????定义1?? 一个AA到D的映射R叫做A的元间的一个关系，若R=对,我们称与符合关系R，记作，若R=错，我们称与不符合关系R。 ????由这个定义，给了A的元间的一个关系，我们可以决定，任意一对A的元a，b是否符合这个关系。 ????例1??A={所有实数}， ????????R：——>对，若是正的； ???????????——>错，若不是正的， 是A的一个关系，这就是通常的小于关系。 ????定义2??集合A的元间的一个关系~叫做一个等价关系，假如~满足以下规律： ????I．??反射律：，， ????II．?对称律：， ????III．推移律：，。 ????例2??对任何集合A，“等于”这个关系是一个等价关系。 ????例3??A={所有三角形}，“相似”这个关系也是一个等价关系。 ????定义3??若把一个集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于且仅属于一个类，那么，这些类的全体叫做集合A的一个分类。 ????定理1??集合A的一个分类决定A的元素间的一个等价关系。 ????证明：我们利用给定的分类来作一个等价关系。我们规定：属于同一类，我们证明它是一个等价关系。 ????I．与同在一类，所以。 ????II．若是与同在一类，与也同在一类，所以。 ????III．若是与同在一类，与同在一类，那么与也同在一类，所以，，。 ????定理2??集合A的元素间的一个等价关系~决定A的一个分类。 ????证明：令表示所有与等价的元素的全体， ????(i)  ????若，，即， ????又，同理可证，故； ????(ii) A中每个元只能属于一个类 ????若，，则，； ????(iii) A的每一个元的确属于某一类，。 ????定义4??假设有集合A的一个分类，那么，一个类里的任何一个元叫做这个类的一个代表，刚好由每个类的一个代表作成的一个集合叫做一个全体代表团。 ????例4??A={所有整数}，取一个正整数，规定： ????， 它是一个等价关系，称为模的同余关系，记为，读作与关于模同余。 ????， ????， ???? ????； ????0，1，2，为一个全体代表团。 ?