????，当而且只当的时候 ????I.， ?????????? ????II.， ?????????? ????III.，， ?????????? ????定义1??由上面的等价关系所决定的类叫做子群H的右陪集。包含元的右陪集用符号H来表示。 ????例1??G=={(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，H＝{(1)，(12)}，那么 ????H(1)={(1)，(12)}， H(13)={(13)，(123)}， H(23)={(23)，(132)}， ????定义2??由等价关系所决定的类叫做子群H的左陪集。包括元的左陪集我们用符号H来表示。 ????例2 例1里的H的左陪集是 ????(1)H={(1)，(12)}，(13)H={(13)，(132)}，(23)H={(23)，(123)}。 ????定理1??一个子群H的右陪集的个数和左陪集的个数相等：它们或者都是无限大，或者都有限并且相等。 ????证明：：H——>H ????(i)H=H； ????(ii)的任意元H是的元H的象，所以是一个满射； ????(iii)。 ????定义3??一个群G的一个子群H的右陪集(或左陪集)的个数叫做H在G里的指数。 ????引理??一个子群H与H的每一个右陪集H之间都存在一个一一映射。 ????定理2??假定H是一个有限群G的一个子群。那么H的阶和它在G里的指数都能整除G的阶N，并且N= ????证明：G的N个元被分成个右陪集，而且由引理，每一个右陪集都有个元，所以N= ????定理3??一个有限群G的任一个元的阶都整除G的阶。 ????证明：生成一个阶是的子群，由以上定理，整除G的阶。 ?