????定义1??一个群G的一个子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的乘法来说作成一个群。 ????例1??给了一个任意群G，G至少有两个子群： ????1. G； ????2. 只包含单位元的子集。 ????例2??，。那么H是的一个子群。 ????I.H对于G的乘法来说是闭的， ????????(1)(1)=(1)，(1)(12)=(12)，(12)(1)=(12)，(12)(12)=(1)； ????II.结合律对于所有G的元都对，对于H的元也对； ????IV.； ????V.(1)(1)=(1)，(12)(12)=(1)。 ????定理1??一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是： ????(i)  ????(ii)  ????证明：若是(i)，(ii)成立，H作成一个群。 ????由于(i)，H是闭的； ????结合律在G中成立，在H中自然成立； ????因为H至少有一个元，由(ii)，H也有元，所以由(i)，； ????由(ii)，对于H的任意元来说，H有元，使得。 ????推论??假定H是群G的一个子群。那么H的单位元就是G的单位元，H的任意元a在H里的逆元就是a在G里的逆元。 ????定理2??一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是： ????(iii)  ????定理3??一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：