2005.3 北京大学物理学院王稼军编
磁场的, 高斯定理, 磁矢势
? 磁通量
? 任意磁场，磁通量定义为
?? ???
S
B SdB
?磁感应线的特点：
?环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远
0???? ??
S
B SdB
磁高斯定理 无源场
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
磁高斯定理
? 通过磁场中任一闭合曲面 S的总磁通量恒等
于零
? 证明：
? 单个电流元 Idl的磁感应线：以 dl方向为轴线的一
系列同心圆，圆周上 B 处处相等；
2
0 s i n
4 r
I d ldB ?
?
??
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
? 考察任一磁感应管 (正截面为 )，
取任意闭合曲面 S,磁感应管
穿入 S一次, 穿出一次 。
dSdSdS ??? 2211 co sco s ??
dSrI d ldSrI d lSdBdd B 20112011 s in4c o ss in41 ??????? ??????
dSrI d ldSrI d lSdBdd B 20222022 s i n4c o ss i n42 ??????? ?????
021 ?????? BBB ddd
?结论：任一磁感应管经闭合曲面 S的磁通量为零
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
推广到任意载流回路的磁场
? 一个电流元 产生的磁场可看成由许多磁
感应管组成
? 有的穿入又穿出, 有上述结论
? 有的没穿过 S,磁通量为零
? 任意载流回路 —— 由许多电流元串联而
成, 由叠加原理得
? 结论,通过磁场中任一闭合曲面 S的总
磁通量恒等于零。
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
磁高斯定理的微分形式
? 利用数学的高斯定理
0???? ??
S
B SdB
0??????
V
dVB 0??? B
?说明恒磁场的散度为零 —— 无源场
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
磁矢势
? 然而磁场的主要特征：无源（无散） ——
磁高斯定理
? 其 更根本 的意义：使我们可能引入磁矢势
0????
S
SdB
? ???
L L
IldB
内
0?
无源场
有旋场
非保守场一般
不引入标势
0??? B
jB ???
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
? 磁高斯定理表明：对任意闭合面
0
21
?????? ??????
SSS
SdBSdBSdB
???? ????
21 SS
SdBSdB
磁通量仅由
的共同边界线所决定 可能找到一个矢量 A,它沿 L作线积分等于通过 S的通量
)( add
L S
? ?? ??? SBlA
?数学上可以证明，这样的矢量 A的确存在，
对于磁感应强度 B,A叫做 磁矢势, A在空间
的分布也构成矢量场，简称 矢势
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
根据矢量分析
? 对任意矢量 A有 0)( ????? A AB ???
?矢势的特点
不唯一的满足 AAB ???
其实标势也不唯
一，零点可选
?如：对于任意标量场 ?的梯度 ??，有 0???? ?
BAAA ???????????????? ?? )(
描述同一个磁感应强度 B ???? A'A：规范变换
?类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取
?通常选库仑规范, ??A=0
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
找电流产生的磁场中
磁矢势的表达式
? 电流元的磁矢势 p112式（ 2.55)
? 任意闭合回路的磁矢势 式（ 2.56)
? 例题 9
? 例题 10
? 例题 11
得出利用对称性由 ? ?? ???
L S
dd SBlA
?两种办法
的表达式由 AAAB ??????? 0和 电动力学的做法
普通物理
的方法
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
电流元的磁矢势
? 设磁矢势 a与电流元平行
（因为对矢势变换规范可
以任选，选库仑规范 ??A=0
的结果） —— a只有 z分量
以电流元为轴,取 柱坐
标 （ ?,?,z )
取闭合环路 L
dlpdddddd
bdCba LLLLLL
)(zalalalalalala ???????????? ??????
???? dca LLL a,a,
只有这一段
积分有贡献
??? ????
SL
ddlpd lBala z )(？
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
计算通过 L的通量
? 场点 P和回路 L在 ?＝ 0
的平面内
? 通过 L的磁感应通量为：
00 0 z、、,?P 点坐标
0zzd ?处的?
2
10 s i n
4 r
Id ldB ?
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消去 dl
0
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编
同向1la dp 与)(
0
10
4
)(
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Idp
?
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? 上式为电流元所产生的磁场中矢势的
一个表达式 —— 矢势表达式不唯一
? 任意闭合载流回路 L1 在空间某点的矢势
??
)(
10
1
4
)(
L r
dIp lA
?
?
电流在导
线截面上
均匀分布
电流回路
? 假如电流在载流截面上不均匀分布
????
V r
dp V'r'jA )(
4
)( 0
?
?
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
矢势公式的应用举例
? 例题 9：一对平行无限长直导线，载
有等量反向电流 I
? 先求一根无限长直导线的磁矢势（如图）
? 设矢势 A只有 z分量
? 无限长 —— Az与 z无关
? 轴对称 —— Az与 ?无关
? Az只是 ?的函数,Az＝ Az(?)
取回路
P
Q
LLLLLLL
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BdllQP
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Q
P
Q
P
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22
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求磁通量
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
P
QIQP
?
?
?
? ln
2)]()([
0??
zz AA
一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差
?两根无限长载流直导线的磁矢势
?矢量叠加（如图）
?
?
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P
Q
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叠加得 P
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2
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P
P
P
Q
P
Q
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取 Q
零点
＋
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
? 例题 10：无限长圆柱型导体，半径为 R，载有在
界面上均匀分布的电流 I，求磁矢势
? r<R：导线内部 P点，取 Q点在导体轴线上，取
回路如图，通过回路的磁通量
?r>R：导线外部同例题 9，取 Q点在导体表面，外
部任意点 P与 Q点的矢势差为
2
2
000
2
0
42 R
lIrr d r
R
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编
求矢势小结
? 依据公式 (a)求矢势的基本步骤
? 根据对称性，假设一个矢势的方向
? 取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则：或可提出
积分号，或积分好算）
? 算出通过回路的磁通量
? 得出 A 一个表达式
? 以上几个例子（例题 11自己看）都属于强对称性
场，实际上是已知 B求 A，也可以直接根据电流
分布求矢势 —— 更多的问题在电动力学中学习
? 相关的习题很少，掌握这种方法
? p145 2-20(3),2－ 21（ 3）（不能用这种方法求）
)( add
L S
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磁场的, 高斯定理, 磁矢势
? 磁通量
? 任意磁场，磁通量定义为
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S
B SdB
?磁感应线的特点：
?环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远
0???? ??
S
B SdB
磁高斯定理 无源场
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
磁高斯定理
? 通过磁场中任一闭合曲面 S的总磁通量恒等
于零
? 证明：
? 单个电流元 Idl的磁感应线：以 dl方向为轴线的一
系列同心圆，圆周上 B 处处相等；
2
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编
? 考察任一磁感应管 (正截面为 )，
取任意闭合曲面 S,磁感应管
穿入 S一次, 穿出一次 。
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?结论：任一磁感应管经闭合曲面 S的磁通量为零
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
推广到任意载流回路的磁场
? 一个电流元 产生的磁场可看成由许多磁
感应管组成
? 有的穿入又穿出, 有上述结论
? 有的没穿过 S,磁通量为零
? 任意载流回路 —— 由许多电流元串联而
成, 由叠加原理得
? 结论,通过磁场中任一闭合曲面 S的总
磁通量恒等于零。
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
磁高斯定理的微分形式
? 利用数学的高斯定理
0???? ??
S
B SdB
0??????
V
dVB 0??? B
?说明恒磁场的散度为零 —— 无源场
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
磁矢势
? 然而磁场的主要特征：无源（无散） ——
磁高斯定理
? 其 更根本 的意义：使我们可能引入磁矢势
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无源场
有旋场
非保守场一般
不引入标势
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? 磁高斯定理表明：对任意闭合面
0
21
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SdBSdB
磁通量仅由
的共同边界线所决定 可能找到一个矢量 A,它沿 L作线积分等于通过 S的通量
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?数学上可以证明，这样的矢量 A的确存在，
对于磁感应强度 B,A叫做 磁矢势, A在空间
的分布也构成矢量场，简称 矢势
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
根据矢量分析
? 对任意矢量 A有 0)( ????? A AB ???
?矢势的特点
不唯一的满足 AAB ???
其实标势也不唯
一，零点可选
?如：对于任意标量场 ?的梯度 ??，有 0???? ?
BAAA ???????????????? ?? )(
描述同一个磁感应强度 B ???? A'A：规范变换
?类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取
?通常选库仑规范, ??A=0
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
找电流产生的磁场中
磁矢势的表达式
? 电流元的磁矢势 p112式（ 2.55)
? 任意闭合回路的磁矢势 式（ 2.56)
? 例题 9
? 例题 10
? 例题 11
得出利用对称性由 ? ?? ???
L S
dd SBlA
?两种办法
的表达式由 AAAB ??????? 0和 电动力学的做法
普通物理
的方法
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
电流元的磁矢势
? 设磁矢势 a与电流元平行
（因为对矢势变换规范可
以任选，选库仑规范 ??A=0
的结果） —— a只有 z分量
以电流元为轴,取 柱坐
标 （ ?,?,z )
取闭合环路 L
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)(zalalalalalala ???????????? ??????
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只有这一段
积分有贡献
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编
计算通过 L的通量
? 场点 P和回路 L在 ?＝ 0
的平面内
? 通过 L的磁感应通量为：
00 0 z、、,?P 点坐标
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? 上式为电流元所产生的磁场中矢势的
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? 任意闭合载流回路 L1 在空间某点的矢势
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电流在导
线截面上
均匀分布
电流回路
? 假如电流在载流截面上不均匀分布
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编
矢势公式的应用举例
? 例题 9：一对平行无限长直导线，载
有等量反向电流 I
? 先求一根无限长直导线的磁矢势（如图）
? 设矢势 A只有 z分量
? 无限长 —— Az与 z无关
? 轴对称 —— Az与 ?无关
? Az只是 ?的函数,Az＝ Az(?)
取回路
P
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求磁通量
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
P
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一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差
?两根无限长载流直导线的磁矢势
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＋
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
? 例题 10：无限长圆柱型导体，半径为 R，载有在
界面上均匀分布的电流 I，求磁矢势
? r<R：导线内部 P点，取 Q点在导体轴线上，取
回路如图，通过回路的磁通量
?r>R：导线外部同例题 9，取 Q点在导体表面，外
部任意点 P与 Q点的矢势差为
2
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IlB d rl
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编
求矢势小结
? 依据公式 (a)求矢势的基本步骤
? 根据对称性，假设一个矢势的方向
? 取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则：或可提出
积分号，或积分好算）
? 算出通过回路的磁通量
? 得出 A 一个表达式
? 以上几个例子（例题 11自己看）都属于强对称性
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分布求矢势 —— 更多的问题在电动力学中学习
? 相关的习题很少，掌握这种方法
? p145 2-20(3),2－ 21（ 3）（不能用这种方法求）
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