????定理1??假定群G与非空集合对于它们的乘法来说同态，那么也是一个群。 ????证明：设同态满射为， ????I. 对于乘法是封闭的； ????，因为为满射，所以存在，使，，。 ????II. 结合律由第一章中定理即得； ????IV. 设G的单位元为，，下证为的左单位元； ????，存在，使， ????。 ????V. ，存在，使， ????，， 所以的左逆元就是。 ????例1??A＝{}。A的乘法由下表给出：  令G＝{全体整数}，则G对普通加法成群。可以证明G与A同态，从而A是一个群。 ????注意，假如G同的次序掉换一下，那么定理1不一定对，换一句话说，假如与G同态，那么不一定是一个群。 ????例2??={所有奇数}。对于普通乘法来说不作成一个群，G＝{e}。G对于乘法来说显然作成一个群。但，：——>显然是到G的一个同态满射。 ????由定理1的证明直接可以看出 ????定理2??假定G和是两个群。在G到的一个同态满射之下，G的单位元e的象是的单位元，G的元a的逆元的象是a的象的逆元。 ?