2005.2 北京大学物理学院王稼军编写
静电场边值问题的
唯一性定理
? 静电场小结
? 典型的静电问题
? 给定导体系中各导体的 电量 或 电势 以及各导体
的形状、相对位置（统称边界条件），求空间
电场分布，即在 一定边界条件 下求解
拉普拉斯方程
泊松方程,
??
????
02
0
2
＝Uor
U
?
? 静电场
的边值
问题
泛
定
方
程 ＋边界条件
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唯一性定理
? 对于静电场，给定一组边界条件，空间能否
存在不同的恒定电场分布？ —— 回答：否！
? 边界条件 可将空间里电场的分布 唯一 地确定
下来
? 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题
的正确解释至关重要
? 理论证明在电动力学中给出,p59 给出普物
方式的论证
? 论证分三步：引理 —— 叠加原理 —— 证明
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几个引理
? 引理一：在无电荷的空间里电势不可能
有极大值和极小值
? 证明（反证）若有极大，则
极大
矛盾但面内无电荷
点背离点,指向
，,0???
????
??SE dΦ
PUPU
SE
E
极小
?若有极小，同样证明
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? 引理二：若所有导体的电势
为 0，则导体以外空间的电
势处处为 0
即意味着空间
电势有极大值，
违背引理一
?证明（反证）
在 无电荷 空间里电势分布连续
变化，若空间有电势大于 0
（或小于 0）的点，而边界上
电势又处处等于零 —— 必出现
极大值或极小值 —— 矛盾
?推广：若完全由导体所包围的空间里各导体
的电势都相等（设为 U0）,则空间电势等于
常量 U0
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引理三：若所有导体都不带电，
则各导体的电势都相等
? 证明（反证）
? 若不相等，必有一个最高，
如图设 U1>U2,U3,—— 导
体 1是电场线的起点 —— 其
表面只有正电荷 —— 导体 1
上的总电量不为 0—— 与前
提矛盾
?引理二 ( ＋ )引理三 可推论：所有导体 都不带电 的
情况下空间各处的 电势 也和导体一样，等于同一 常
量
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叠加原理
? 在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予
两组边界条件：
? 1：给定每个导体的电势 UⅠ k（或总电量 QⅠ k）
? 2：给定每个导体的电势 UⅡ k（或总电量 QⅡ k)
? 设 UⅠ, UⅡ 满足上述两条件，则它们的线性组合
U=a UⅠ +b UⅡ 必满足条件 3:
3：给定每个导体的电势 Uk=a UⅠ k+b UⅡ k
（或总电量 Qk= QⅠ k a k+b QⅡ k）
特例, 取 UⅠ k＝ UⅡ k，则 U=UⅠ － UⅡ (a=1,b=-1)满足
4：给定每个导体的电势为 0
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唯一性定理
? 给定每个导体电势的情形
? 设对应同一组边值
III
III
EE
UU
??
?
)2,1( ??kU k
有两种恒定的电势分布
III UU 和
相当于所有导
体上电势为 0时
的恒定电势分
布
说明场分布是唯一的
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IIIIII
S
EEUUUdS
n
U
k
???????
?
?? ?? 常量0
0?
与电势参
考点有关，
不影响电
势梯度
?给定每个导体上总电量的情形
? 第 k个导体上的电量
dS
n
UdSEdSQ
kk k SS S
nek ???? ?? ?
?????
00 ???
电量与场
强、电势
的关系
设对
应同
一组
边值
有两
种恒
定电
势分
布
说明场分布是唯一的
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解释静电屏蔽
? 唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不
违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷
分布就是 唯一 可能的分布。
? 图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实
在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
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电像法 —— 解静电问题的一种特殊方法
? 在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷 q求空间
的电场分布和导体表面上的电荷分布
? 基本思想,利用唯一性定理，边界条件确定了，
解是唯一的，可以寻找合理的试探解
像电荷
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解,? 任一 P点的电势
0)''(4 1),,(
0
??? zrqrqzyxU ??
222
222
)(
)('
azyxr
azyxr
????
???? ；其中
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
?
222222
0 )(
1
)(
1
4
1),,(
azyxazyx
zyxU
??
? 导体上电荷的面密度 U
e ?????? 0?? nDn
2
3222
0
0
)(2 ayx
aq
z
U
z
e
??
????
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??
?
?
?
???
? ?
??
?
2l
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真空中有一半径为 R的 接地导体球，距球心
为 a(a>R)处有一点电荷 Q,求空间各点电势
? 寻找像电荷
? 对称性分析，确定像
电荷位置
? 使球面上电势＝ 0
? 任取 P点，利用叠加
原理求出像电荷位置
''''0'' rQQrQQrrrQrQ ???????
'c o s2
c o s2
22
22
QRaaR
QRbbR
?
?
????
??
对所有 ?都成立，
即要求与 ?无关，要求
22 'co s aQbQ ?的系数?
－？取 有 QaRQabQaRb ?????? '
2
三角形
相似
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求 p点电势
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?
??
? ??
??
?
??
? ??
'4
1
'
'
4
1
00 ar
RQ
r
Q
r
Q
r
QU
P ????
?? c o s2c o s2' 2222 RaaRrRbbRr ?????? ；其中
讨论：由 Gaoss定理收敛于球面上的电通量为－ Q’,Q’=球
面上的总感应电荷，它受电荷 Q产生的电场 吸引从接地处
传至导体球上,|Q’|<Q,Q发出的电力线只有一部分收敛于
导体球，剩下的伸展至无穷
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电偶极层
? 设想一厚度均匀的曲
面薄壳，两面带有符
号相反的面电荷
—— 电偶极层，如图，
求 P点的电势和场强
e??
??
'0 '
'
4
1)(
S
e
r
dSpU ?
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'0
)(
4
1
S
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夹角),(:
,c o s'
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c o s11
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)( pU代入
???
S
e
r
dSlpU
2
0
c o s
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1)( ??
??
面元 dS在垂直
于矢径 r方向
的投影
?dr dS ?2co s ?
? 定义电偶极层强度,—— 单位面积上的
电偶极矩
lee ?? ?
??
00 44
)(
??
?
??
? e
S
e dpU ???? ?
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P点的电场强度
? 电偶极层的电势和场强只与对场点
所张的立体角有关
? 几何上决定，电偶极层两侧立体角
有的跃变
? 负电荷一侧：
曲面 S 对场
点 P 所张的
立体角
??????
04
)( ??? epUE
0,0c o s,2/,c o s 2 ?????? ?
S
dr dSd ??? ???? ?
?正电荷一侧,
0,0c o s,2/,c o s 2 ?????? ?
S
dr dSd ??? ???? ?
夹角),(,nr?
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电偶极层两侧
的电势跃变
? 具体考察图中两点
? 当该两点趋于偶极
层表面时，相对应
的立体角之差,－立体角
＋
立体角
?
?
?? ??
?? ??
?
?
P
P
?4???? ???? ????
? 电偶极层两侧的电
势跃变：
000
44)(4)()( ????????? eeepUpU ??????? ???? ??