2005.5 北京大学物理学院王稼军编
§ 10 谐振电路
p398 5-67,68
? R,L,C串联谐振电路
? 串联电路
? 矢量图
2222 )1()(
CLRIUUUU CLR ?? ??????
22 )1(
CLRI
UZ
?? ????
R
C
L
tg
U
UUtg
R
Cl ?
?
?
1
11
?
??? ??
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
谐振
现象
? R,L,C串联 电路 振动系统
? 电源 周期性策动力
? 电源的频率与系统的固有频率一致时, 发生谐振 （ 共
振 ） 相当于速度共振
RZ
C
L
RZ
C
L
RZ
C
L
???
???
???
,0
1
,0
1
,0
1
?
?
?
?
?
?
2222 )1()(
CLRIUUUU CLR ?? ??????
?0=2?f时 阻抗达到 极小
值，此 时 电流 I达到 极
大值 —— 谐振现象，
谐
振
条
件
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
谐振时的特征
? 谐振频率
? 满足谐振条件的频率
LCfLCLC ??? 2
1,1,1
00
2
0 ???
固有频率 由电路中的 L,C的量值
决定，即 由电路本身的性质决定
? 总电压与总电流的相位关系
R
C
L
tg ?
?
?
1
1
?
? ? U落后 I U超
前 IU与 I同相位
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
谐振时的特征
? 总阻抗、总电流
? 谐振时 总阻抗极小 Z＝ R
? 总电流极大 Im=U/R
? 电压分配
? 总电压 U＝ UR＝ IR
? 这是否说明此时电感, 电容上没有电压？
? 实际上，谐振时,L,C上的电压往往比总电压大几倍到几
十倍
LRUZIU LmL 0???
CR
UZIU
CmC
0?
??
URIU mR ??
QR LRZCRRZUUUU LCLC ?????? 0
0
1 ?
?
品质
因数
也叫
Q值
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
Q值的物理意义
? 品质因数是衡量谐振电路好坏的参量，其物
理意义是多方面的
? 储能和耗能和 Q值的第一种物理意义
? 在 R,L,C串联电路中，电阻是耗能元件，而电感
和电容是储能元件，在交流电一个周期内
TRIW R 2? )(21)(21 22 tCutLiW CS ??
tIti ?c os)( 0?
电阻
耗能 在 C,L中总储能
tCItCIu c ????? s in)2c o s ( 00 ???
]s i n1c o s[21 22220 tCtLIW S ??? ??
作周
期性
变化
LC
1
0 ?? ??
2
2
0
2
2
02
1
mS LIC
ILIW ???
?
不再随时间变化
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
WR与 WS之比
? 总储能 WS就是在谐振状态下，稳定地储能在电路中的电、
磁能
? 这能量是在谐振电路开始接通是经历的暂态过程中由外电路
输入给它的
? 达到稳定后，为了维持稳定的振荡，外电路要不断地输入能
量以补充电阻上的耗能 WR
? WR与 WS之比反映了一个谐振电路储能的效率
2
2
0
2
2
02
1
mS LIC
ILIW ???
?
?
?
???
???
?
22
11
2
1
2
11
0
0
0
2
0
2
2
0
2
Q
R
L
RC
RCC R TTRI
C
I
W
W
R
S
???
???
R
S
W
WQ ?2?
Q值等于谐振电路中储存
的能量与每个周期内消耗
能量之比的 2π倍
Q 值高 —— 相
对于储存的能
量来说所需付
出的能量耗散
越少 。
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
频率的选择性和 Q值的第二种物理意义
? 如图,Q值越大，
谐振峰越尖锐，电
路的频率选择性能
越好
? 通频带宽度,Im的
70％处频率之间的
宽度 △ f=|f1-f2|
f
fQ
??
0
? 证明
212121 ZZIIff,，、、,对应的电流和阻抗为设
R
UIII m
2
1
221 ??? RI
U
I
UZZ 2
21
21 ????
2
0
0
2
02 1)1(1
???
?
???
? ?
?
?
??
?
??????
?
?
?
??
?
?
R
LR
cRR
LRZ
f?? 2?
00 2 f?? ?
R
LQ 0??
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
? 两式相加，消去因子 (f1+f2),得
???
?
?
???
? ?
?
?
??
?
???
2
0
0
2
01
?
?
?
??
R
LRz 20
0
21
???
?
???
?
???
f
f
f
fQRZ
R
f
f
f
fQRZ 21
2
0
0
2
1 ???
?
?
???
?
??? 1
2
0
0
2 ?
???
?
???
?
??
f
f
f
fQ
Q
ffff
f
f
f
fQ 012
1
2
0
0
0
,1 ?????
?
?
???
? ? 或
Q
ffff 022
0
2
2 ??
同样
处理
fQfff ???? 012
?Q值越大, ?f越小, 谐振峰越尖锐, 频率选择性能也
越好 —— Q值的第二种物理意义 。
? Q值越高, △ f越小电路的选择性能越好
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
电压分配和 Q值的
第三种物理意义
? Q值标志了谐振电路中电感, 或电容上电压
与总电压的比值
? Q值越大，电感和电容上的电压与总电压之
比越大
? 例如：一谐振电路的 Q＝ 100，
若测得 U＝ 5V,则 UL＝ UC＝ 500V
U
U
U
UQ LC ??
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
并联谐振
? 电路计算结果
222
22
)()1(
)(
CRLC
LRZ
??
?
??
??
R
LRCLtg ])([ 221 ???? ??? ?
值均与 ??有关
在某个特定的
频率 f0下,Z,?
也达到极值
? 谐振条件和频率 ?? 0?
0])([ 22 ??? LRCL ???
0
2
0 2
1 f
L
R
LC ?? ???
??
?
???
2
0
1
2
1 ?
?
??
?
???
L
R
LC
f
?
R很
小时 LCf 1210 ??
?0也是
解，但
属于低
频，不
可能发
生谐振
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
并联谐振
? 总阻抗、总电流
? 将 f0代入总阻抗 Z的表达式,可以看
出谐振时, 总阻抗达到极大 Zm；总
电流达到极小 Im=U/Zm。
? 其实 Z为极大时, 对应的频率应为 2
0
1
2
1 ?
?
??
?
???
L
R
LCf ? 22
0
211
2
1' ?
?
??
?
????
L
R
L
CR
LCf ? '
00 ff ?
是R 很小
的条件'00 ff ?
? 总电压与总电流的相位关系
U落后 I，
呈容性
U与 I同相位
呈电阻性U超前 I，
呈感性
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
并联谐振
? 谐振时电流分配
? 由矢量图可见，总电流
I0很小,IC,IL很大
? 谐振时，两支路电流几乎为总电流的 Q倍
? 谐振电路在电子技术中有广泛的应用，特别
是作为主要电路应用于选频放大器、振荡器、
滤波器中
Q
R
L
C
CRL
Z
Z
ZU
ZU
I
I
C
cc ????? 0
0
0
00 /1
/
/
/ ?
?
思考题