2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
安培环路定理
?载流线圈与磁偶极层的等价性
?安培环路定理的表述和证明
?磁感应强度是轴矢量
?安培环路定理应用举例
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
载流线圈与磁偶极层的等价性
? 证明闭合载流线圈产生的磁
场正比于线圈回路对场点所
张的立体角的梯度
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2
12
1210
2
1
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4)( L
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L1在 P点产生
的磁感应强度
设想 P有一
小位移 dL2
相当于 P不动线
圈作 -dL2位移
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
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整个线圈在位移
-dL2扫过的环带
?对场点 p所张
的立体角
灰色面
元所对
立体角
?:曲面 S
对 P点所
张立体角
?‘:曲面 S’对
P点所张立
体角
?????????? ',0' ??
也可理解为场点
P作平移 dL2引
起立体角变化
可看成是场点坐标 r2的函数
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
? 反映了载流线圈与磁偶极子是等价的
? 两个讨论磁化的模型是等价的
? 在下面证明安培环路定理时直接引用
??? ????????? 代入前式2' ld
坐标 r2的函数 泰勒展开
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?
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4
0 IB
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
安培环路定理表述和证明
? 表述：
? 磁感应强度沿任何闭合环路 L的线积分, 等于
穿过这环路所有电流强度的代数和的 ?0倍
? ???
L L
IldB
内
0?
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内L
III 21 2
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
证明
? 从毕奥 — 萨筏尔定律出发
? 先考虑单回路
? 再推广
载流回路为
边界的曲面 S
L与载流回路套连
122
211
PPL
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从 下 到 上
从 上 到 下
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曲面两侧两点无限趋近曲
面时，立体角趋近于 4?
L2穿过 S时 B是连
续且有限的，
—— 0
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
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? 如果，安培环路与载流回路
不套连，则环绕它一周立体
角回到原值，积分为 0
?运用叠加原理，推广到多个
载流回路
? ???
L L
IldB
内
0?
穿过闭合环
路的电流空间所有电流产生的磁感应
强度矢量和
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
安培环路定理的微分形式
? 利用斯托克斯定理
? ???
L L
IldB
内
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SS
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微分形式
?说明 B的旋度不为零 —— 有旋场
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
磁感应强度是轴矢量
? 镜像反射的变化规律
? 极矢量：与镜面平行分量不变，垂直分量反向
? dl, r,v,F,E, P
? 轴矢量：与镜面垂直分量不变，平行分量反向
? 两个极矢量叉乘＝轴矢量
? 由毕奥－萨筏尔定律决定
? B是轴矢量
?推论,镜面对称的载流系统在镜面处产生的
磁感应强度垂直于镜
rld ???
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
安培环路定理应用举例
?无限长圆柱形载流导体磁场
?载流长直螺线管内的磁场
?载流螺绕环的磁场
?习题 p144 2－ 17,19,20
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
无限长圆柱形载流导体磁场
p106 例题 6
? 导线半径为 R，电流 I均匀地通过
横截面
? 轴对称 (利用 B是轴矢量分析）
? 取环路：分两种情况
r
IBIIRr
?
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内
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电流
密度
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
载流长直螺线管内的磁
场 p108 例题 7
? 密绕, L>>R,忽略螺距；
? B是轴矢量，垂直于镜面 ?；
? 论证管外 B=0
? 管外即使有磁场也是沿轴向的；
? 作回路如 a，可以证明 p 点 B=0;
? 求管内任意 P点的磁场
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
载流螺绕环的磁场
p109 例题 8
? 密绕,匝数,N,电流, I
? 利用 B是轴矢量的特征分析
场的对称性：
? 磁感应线与环共轴
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线管内磁场一样
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
例题：
? 一根半径为 R的无限长圆柱形导体
管, 管内空心部分半径为 r,空心
部分的轴与圆柱的轴平行, 但不
重合, 两轴间距为 a,且 a>>r,现
有电流 I沿导体管流动电流均匀分
布, 电流方向如图求：
? 洞内的 B
? 洞中心 O’及大圆柱内一点的 B
? 在哪些情况下可以用安培环路定
理求 B？
安培环路定理
?载流线圈与磁偶极层的等价性
?安培环路定理的表述和证明
?磁感应强度是轴矢量
?安培环路定理应用举例
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
载流线圈与磁偶极层的等价性
? 证明闭合载流线圈产生的磁
场正比于线圈回路对场点所
张的立体角的梯度
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也可理解为场点
P作平移 dL2引
起立体角变化
可看成是场点坐标 r2的函数
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
? 反映了载流线圈与磁偶极子是等价的
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? 在下面证明安培环路定理时直接引用
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安培环路定理表述和证明
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安培环路定理的微分形式
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磁感应强度是轴矢量
? 镜像反射的变化规律
? 极矢量：与镜面平行分量不变，垂直分量反向
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? 由毕奥－萨筏尔定律决定
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
安培环路定理应用举例
?无限长圆柱形载流导体磁场
?载流长直螺线管内的磁场
?载流螺绕环的磁场
?习题 p144 2－ 17,19,20
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
无限长圆柱形载流导体磁场
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? 导线半径为 R，电流 I均匀地通过
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? 轴对称 (利用 B是轴矢量分析）
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
载流长直螺线管内的磁
场 p108 例题 7
? 密绕, L>>R,忽略螺距；
? B是轴矢量，垂直于镜面 ?；
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? 管外即使有磁场也是沿轴向的；
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磁场为 0
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
载流螺绕环的磁场
p109 例题 8
? 密绕,匝数,N,电流, I
? 利用 B是轴矢量的特征分析
场的对称性：
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
例题：
? 一根半径为 R的无限长圆柱形导体
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重合, 两轴间距为 a,且 a>>r,现
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