????群的第一定义??我们称一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，如果： ????I.G对于这个乘法来说是封闭的，即，， ????II.结合律成立：，， ????III.，方程和在G中都有解。 ????例1??G＝{}，乘法规定gg=g，则G是一个群。 ????I.gg=g， ????II.g(gg)=(gg)g=g， ????III.gx=g有解g，yg=g有解g。 ????例2??G＝{全体整数}；G中运算为普通加法，则G是一个群。 ????I. ，仍为整数，， ????II. ， ????III.a+x=b有整数解a-b，y+a=b有整数解a-b。 ????例3??G＝{所有非整数}，G对于普通乘法不作成一个群。 ????I.，， ????II.， ????III.3x=2在G中没有解。 ????Ⅳ.群具有以下性质： ????存在一个元，使得，都有：, 这样的元称为G的左单位元。 ????证明：取一个元，由III，在G中有解，设e是其解，； ????，bx=a有解c，即bc=a，于是 ????。 ????V.，存在，使，这样的b称为a的一个左逆元，记为。 ????证明：由III，ya=e有解，设为b即得证。 ????群的第二定义：我们称一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，如果I、II、IV、V成立。 ????(i) 一个左逆元一定也是右逆元，即 ???? ????对，由V有使 ???? ???? ???? ????。 ????(ii) 一个左单位元一定也是一个右单位元，即 ????因为，，设，由(i)，。 ????(iii) 有解。 ????取，则x为其解。同样，是的解。 ????定义1??如果一个群的元的个数是一个有限整数，则称其为有限群；否则称为无限群。有限群的元的个数叫做这个群的阶。 ????定义2??如果，有，则称G为交换群。