????定义1??一个环的不等于的理想叫做一个最大理想，假如，除了同自己外，没有包含的理想。 ????例1??我们看整环。由一个素数所生成的主理想是一个最大理想。 ????假设是一个不等于(p)的R的理想，并且，那么一定包含一个不能被p整除的整数q。由于p是素数，q与p互素，所以可以找到整数s和t,使得，但p也属于，而且是理想，所以 ????引理1??假定是环的一个理想，剩余类环除了零理想同单位理想以外不再有理想，当而且只当是最大理想的时候。 ????证明：用来表示R到的同态满射。 ????先证充分性。假定是最大理想，是的理想，并且。那么在之下的的逆象是R的理想，显然包含而且不等于，所以，这样只有零理想同单位理想。 ????现证明定理的条件也是必要的。假定不是最大理想：。在之下的的象是的理想。由于大于，。也不会等于。不然的话，对于R的任意元r,可以找到的元b，使得 ?????????????????????? 于是，由于是理想，可以得到，＝R，与假定不合。这样，除了零理想同单位理想以外还有理想。 ????引理2??若有单位元的交换环除了零理想同单位理想以外没有其它的理想，那么一定是一个域。 ????证明： ??????????????????????  ????定理??假定是一个有单位元的交换环，是的一个理想。是一个域，当而且只当是一个最大理想的时候。 ????例2??是整数环，是素数所生成的主理想。是一个域。