????定义??一个环的一个子集叫做的一个子环，假如本身对于的代数运算来说作成一个环。 ????一个子集作成一个子环的条件显然是： ????例1??一个环的可以同每一个元交换的元作成一个子环。这个子环叫做的中心。 ????定理1??若是存在一个到的满射，使得与对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么也是一个环。 ????定理2??假定和是两个环，并且与同态。那么的零元的象是的零元，的元的负元的象是的象的负元。并且，假如是交换环，那么也是交换环；假如有单位元1，那么也有单位元，而且是1的象。 ????一个环没有零因子这一个性质经过了一个同态满射是不一定可以保持的。 ????例2??设是整数环，是模的剩余类环，那么 ???????? 显然是R到的一个同态满射。R是没有零因子的，但当n不是素数时，有零因子。 ????例3??=（所有整数对）。对于代数运算 ?????? ?????? 来说，R显然作成一个环。现在用表示整数环，那么 ???????? 显然是一个R到的同态满射。R的零元（0,0），而 ????????????????（a,0）(0,b)=(0,0) 所以R有零因子。但没有零因子。 ????定理3??假定同是两个环，并且。那么，若是整环，也是整环；是除环，也是除环；是域，也是域。 ????引理??假定在集合与之间存在一个一一映射，并且有加法和乘法。那么我们可以替规定加法和乘法，使得与对于一对加法以及一对乘法来说都同构。 ????定理4??假定是环的一个子环，在里的补足集合（这就是所有不属于的的元作成的集合）与另一个环没有共同元，并且。那么存在一个与同构的环，而且是的子环。