????例1??G＝{所有不等于零的整数}对于普通乘法满足I、II、，但它不适合III；因为3x=2无解。 ????定理1??一个有乘法的有限集合G若是适合I、II和，那么它也适合III。 ????证明：先证在G中有解。 ????设G＝，用左乘所有的得 ????，， ????由于消去律成立，所以也有个元素，从而，于是对，有，即，这就是说是的解。 ????同样可证可解。 ????有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果I、II、被满足。 ?