????定理1??一个群G同它的每一个商群同态。 ????证明：：G——> ??????????????——> 则是G到的一个满射，且 ??????????????——> ????定义1??假定是群G到的一个同态满射，的单位元在之下的所有逆象所作成的G的子集叫做同态满射的核；记为。 ????定理2??假定G和是两个群，并且G与同态，那么这个同态满射的核N是G的一个不变子群，并且 ????????????????????  ????证明：：——>，——> ???????????? ——> ????????????  ????① N是G的一个子群。 ????——>，——> ????——> ???? ????②N是G的一个不变子群。 ????③同构。 ????：——> ????(i)， ????(ii)：——>给的 ????是到的满射； ????(iii)  ????(iv)在之下， ??????????——> ??????????。 ????定理3??假定G和是两个群，并且G与同态。那么在这个同态满射之下的 ????(i)G的一个子群H的象是的一个子群； ????(ii)G的一个不变子群N的象是的一个不变子群。 ????证明：(i)：——>，——> ????——> ???? ????(ii)——>，——> ????——> ???? ????定理4??假定G和是两个群，并且G与同态。那么在这个同态满射之下的 ????(i)的一个子群的逆象H是G的一个子群； ????(ii)的一个不变子群的逆象N是G的一个不变子群。 ????证明：(i)：——>，——> ????????????????——> ????； ????(ii)——>，——> ??????????——> ????。