????：——> ????例1??A＝{1，2}， ????：1——>1，2——>1， ????：1——>2，2——>2， ????：1——>1，2——>2， ????：1——>2，2——>1； 是A的所有的变换。其中、是一一变换。 ???? ????：——>，：——>，那么，——>，：——>。 ????例2??：1——>2，2——>2，所以，； ??????????：1——>1，2——>1，所以，。 ????例3??看例1的，从左边来乘，有 ????：1——>，2——> ????。 ????定理1??假设G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换。若对于上述乘法来说G作成一个群,那么G只包含A的一一变换。 ????证明：，因为G是群，所以有，使， ????下面证明是A的一一变换， ????(1) 是A到A的一个满射，， ????：——>； ????(2) 是单射，， ????反证，若，则。 ????定义1??一个集合A的若干个一一变换对于以上规定的乘法作成的一个群叫做A的一个变换群。 ????定理2??一个集合A的所有的一一变换作成一个变换群G。 ????证明：I. 假如，是一一变换，那么也是。 ????：——> ????：——> ????：——> 所以是A到A的满射。 ????， 所以是一一变换。 ????II. 结合律对于一般的变换都对，所以对于一一变换也对。 ????IV. 单位元就是恒等变换。 ????V. 设是一个任意的一一变换，有一个一一变换， ????：——>，假如 ????：——> ????。 ????例4??假如A是一个平面的所有的点作成的集合，那么平面的一个绕一个定点的旋转可以看作A的一个一一变换。我们令G是包含所有绕一个定点的旋转，那么G作成一个变换群。 ????I. ，G是闭的； ????II. 结合律当然成立； ????IV. ； ????V. 。 ????定理3??任何一个群都同一个变换群同构。 ????证明：G＝{}，， ????：——>是集合G的一个变换； ????， ????：——>是G到的满射。 ????消去律：， 所以是G到间的一一映射。 ????，即， 所以是G与间的同构映射，所以是一个群。