????习题1??在中规定，证明关于，成环。 ????证明：1.证为加群 ????（1）封闭 ????（2）结合律成立 ???????????? ????（3）零元1， ????（4）负元  ????（5）交换律 ????2.证对乘法为半群 ????（1）封闭 ????（2）结合律 ???? ???? ????3.分配律成立 ???? ???? ????习题2??在中找出适合方程的一切元素。 ????解：[1]，[4]，[11]，[14] ????习题3??证明：由所有实数（，是整数）作成的集合对于普通加法和乘法来说是一个整环。 ????证明： 1.证为一个环 ????（1）加法  ????结合律成立。 ????零元为 ????的负元 ????（2）乘法  ????结合律成立。 ????（3）分配律成立 ????2. 有单位元 ????3. 乘法的交换律成立 ????4. 无零因子 ????习题4??证明：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环。 ????证明：只要证是一个群 ????（1）无零因子，说明对乘法封闭 ?????? ????（2）结合律成立 ????（3）无零因子从而消去律成立。满足消去律。 ????习题5??假定是模的一个剩余类。证明：若，则的数都同互素。 ????证明：，设，则 ????又  ???? ????习题6??假定是模7的剩余类环,在中计算 ????解：上式? ???????????? ????????????