7-5 §3. 元件的串联、并联 矢量图解法 p338 根据交流元件的联结形式不同，也将交流电路区分为 简单交流电路与复杂交流电 路。类似于直流电路，元件最 简单的联结方式为串联和并 联，而凡是能够通过运用元件 串、并联的计算法将电路化 为一个单回路的交流电路称为 简单交流电路；反之，不能 将交流元件的联结方式归并为 串、并联的电路，称为复杂交流电路。 null 同频交流简谐量的叠加 p394 5-38、 40、 43 这里讨论的是由简 谐交流电源与集中元件 联结而成的线性的简单 交流电路，在似稳条件 下， 整个电路满足电流连 续性方程，且能够引进电压 的概念，因此，与直流电路中 电阻的串、并联一样，交流 串、并联电路中，元件上的交 流电压、电流在任意时刻的瞬 时值之间的关系也比较简单。 以图示的两个元件的串、并 联电路为例，串联电路中，通 过各元件的电流的瞬时值处 处相等，电路两端的电压瞬时 值等于各元件上分压瞬时值之和,有 )()()( 21 tititi == ， )()()( 21 tututu += ； 因此求电路中总电压的瞬时 值将归结为求两个同频简谐量 的叠加。设： )cos()( 10101 ?ω += tUtu ， )cos()( 20202 ?ω += tUtu 则总电压为 )cos()cos()()()( 2020101021 ?ω?ω +++=+= tUtUtututu 利用三角函数和差化积公式 ，可得叠加结果仍为同频简谐 量，即 )cos()( 00 ?ω += tUtu 总电压峰值及其初相位为 ,)cos(2 10202010 2 20 2 100 ?? ?++= UUUUU 7-6 20201010 202010101 0 coscos sinsin tan ?? ?? ? UU UU + + = ? 可见，两分电压的初相差出 现在总电压的峰值表达式中， 电路总电压峰值（或有效值）一般不等于分电压的峰值（或 有效值）之和， 20100 UUU +≠ 或 21 UUU +≠ 对于并联电路,各元件两端的电压瞬时值是共同的，而 总电流瞬时值等于各元件上分电流瞬时值之和，有 )()()( 21 tututu == ， )()()( 21 tititi += 同样，电路总电流峰值（或 有效值）一般也不等于分电压 的峰值（或有效值）之和，有 20100 III +≠ 或 21 III +≠ 如何解决峰值和有效值的叠加问 题？ 矢量图解法 两种简便方法 复数解法 一．矢量图解法 用旋转矢量 U 在 x 轴上的分量代替简谐量 总电压为 )cos()cos( )()()( 20201010 21 ?ω?ω +++= += tUtU tututu ,)cos(2 10202010 2 20 2 100 ?? ?++= UUUUU 20201010 202010101 0 coscos sinsin tan ?? ?? ? UU UU + + = ? 7-7 （一） 串联电路 1． R、C 串联 *电流： *电压： )()()( tititi cR == )()()( tututu cR += ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ cR III == cR UUU += *矢量长度：可以对应峰 值，也可以对应有效值， 有效值与峰值的关系为 22 00 I I U U == *画图：依据 R、L、C 上电 压与电流的相位关系 *计算 CRZ Z U U C I IZUIRU R c R c ccR ωω 1 ,, ===== 2 22222 1 ? ? ? ? ? ? +=+=+= C RIZRIUUU CRC ω 2 2 1 ? ? ? ? ? ? +== C R I U Z ω CRU U R C ω ? 1 tantan 11 ?? == 表明：1） cR UUU +≠ ； 2）分电压有效值的分配与各元件的阻抗成正比。 2. R、L 串联(自学) 7-8 *计算 R L Z Z U U LIIZUIRU R L R L LLR ω ω ===== ,, () 2 22222 LRIZRIUUU LRL ω+=+=+= () 2 2 LR I U Z ω+== ， R L U U R L ω ? 11 tantan ?? == （二） 并联电路 1.R、C 并联 *电流 )()()( tititi cR += *电压： )()()( tututu cR += ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ cR III += cR UUU == CR Z Z I I CU Z U I R U I C R R c c cR ω ω == === , 2 222 1 )( R CUIII RC +=+= ω )(tan, 1 )( 1 1 2 2 CR R C I U Z ω? ω ? ?= + == 表明： 1） cR III +≠ ； 2）分电流有效值的分配与 各元件的阻抗成反比。 2. R、L 并联（自学） L R Z Z I I L U I R U I R L R L LR ωω ==== ,, 2 2 22 11 ? ? ? ? ? ? +=+= LR UIII RL ω 7-9 2 2 11 1 ? ? ? ? ? ? + == CR I U Z ω L R U U R L ω ? 11 tantan ?? == 例题:已知 RZZ CL == ,求下列矢量之间的相位差 1) U c 与I R 2) I c 与 I R 3) U R 与U L 4) U 与 I 解：题目给出了 ZZR LC = = *画矢量图要严格按比例画 *选基准线： 一般可选电路中最小单元 中的电阻上的电压或电流 对应的矢量最小单元是 R、 C 并联，可以 R I 为基准线 *根据条件估计矢量长度，并 作图 Rc C R R C II Z Z I I =?== 1 ， RRC IIII 2 22 =+= , 4 1tan 1 1 π ? === ? R c I I ， L 与最小单元串联， II L = ， RRLL URIIZU 22 === 所以 LR UUU += , CIU || 222222 )2( RRRCL UUUUUU =?=?= 7-10 结论： 1）U c 与I R 同相位 0=?? ；2) I c 超前 I R 2 π ? =? ； 3) U R 落后于 U L 4 3π ? ?=? ；4) U 超前 I 4 π ? =? 。 null 小结： 1． 对于由元件串并联构成 的简单交流电路，根据元件的 特征和串联、并联的性质，利用矢量表示简谐量、矢量 和表示同频简谐量之和的方法 ，可以画出该电路全部电 流以及电压（简谐量）的矢量图。 矢量大小 —— 代表相应电压电流的大小 矢量夹角 —— 两相应简谐量的相位差 （无论电压还是电流） 矢量图集中了串并联电路的全 部重要信息，并把其间的 关系表示成几何关系—— 一目了然，十分直观。 2． 对于单纯的串联或单纯 并联电路，各矢量之间的关 系不是超前 2π ，就是落后 2π ，或者同相位，因此图 上旋转矢量构成的几何图 形是直角三角形，利用勾股 弦定律易于求解电路；只有 在既并又串的电路中，矢量 图才会出现斜三角形，此时 需要用余弦定理来计算，比 较麻烦。例如上述例题中，如 果未给出条件 RZZ CL == ， 那么就无法估计各矢量的长度， 从相应的矢量图可以看到， 只能定性地画出各简谐量对应 的矢量长度，给出了各矢量的几何关系。显然该矢量图能 定性地、直观地反映出了各 量之间的相位关系，但计算比 较麻烦。更复杂的串、并联 电路，比如有多个串、并联单 元组合起来的电路，计算起 来更为烦琐。在下一节中，我 们将介绍简单交流电路的复 数解法，用复数解法求解这类 问题更为简单。