况不等，与串联方式有关
? 串联方式
? 串联顺接,1尾与 2头接 L =L1＋ L2 +2M
? 串联反接,1尾与 2尾接 L =L1＋ L2 -2M
2121 2 LLLLL ???
2121 2 LLLLL ???
无漏磁时
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
磁能
? 自感磁能
? 开关接通 1 I 增加 Ф增
加 ?L方向与 I方向相反
? 电源做功
? 产生焦耳热
? 因抵消感应电流多做功,
使电路中电流达到 I值
? 电源克服感应电动势所做
的功
dttitdA L )()(???
dt
diL
L ????
L i d ii d tdtdiLdA ????
? ? ??? I LIL i d idAA 0 21 2
线圈中
电流从
0增到
I过程
中，电
源由于
L中出
现感应
电动势
而多做
的功的
总和
K 倒向 2,电 流 从 I
减到 0,自感电动势
做正功 =A
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
互感磁能
? 在建立电流 过程中 电源做功
? R上产生焦耳热
? 抵抗自感电动势做功 － WL
? 抵抗互感电动势做功－？
互感系数 M
?此时线圈 1和 2 互相影响, 情况比较复杂, 可
采取以下做法计算,
?先在线圈 1中建立电流 I1,2中无电流, 故无互感
?在接通线圈 2 并维持 1中电流 I1不变 （ 可用一个
外接可调电源平衡掉 2对 1的互感 ） 外接电源需要
抵抗互感电动势所做的功 —— 互感电动势
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
外接电源需要抵抗互感电动势所做的功
? 同样若先建立 I2，再接通线圈 2则
? ?? ???? 0 0 2211121 dtdtdiMIdtIA ?
维持线圈 1内
电流不变
20 1212121
2 IIMdiIMI? ??
这部分功
转化成互
感磁能储
存在线圈
内
? ?? ???? 0 0 1122212' dtdtdiMIdtIA ?维持线圈 2内
电流不变
21120 1112
2 IIMdiIMI ?? ?
?而总磁能与电流建立的先后次序无关,
?A＝ A’,所以便证明了 M21＝ M12＝ M
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
两个线圈系统总磁能
?推广到 k个线圈的普遍情况
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILIL
mW ???
总
磁
能
1,2的自感磁能，
大于零
互感磁能,
可正可负
21212112
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
1 IIMIIMILIL
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对
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)(
11
2
2
1
2
1
i,j线圈
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系数
