????定义1??环的非空子集叫做一个理想子环,简称理想,假如 ????(i) ????(ii) ????定理1??一个除环只有两个理想,就是零理想和单位理想。 ????证明:假定是的一个理想而不是零理想。那么,由理想的定义,,因而的任意元。这就是说。 ????例1??看整数环。那么一个整数的所有倍数作成一个理想。 ????例2??看一个环上的一元多项式环。那么所有的多项式 ???????????????? 作成的一个理想。  ????定义2??上面的这样的叫做由元生成的主理想。这个理想我们用符号来表示。 ????当是交换环时, ??????????????{,(,是整数)} ????当有单位元的时候, ?????????????? ????当既是交换环又有单位元的时候, ?????????????? ????例3??假定是整数环上的一元多项式环。我们看的理想。因为是有单位元的交换环,由所有的元 作成;换句话说,刚好包含所有的多项式 ?????????????????? ??????????????????