????习题1??设,证明G关于矩阵乘法成群。????证明:I. ;????II. 结合律成立;????IV. 单位元,I;????V. 逆元,。
????习题2??设G={所有整数的集合}。对G规定????????????证明G关于运算成群。????证明: I. 对封闭,;????II. 适合结合律,,??????????????????????;????IV. ;????V. 。
????习题3??若群G的每一个元都满足,那么G是交换群。????证明:,,,????,。
????习题4??假设G是一个阶是偶数的有限群,在G里阶等于2的元的个数一定是奇数。????证明:设且的阶数为奇数,????(1) ,这样的元只有一个;????(2) ,为奇数,则,这时的阶也为奇数,这样的元有偶数个,从而G中阶等于2的元的个数为奇数个。
????习题5??设G是群。是G的一个变换,??????????????是G中固定元素,证明是G到G的同构映射。????证明:(1) 是单射;????,????(2) 是满射;????,若,则????,????(3) 是同态;????。
????习题6??把的所有的元写成不相连的循环置换的乘积。????解:,,,????????,,。