????定义1??A到的一个映射，叫做一个对于代数运算和来说的A到的同态映射，如果在之下： ????????????：——〉，——〉， 就有——〉，或。 ????看以下集合和代数运算： ????A={所有整数}，A的代数运算是普通加法， ????={1，－1}，的代数运算是普通乘法。 ????例1??：——〉1　（是A的任一元） 是一个A到的同态映射。 ????是一个A到的映射，显然。对于A的任意两个整数和来说，我们有 ——〉1，——〉1，——〉1=11=。 ????例2??：——〉1，　　若是偶数 ??????????????——〉－1，　若是奇数 则显然是满射，又，A， ????若，都是偶数，则——〉1，——〉1，——〉1=11， ????若，都是奇数，则——〉－1，——〉－1，——〉1=(－1)(－1)， ????若是奇数，是偶数，则——〉－1，——〉1，——〉－1=(－1)1， ????若是偶数，是奇数，则——〉1，——〉－1，——〉－1=1 (－1)， 所以是一个A到的同态映射。 ????例3??：——〉－1，A，则不是A到的同态映射。 ????因为——〉－1，——〉－1，——〉－1(―1) (―1)。 ????定义2??假如对于代数运算和来说，有一个A到的满射的同态映射存在，则称这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算和来说，A与同态。 ????定理1??假设代数运算和来说，A与同态，则(i) 若适合结合律，则也适合结合律；(ii) 若适合交换律，则也适合交换律。 ????证明：设A到的同态满射为，，，，因为是满射，所以存在，，A，使 ????????????：——〉，——〉，——〉 ????(i) ——〉=， ????????——〉=， ????而=，所以=。 ????(ii) ——〉，——〉， ????而=，所以=。 ????定理2??假定，，都是集合A的代数运算，，都是集合的代数运算，并且存在一个A到的满射，使得A与对于代数运算，来说同态，对于代数运算，来说也同态，那么，(i) 若，适合第一分配律，，也适合第一分配律；(ii) 若，适合第二分配律，，也适合第二分配律。 ????证明：只证明(i)，(ii)可以完全类似证明。 ????看的任意三个元，并且假定 ????????：——〉，——〉，——〉 那么???? ?????? 但??????＝ 所以????＝ ?