????定理1??群G中存在一个且只存在一个元，使，对G中所有元成立。 ????证明：设除了以外，还有具有此性质，即，则，。 ????定义1　一个群G的唯一的能使（a是G的任意元）的元e叫做群G的单位元。 ????定理2??对于群G的每一个元来说，在G里存在一个且只存在一个元，使。 ????证明：设除了以外，具有此性质，即， 那么，，所以只有一个这样的。 ????定义2??唯一能使的元叫做元a的逆元（有时简称逆）。 ????例1??G={全体不等于零的有理数}对普通乘法来说作成一个群。G的单位元为1，的逆元为。 ????例2??G＝{全体整数}对普通加法来说作成一个群，G的单位元为0，的逆元为。 ????规定：，。 ????定义3??设，使得的最小正整数叫做元的阶；若这样的不存在，则称是无限阶的。 ????例3??G刚好包含的三个根：1，，，对于普通乘法来说G作成一个群。 ????Ⅰ.封闭， ????Ⅱ.结合律成立， ????Ⅳ.1是单位元， ????Ⅴ.逆元。1的逆元是1，的逆元是，的逆元是，1的阶是1，的阶是3，的阶是3。 ????定理3??群的乘法满足： ????. 消去律：， ??????????????????。 ????证明： 同样，由可得。 ????推论??在一个群里，方程各有唯一的解。 ?