????定义1??一个环R叫做一个交换环，假如。 ????定义2??一个环R的一个元叫做一个单位元，假如对于R的任意元来说，都有。 ????例1??R＝{所有偶数}。R对于普通加法和乘法来说作成一个环。但R没有单位元。 ????定义3??一个有单位元环的一个元叫做元的一个逆元，假如。 ????例2??R＝{所有模的剩余类}。 ???????????? ???????????? ????定义4??若是在一个环里 ??????????但 我们就说，是这个环的一个左零因子，是一个右零因子。 ????定理??在一个没有零因子的环里两个消去律都成立： ???? 反过来，在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。 ????证明：假定环没有零因子。因为 ???? ???? 这样，在里两个消去律都成立。 反过来，假定在一个环里第一个消去律成立。 ???? ???? 这就是说，没有零因子。 ????定义5??一个环叫做一个整环，假如 ????1. ????2. ????3.