????例1??G是所有整数的集合。 ???????????? ????定义1??若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元的乘方，我们就把G叫做循环群。G ????例2??G包含模的个剩余类。              所以对于这个加法来说，G作成一个群，这个群叫做模的剩余类加群。  ????定理1??假定G是一个由元所生成的循环群。那么G的构造完全可以由的阶来决定： ????的阶若是无限，那么G与整数加群同构； ????的阶若是一个有限整数，那么G与模的剩余类同构。 ????证明：第一个情形：的阶无限。这时， ????，当而且只当的时候。 ????：——> 是G与整数加群间的一一映射。但——>，所以 ????第二种情形：的阶是，。这时， ????，当而且只当的时候。 ????假如，那么，， ???? ????假如，设，，那么 ???? ????由阶的定义，，也就是说，。这样，——>是G与剩余类加群间的一一映射。但 ??????????????——> 所以。