????定义1??一个交换群叫做一个加群，假如我们把这个群的代数运算叫做加法。 ????加群的一个非空子集S作成一个子群的充分必要条件是： ???????????? ???????????? ????定义2??一个集合R叫做一个环，假如 ????1. R是一个加群； ????2. R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的； ????3. ； ????4.，。 ????例1??R＝{0，，，}。加法和乘法由以下两个表给定： ???????? ????证明，R作成一个环。 ????证明： 1.R是一个加群； ????①. 封闭，② 结合律，③ 零元，④ 负元，⑤ 交换律 ????2.R是一个乘法半群； ????①封闭，结合律 ????3．分配律。