????定义1??假如对任意a，b，cA，都有：，则称集合A的代数运算满足结合律。 ????在A里任意取出个元来，假如我们写下符号，这个符号当然也没有意义。但是假如我们用一个加括号的步骤，当然也会得到一个结果。加括号的步骤自然不止不种，但因为是一个有限整数，这种步骤的个数总是一个有限整数。假定它是N，我们把由这N个步骤所得的结果用 ???????????? 来表示。我们规定： ????定义2??假如对于A的个固定元来说，所有的都相等，我们就把由这些步骤可以得到的唯一的结果，用来表示。 ????定理??假定一个集合A的代数运算适合结合律，那么对于A的任意个元来说，所有的都相等；因此符号也就总有意义。 ????证明??用数学归纳法。 ????显然，若是只看两个元或三个元，定理是对的。 ????假定，若是元的个数，定理是对的。我们说，在这个假定之下，对于一个任意的来说，（1）这一步能够证明，我们的定理也就证明了。这一个是经过一种加括号的步骤所得来的结果，这个步骤的最后一步总是对两个元进行运算： ???????? 由归纳法的假定， ????????， ???????? ????假如，那么上式就是（1）式。假定，那么 ???????? 即（1）式仍然成立。证毕。