2005.5 北京大学物理学院王稼军编
§ 5交流电路的
复数解法
p396 5-50,51,53
?复数基本知识
?交流电的复数表示法
?复数的实部是简谐量
)s in ()c o s ()(~ ?????? ????? ? tjAtAtjAA e
)(~)c o s ()( 1
11111
???? ??? ???? tjAAtAta e
)(~)c o s ()( 2
22222
???? ??? ???? tjAAtAta e
)(~)c o s (
~~~
)()()( 2121
???? ??? ????
??? ????
tjAAtA
AAAtatata
e
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简谐量的微商和积分
?利用复数法，可以把微商、积分运算
简化成代数运算
AjtjAjtjAdtddt Addt tda ee ~)()(~)( ?????? ==][= ??? ??
A
j
tj
A
j
dt
tj
AdtAdtta
e
e
~1)(1
)(~
)(
?
??
?
??
?
?
?
?
?? ?? ???
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交流电的复数表示
?复电压
?复电流
)(~)c o s ()(
00 u
tjUUtUtu e
u
???? ??? ????
)(~)c o s ()( i
iiii
tjIItIti e ???? ??? ????
?复阻抗
???
??
??
jZiuj
I
U
tjI
tjU
I
U
Z ee
e
e
i
u
???
?
?
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)(
)(
)(
~
~
~
0
0
0
0
0
0
I
U
iu ??? ??
?? jYj
ZZY ee
????? 1~1~?复导纳
幅角
差一
个负
号
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好处
? 元件 阻抗 相位差 复阻抗 复导纳
?jZe
I
UZ ??
~
~~
复数形式的欧姆定律；
将 Z,φ 用一个复阻抗来代
替
cjcjffccC ????? 1212 11 ???
LjLjffLLL ??
??? 1
22 ???
R
RfRR 10无关与
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交流串、并联电路的复数解法
? 用复数法计算简单电路时，电路的电压、电
流关系与直流电路一样
? 串联电路
21
2121
21
~~~
~~~~~~~~~
,
~~~
ZZZ
ZIZIZIUUU
III
??
?????
??
21
21
21
21
~~~
~
~
~
~
~
~
~~~
,
~~~
YYY
Z
U
Z
U
Z
U
III
UUU
??
?????
??
? 并联电路
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LjR
CRjLC
Cj
LjR
YYY
CLR
?
??
?
?
?
??
?
?
?
???
2
1
1~~~
例题：求 R,L,C串并联
电路的总阻抗和相位差
? 先算 L,R 串联
电路的复阻抗 ZLR LjRZZZ RLLR ????? ~~~
? 再算总电路复
导纳 Y
CRjLC
LjRZ
??
?
??
???
21
~
? 复阻抗
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R
LRCL
tg
LC
CR
R
L
LC
CR
R
L
tg
])([
1
1
1
22
1
2
2
1 ???
?
??
?
??
?
??
?
?
??
?
?
? ??
求阻抗和幅角
? 用三角恒等式
)(
2
1
2
2
1
2
1
2
21
1
~
~
1
~ ??
?
?
??
? ?
???
??
?
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j
j
e
Z
Z
eZ
eZ
Z
Z
CRjLC
LjR
Z
利用复数运算规则
222
22
2 )()1(
)(
1
~
CRLC
LR
CRjLC
LjRZZ
??
?
??
?
??
??
??
???
模
LC
CRtg
R
Ltg
2
11
21 1 ?
?????
?????
??
幅
角
xy
yxtgytgxtg
?
??? ???
1
111
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串、并联电路的应用
?交流元件的这种特性 ——“频率响应,
?有许多重要的应用
Cj
ZLjZ CL
?
? 1~,~ ??
都与频率有关
有确定值一定时
Cj
ZLjZ CL
?
?? 1~,~ ??
随着变化改变时
Cj
ZLjZ CL
?
?? 1~,~ ??
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滤波电路
? 能使某些频率的交流讯号顺利通过, 而将
另外一些频率的交流讯号阻挡住的电路
? 低通滤波电路：将高频流讯号阻挡住
? 高通滤波电路：能使高频讯号顺利通过,
而将低频流讯号阻挡住的电路
? 在无线电, 多路载波通讯等技术领域中广
泛地使用着各种类型的滤波电路
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单级的 RC低通滤波电路
? 利用电容具有隔直流、通交流，高频短路，直流开
路的频率特性，由电容和电阻组合而成
? 实际上是一个分压电路。以电容两端作为输出端，
则该电路的 输出复电压 与 输入复电压 之比为
RCj
Cj
R
Cj
U
U
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
~
~
输入
输出
2)(1
1
~
~
RCU
U
??
?
输入
输出
)(t a n)( 1 RC??? ???
模 幅
角
都是 ?的函数
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? 对于一定的输入电压，输出端分压与频率成
反比,频率越高，输出电压占输入电压的份
额就越少
? 当输入电压中包含有 各种频率 的交流成分和
直流成分时，直流成分大小不变，而 交流成
分减少,起到了滤波作用
? 因为输出的交流成分中, 低频成分比高频成
分占的比例多一些, ——低通滤波电路
2)(1
1
~
~
RCU
U
??
?
输入
输出 )(t a n)( 1 RC??? ???
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例题：已知电压中包含直流成分 240伏和
100Hz的交流纹波 100伏, 将此电压输入低通
滤 波 电 路, 其中 R ＝ 200Ω, C=50μf
求：输出电压中的交, 直流成分各占多少?
? 直流成分全部集中在电容上
? 电容上的交流成分？
157.0
)(1
1
~
~
2
?
?
??
RCU
U
U
U CC
?
VVVUjTU C 167.151 5 7.01 0 0)( ????? ?
? 输出讯号交流成分由 100V降到 16伏，输出
电压比原来平稳多了
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高通滤波电路
? 由于高频讯号的电压在电阻上分配得比较
多，因此输出端将得到较多的高频讯号
? 利用电感具有阻高频、通低频的频率特征，
可以将电感和电阻组合成高通滤波电路
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旁路
作用
? 无线电路设计中，要求某一部位 有一定直
流压降,但 同时必须让交流畅通、交流压
降很小，使压降保持稳定
? 通常在这种部位中安置适当搭配的 RC并联
电路，此时由于电容 隔值流、通交流,因
此起到交流旁路作用
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例题：如图所示，电源提供 500周 3毫安电流，
未接通电容时，电阻 R＝ 500Ω，两端交流电压
为多少？当并联一个 30μf的电容后又如何？
? 没有电容时，电源提供的电流全部通过电阻，
电阻两端的交流压降为
VVIRU R 5.1500103 3 ????? ?
? 并联 30μ f电容,其容
抗 ??? 102 1fCZ C ?
? 电流 向电容支路 分流，
其 电流 有效值 之比为 50105 0 0 ??? CRRc ZZII
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旁路
作用
?绝大部分电流从电容支路旁路流过，通
过电阻的电流还不到总电流的 1/50,近
似认为
mAII C 3?? mVZIU CC 30' ??
?减少到没有电容的 电压的 1/50
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相移作用
? R,C滤波电路，不仅
有低通滤波作用，而
且也改变了输出电压
和输入电压的相位差，
因此它可构成相移电
路（相移器）
)(t a n)( 1 RC??? ???
UC与 U相位差
? 显然输出电压 相位 落后 于输入电压。当输
入讯号的频率一定时,改变电容或电阻,
即可改变输出电压与电流之间的 相位差
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交流电路的基尔霍夫定律
? 自学要求
? 复习直流基尔霍夫定律；
? 找出与直流相同之处和不同之处；
? 会运用
? 复数形式的基尔霍夫定律
? 适用于处理 只有一个电源或有若干个同步电源
的复杂交流电路 （ 如电路中包含互感, 就会
出现不同步电源 ） 。
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交流电路的基尔霍夫方程组
? 对于电路的任意一个节点
? 瞬时电流代数和为 0
? 节点方程 ???i(t)?=0
? 沿任意一个闭合回路
? 瞬时电压降的代数和为 0
? 电压回路方程 ???u(t)?=0
? i(t),u(t) 对应成复电压、复电流
——复数形式基尔霍夫定律
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复数形式基尔霍夫定律
? 汇于节点的各支路复电流的代
数和为零
? ?? 0)~( I
? 沿回路环绕一周回到出发点，电势数值不变
? ? ? ????? 0()~~(~ )~?ZIU
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与直流电路比较
? 在每段支路上标定电流方向 （ 同 ）,
? i(t) > 0,与标定方向一致
? i(t) < 0,与标定方向相反
? 为每一个闭合回路规定绕行方向 （ 同 ）
? u(t) > 0,电势降落为正
? u(t) < 0,电势降落为负
? 标定某一瞬时电源的极性 （ 不同 ）
? e(t) > 0, 电源极性与标定的一致
? e(t) < 0,电源极性与标定的相反
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符号法则
? 第一方程 （ 同 ）
? 对于节点, 流入为负, 流出为正
? 第二方程
? 元件 （ 含电源内阻 ） （ 同 ）,
? 电流方向与绕行方向一致, 认为电势降落取正,
相反取负 。
? 电源 （ 同 ）
? 绕行方向与某个（理想）电源所标定的方向一致
（即从负极穿过电源内部到正极）取正，相反取
负。
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关于复数基尔霍夫定律的几点说明
? 电流及电势降落的正负的规定带有人为的因素，
不同书规定的方法可能不一样，但反映的物理规
律完全相同（ 同 ）
? 复数形式的基尔霍夫定律中确定电压回路的独立
回路个数的方法与直流电路中所述相同（见直流
基尔霍夫定律）（ 同 ）
? 用复数形式的基尔霍夫定律解复杂交流电路比较
方便，基本上与直流电路做法相似，但这里有 一
个重要的区别，即在得到复数结果之后还要计算
它们的模和幅角,以便得到有物理意义的实际结
论
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适用范围和意义
? 适合处理只有一个电源或有若干个 同频、同步 电源的复杂
交流电路
? 用于含多个同频但非同步电源的交流电路时（如电路中包
含互感，就会出现非同步电源），则应当已知 各电源之间
的相位差 （ 不同 ）
? 无论是直流电路的基尔霍夫定律还是交流电路的基尔霍夫
定律，它们实际上就是 电流连续性方程 和 环路定理 在电路
中的具体实现,从纯理论的角度看，并没有给出什么新东
西
? 基尔霍夫定律的建立 使纯理论研究转化为应用理论,使之
给出关于电路中电压、电流、电动势之间的完备方程组，
解决了电压、电流和元件阻抗之间的关系问题，而这种关
系本身是应用的前题，它 为电路的测量提供了依据,这正
是基尔霍夫的重大贡献。
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三级 RC低通滤波电路
（三级 RC相移电路 ）
? 试用基尔霍夫定律计算该滤波电路输出和输入复电
压之比
? 设复电流的方向如图
? 由节点方程决定
? 流经各电容 C的电流
? 选择图示三个回路 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ
? 规定了回路的绕行方向 U
Cj
IIRI ~~~~I 21
1 ?
??
?：
0
~~~~~
II 21322 ????? Cj IICj IIRI ??,0
~~~~
I I I 3233 ???? Cj IICj IRI ??：
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
???
0)
2
(
~1~
0
1~
)
2
(
~1~
~1~
)
1
(
~
32
321
21
Cj
RI
Cj
I
Cj
I
Cj
RI
Cj
I
U
Cj
I
Cj
RI
??
???
??
三
元
一
次
方
程
组
CRCRjCR
CjUI
???
?
])(6[)(51
~~
223 ????
CRCRjCR
U
Cj
IZIU
C ???? ])(6[)(51
~~~~
'~ 2233 ??????
CRCRjCRU
U
??? ])(6[)(51
1
~
'~
22 ????
输出
和输
入复
电压
之比
?越大输出电压
占输入电压的
份额越少
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交流电桥
? 交流电桥原理与直流电桥相似
? 不同的是四臂上的元件不一定
是电阻，可以是 R,L,C元件
? 图中已规定了电流方向和回路
绕行方向以及电源的极性
301
~~~ IIIB ??：
402
~~~ IIID ??：
0~~~~~~ 220011 ??? ZIZIZIA B D A,
0~~~~~~ 004433 ??? ZIZIZIB C D B,
0~0 ?I电桥平衡时
4213 ~~,~~ IIII ??
44332211
~~~~,~~~~ ZIZIZIZI ??
2341
4
2
3
1 ~~~~;~
~
~
~
ZZZZZZZZ ???
平衡条件
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电桥平衡条件
? 交流电桥平衡条件
? 要求电桥两对边元件的阻抗之积相等
? 且要求两对边的相位之和相等
? 说明交流电桥四臂上的元件不能任意选择
? 如 2,4 臂选了纯电阻, 则 1,3臂必须选用同为电感或
同为电容的元件, 不能选一个电感一个电容 。 （ 思考
p387 5-35）
?? 2341 ~~~~ ZZZZ
)()( 32
324141
???? ?? ? jZZjZZ ee
32413241 ???? ???? ZZZZ
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各种实用的电桥
? 实用中，各臂采用不同性质的阻抗，可以组
成多种形式的电桥（ 实际应用 ）
? 可以自行写出各电桥的平衡条件
a 电容桥 b 麦克斯韦 LC电桥 c 频率电桥
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有互感的电路计算
? 计算有互感的电路时，情况相对复杂一些，在按
照基尔霍夫定律列方程时，还应考虑互感引起的
感应电动势对电路中电压、电流的影响
?同名端和异名端
?当两个线圈中 流入的电流 使得它们
各自所产生的 磁通量方向相同时,
两个线圈的电流流入端 （或流出端）
叫做 同名端 或极性相同，用小圆点
标记；反之则称为 异名端
?（ a）是两个串联顺接的线圈，故两线
圈末端为同名端
?（ b）为两串联反接线圈，故同名端为
一头一尾
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符号法则
? 当两线圈中电流由 同名端流入,并且电流有
相同的变化（同为增加或同为减少），则在
每一个线圈内的互感电动势与自感电动势方
向相同,互感电压和自感电压的方向也相同
? 当两个线圈中电流由 异名端流入,且电流有
相同变化时，互感电动势与自感电动势方向
相反,互感电压和自感电压的方向也相反,
相差一个负号
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互感电动势引起的电势降落的正负号法则
? 由自感 L1 引起的电势降落为
负与回路绕行方向相反取
正与回路绕行方向一致取
1
~
1
~
111
~~
I
I
ILjU L ???
? 线圈 2在线圈 1中的互感引起的电势降落为
相反名端流入，与的标定方向自两线圈异
名端流入，同的标定方向自两线圈同
1
~
2
~
1
~
1
~
2
~
1
~
22121
~~
LUII
LUIIIMjU
、
、
???
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
例题：列出图示
电路方程 p350
0~
~~~
~~
)
~
(
~
)
~
(
1223221113
331333111
?????
????
????
???
IMjIMjIMj
IMjILjZILjZ
回
路
1
0~
~~~
~~
)
~
(
~
)
~
(
2223332113
121333222
?????
????
????
???
IMjIMjIMj
IMjILjZILjZ
回
路
2
213
~~~ III ??
§ 5交流电路的
复数解法
p396 5-50,51,53
?复数基本知识
?交流电的复数表示法
?复数的实部是简谐量
)s in ()c o s ()(~ ?????? ????? ? tjAtAtjAA e
)(~)c o s ()( 1
11111
???? ??? ???? tjAAtAta e
)(~)c o s ()( 2
22222
???? ??? ???? tjAAtAta e
)(~)c o s (
~~~
)()()( 2121
???? ??? ????
??? ????
tjAAtA
AAAtatata
e
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
简谐量的微商和积分
?利用复数法，可以把微商、积分运算
简化成代数运算
AjtjAjtjAdtddt Addt tda ee ~)()(~)( ?????? ==][= ??? ??
A
j
tj
A
j
dt
tj
AdtAdtta
e
e
~1)(1
)(~
)(
?
??
?
??
?
?
?
?
?? ?? ???
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
交流电的复数表示
?复电压
?复电流
)(~)c o s ()(
00 u
tjUUtUtu e
u
???? ??? ????
)(~)c o s ()( i
iiii
tjIItIti e ???? ??? ????
?复阻抗
???
??
??
jZiuj
I
U
tjI
tjU
I
U
Z ee
e
e
i
u
???
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)(
)(
)(
~
~
~
0
0
0
0
0
0
I
U
iu ??? ??
?? jYj
ZZY ee
????? 1~1~?复导纳
幅角
差一
个负
号
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
好处
? 元件 阻抗 相位差 复阻抗 复导纳
?jZe
I
UZ ??
~
~~
复数形式的欧姆定律；
将 Z,φ 用一个复阻抗来代
替
cjcjffccC ????? 1212 11 ???
LjLjffLLL ??
??? 1
22 ???
R
RfRR 10无关与
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
交流串、并联电路的复数解法
? 用复数法计算简单电路时，电路的电压、电
流关系与直流电路一样
? 串联电路
21
2121
21
~~~
~~~~~~~~~
,
~~~
ZZZ
ZIZIZIUUU
III
??
?????
??
21
21
21
21
~~~
~
~
~
~
~
~
~~~
,
~~~
YYY
Z
U
Z
U
Z
U
III
UUU
??
?????
??
? 并联电路
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
LjR
CRjLC
Cj
LjR
YYY
CLR
?
??
?
?
?
??
?
?
?
???
2
1
1~~~
例题：求 R,L,C串并联
电路的总阻抗和相位差
? 先算 L,R 串联
电路的复阻抗 ZLR LjRZZZ RLLR ????? ~~~
? 再算总电路复
导纳 Y
CRjLC
LjRZ
??
?
??
???
21
~
? 复阻抗
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
R
LRCL
tg
LC
CR
R
L
LC
CR
R
L
tg
])([
1
1
1
22
1
2
2
1 ???
?
??
?
??
?
??
?
?
??
?
?
? ??
求阻抗和幅角
? 用三角恒等式
)(
2
1
2
2
1
2
1
2
21
1
~
~
1
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?
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? ?
???
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?
?? j
j
j
e
Z
Z
eZ
eZ
Z
Z
CRjLC
LjR
Z
利用复数运算规则
222
22
2 )()1(
)(
1
~
CRLC
LR
CRjLC
LjRZZ
??
?
??
?
??
??
??
???
模
LC
CRtg
R
Ltg
2
11
21 1 ?
?????
?????
??
幅
角
xy
yxtgytgxtg
?
??? ???
1
111
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
串、并联电路的应用
?交流元件的这种特性 ——“频率响应,
?有许多重要的应用
Cj
ZLjZ CL
?
? 1~,~ ??
都与频率有关
有确定值一定时
Cj
ZLjZ CL
?
?? 1~,~ ??
随着变化改变时
Cj
ZLjZ CL
?
?? 1~,~ ??
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
滤波电路
? 能使某些频率的交流讯号顺利通过, 而将
另外一些频率的交流讯号阻挡住的电路
? 低通滤波电路：将高频流讯号阻挡住
? 高通滤波电路：能使高频讯号顺利通过,
而将低频流讯号阻挡住的电路
? 在无线电, 多路载波通讯等技术领域中广
泛地使用着各种类型的滤波电路
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
单级的 RC低通滤波电路
? 利用电容具有隔直流、通交流，高频短路，直流开
路的频率特性，由电容和电阻组合而成
? 实际上是一个分压电路。以电容两端作为输出端，
则该电路的 输出复电压 与 输入复电压 之比为
RCj
Cj
R
Cj
U
U
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
~
~
输入
输出
2)(1
1
~
~
RCU
U
??
?
输入
输出
)(t a n)( 1 RC??? ???
模 幅
角
都是 ?的函数
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? 对于一定的输入电压，输出端分压与频率成
反比,频率越高，输出电压占输入电压的份
额就越少
? 当输入电压中包含有 各种频率 的交流成分和
直流成分时，直流成分大小不变，而 交流成
分减少,起到了滤波作用
? 因为输出的交流成分中, 低频成分比高频成
分占的比例多一些, ——低通滤波电路
2)(1
1
~
~
RCU
U
??
?
输入
输出 )(t a n)( 1 RC??? ???
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例题：已知电压中包含直流成分 240伏和
100Hz的交流纹波 100伏, 将此电压输入低通
滤 波 电 路, 其中 R ＝ 200Ω, C=50μf
求：输出电压中的交, 直流成分各占多少?
? 直流成分全部集中在电容上
? 电容上的交流成分？
157.0
)(1
1
~
~
2
?
?
??
RCU
U
U
U CC
?
VVVUjTU C 167.151 5 7.01 0 0)( ????? ?
? 输出讯号交流成分由 100V降到 16伏，输出
电压比原来平稳多了
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高通滤波电路
? 由于高频讯号的电压在电阻上分配得比较
多，因此输出端将得到较多的高频讯号
? 利用电感具有阻高频、通低频的频率特征，
可以将电感和电阻组合成高通滤波电路
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旁路
作用
? 无线电路设计中，要求某一部位 有一定直
流压降,但 同时必须让交流畅通、交流压
降很小，使压降保持稳定
? 通常在这种部位中安置适当搭配的 RC并联
电路，此时由于电容 隔值流、通交流,因
此起到交流旁路作用
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例题：如图所示，电源提供 500周 3毫安电流，
未接通电容时，电阻 R＝ 500Ω，两端交流电压
为多少？当并联一个 30μf的电容后又如何？
? 没有电容时，电源提供的电流全部通过电阻，
电阻两端的交流压降为
VVIRU R 5.1500103 3 ????? ?
? 并联 30μ f电容,其容
抗 ??? 102 1fCZ C ?
? 电流 向电容支路 分流，
其 电流 有效值 之比为 50105 0 0 ??? CRRc ZZII
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旁路
作用
?绝大部分电流从电容支路旁路流过，通
过电阻的电流还不到总电流的 1/50,近
似认为
mAII C 3?? mVZIU CC 30' ??
?减少到没有电容的 电压的 1/50
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相移作用
? R,C滤波电路，不仅
有低通滤波作用，而
且也改变了输出电压
和输入电压的相位差，
因此它可构成相移电
路（相移器）
)(t a n)( 1 RC??? ???
UC与 U相位差
? 显然输出电压 相位 落后 于输入电压。当输
入讯号的频率一定时,改变电容或电阻,
即可改变输出电压与电流之间的 相位差
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交流电路的基尔霍夫定律
? 自学要求
? 复习直流基尔霍夫定律；
? 找出与直流相同之处和不同之处；
? 会运用
? 复数形式的基尔霍夫定律
? 适用于处理 只有一个电源或有若干个同步电源
的复杂交流电路 （ 如电路中包含互感, 就会
出现不同步电源 ） 。
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交流电路的基尔霍夫方程组
? 对于电路的任意一个节点
? 瞬时电流代数和为 0
? 节点方程 ???i(t)?=0
? 沿任意一个闭合回路
? 瞬时电压降的代数和为 0
? 电压回路方程 ???u(t)?=0
? i(t),u(t) 对应成复电压、复电流
——复数形式基尔霍夫定律
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复数形式基尔霍夫定律
? 汇于节点的各支路复电流的代
数和为零
? ?? 0)~( I
? 沿回路环绕一周回到出发点，电势数值不变
? ? ? ????? 0()~~(~ )~?ZIU
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与直流电路比较
? 在每段支路上标定电流方向 （ 同 ）,
? i(t) > 0,与标定方向一致
? i(t) < 0,与标定方向相反
? 为每一个闭合回路规定绕行方向 （ 同 ）
? u(t) > 0,电势降落为正
? u(t) < 0,电势降落为负
? 标定某一瞬时电源的极性 （ 不同 ）
? e(t) > 0, 电源极性与标定的一致
? e(t) < 0,电源极性与标定的相反
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符号法则
? 第一方程 （ 同 ）
? 对于节点, 流入为负, 流出为正
? 第二方程
? 元件 （ 含电源内阻 ） （ 同 ）,
? 电流方向与绕行方向一致, 认为电势降落取正,
相反取负 。
? 电源 （ 同 ）
? 绕行方向与某个（理想）电源所标定的方向一致
（即从负极穿过电源内部到正极）取正，相反取
负。
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关于复数基尔霍夫定律的几点说明
? 电流及电势降落的正负的规定带有人为的因素，
不同书规定的方法可能不一样，但反映的物理规
律完全相同（ 同 ）
? 复数形式的基尔霍夫定律中确定电压回路的独立
回路个数的方法与直流电路中所述相同（见直流
基尔霍夫定律）（ 同 ）
? 用复数形式的基尔霍夫定律解复杂交流电路比较
方便，基本上与直流电路做法相似，但这里有 一
个重要的区别，即在得到复数结果之后还要计算
它们的模和幅角,以便得到有物理意义的实际结
论
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适用范围和意义
? 适合处理只有一个电源或有若干个 同频、同步 电源的复杂
交流电路
? 用于含多个同频但非同步电源的交流电路时（如电路中包
含互感，就会出现非同步电源），则应当已知 各电源之间
的相位差 （ 不同 ）
? 无论是直流电路的基尔霍夫定律还是交流电路的基尔霍夫
定律，它们实际上就是 电流连续性方程 和 环路定理 在电路
中的具体实现,从纯理论的角度看，并没有给出什么新东
西
? 基尔霍夫定律的建立 使纯理论研究转化为应用理论,使之
给出关于电路中电压、电流、电动势之间的完备方程组，
解决了电压、电流和元件阻抗之间的关系问题，而这种关
系本身是应用的前题，它 为电路的测量提供了依据,这正
是基尔霍夫的重大贡献。
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三级 RC低通滤波电路
（三级 RC相移电路 ）
? 试用基尔霍夫定律计算该滤波电路输出和输入复电
压之比
? 设复电流的方向如图
? 由节点方程决定
? 流经各电容 C的电流
? 选择图示三个回路 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ
? 规定了回路的绕行方向 U
Cj
IIRI ~~~~I 21
1 ?
??
?：
0
~~~~~
II 21322 ????? Cj IICj IIRI ??,0
~~~~
I I I 3233 ???? Cj IICj IRI ??：
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?
?
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0)
2
(
~1~
0
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)
2
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~
32
321
21
Cj
RI
Cj
I
Cj
I
Cj
RI
Cj
I
U
Cj
I
Cj
RI
??
???
??
三
元
一
次
方
程
组
CRCRjCR
CjUI
???
?
])(6[)(51
~~
223 ????
CRCRjCR
U
Cj
IZIU
C ???? ])(6[)(51
~~~~
'~ 2233 ??????
CRCRjCRU
U
??? ])(6[)(51
1
~
'~
22 ????
输出
和输
入复
电压
之比
?越大输出电压
占输入电压的
份额越少
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交流电桥
? 交流电桥原理与直流电桥相似
? 不同的是四臂上的元件不一定
是电阻，可以是 R,L,C元件
? 图中已规定了电流方向和回路
绕行方向以及电源的极性
301
~~~ IIIB ??：
402
~~~ IIID ??：
0~~~~~~ 220011 ??? ZIZIZIA B D A,
0~~~~~~ 004433 ??? ZIZIZIB C D B,
0~0 ?I电桥平衡时
4213 ~~,~~ IIII ??
44332211
~~~~,~~~~ ZIZIZIZI ??
2341
4
2
3
1 ~~~~;~
~
~
~
ZZZZZZZZ ???
平衡条件
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电桥平衡条件
? 交流电桥平衡条件
? 要求电桥两对边元件的阻抗之积相等
? 且要求两对边的相位之和相等
? 说明交流电桥四臂上的元件不能任意选择
? 如 2,4 臂选了纯电阻, 则 1,3臂必须选用同为电感或
同为电容的元件, 不能选一个电感一个电容 。 （ 思考
p387 5-35）
?? 2341 ~~~~ ZZZZ
)()( 32
324141
???? ?? ? jZZjZZ ee
32413241 ???? ???? ZZZZ
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各种实用的电桥
? 实用中，各臂采用不同性质的阻抗，可以组
成多种形式的电桥（ 实际应用 ）
? 可以自行写出各电桥的平衡条件
a 电容桥 b 麦克斯韦 LC电桥 c 频率电桥
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有互感的电路计算
? 计算有互感的电路时，情况相对复杂一些，在按
照基尔霍夫定律列方程时，还应考虑互感引起的
感应电动势对电路中电压、电流的影响
?同名端和异名端
?当两个线圈中 流入的电流 使得它们
各自所产生的 磁通量方向相同时,
两个线圈的电流流入端 （或流出端）
叫做 同名端 或极性相同，用小圆点
标记；反之则称为 异名端
?（ a）是两个串联顺接的线圈，故两线
圈末端为同名端
?（ b）为两串联反接线圈，故同名端为
一头一尾
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符号法则
? 当两线圈中电流由 同名端流入,并且电流有
相同的变化（同为增加或同为减少），则在
每一个线圈内的互感电动势与自感电动势方
向相同,互感电压和自感电压的方向也相同
? 当两个线圈中电流由 异名端流入,且电流有
相同变化时，互感电动势与自感电动势方向
相反,互感电压和自感电压的方向也相反,
相差一个负号
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互感电动势引起的电势降落的正负号法则
? 由自感 L1 引起的电势降落为
负与回路绕行方向相反取
正与回路绕行方向一致取
1
~
1
~
111
~~
I
I
ILjU L ???
? 线圈 2在线圈 1中的互感引起的电势降落为
相反名端流入，与的标定方向自两线圈异
名端流入，同的标定方向自两线圈同
1
~
2
~
1
~
1
~
2
~
1
~
22121
~~
LUII
LUIIIMjU
、
、
???
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例题：列出图示
电路方程 p350
0~
~~~
~~
)
~
(
~
)
~
(
1223221113
331333111
?????
????
????
???
IMjIMjIMj
IMjILjZILjZ
回
路
1
0~
~~~
~~
)
~
(
~
)
~
(
2223332113
121333222
?????
????
????
???
IMjIMjIMj
IMjILjZILjZ
回
路
2
213
~~~ III ??
