????定义1??环的非空子集叫做一个理想子环，简称理想，假如 ????（i） ????（ii） ????定理1??一个除环只有两个理想，就是零理想和单位理想。 ????证明：假定是的一个理想而不是零理想。那么，由理想的定义，，因而的任意元。这就是说。 ????例1??看整数环。那么一个整数的所有倍数作成一个理想。 ????例2??看一个环上的一元多项式环。那么所有的多项式 ???????????????? 作成的一个理想。  ????定义2??上面的这样的叫做由元生成的主理想。这个理想我们用符号来表示。 ????当是交换环时， ??????????????{，（，是整数）} ????当有单位元的时候， ?????????????? ????当既是交换环又有单位元的时候， ?????????????? ????例3??假定是整数环上的一元多项式环。我们看的理想。因为是有单位元的交换环，由所有的元 作成；换句话说，刚好包含所有的多项式 ?????????????????? ??????????????????