????习题1??设，的阶为，证明的阶是，其中。 ????证明：首先，； ????其次，若，即， 因为的阶为，所以 ????，而 ????， 故的阶是。 ????习题2??设是循环群，G与同态，证明是循环群。 ????证明：设G＝()，，下证。 ????，存在，使， ????又， ????所以。 ????习题3??证明循环群的子群也是循环群。 ????证明：设，H是G的子群，又设是属于H且指数最小的正整数，下证。 ????，设， 则　，若 ????，这与的取法矛盾， 故　。 ????习题4??找出模12的剩余类加群的所有子群。 ????解：设H是的子群，则H的个数只能为1、2、3、4、6、12； ????O(H)=1，{e}； ????O(H)=2，{[0]、[6]}； ????O(H)=3，{[0]、[4]、[8]}； ????O(H)=4，{[0]、[3]、[6]、[9]}； ????O(H)=6，{[0]、[2]、[4]、[6]、[8]、[10]}； ????O(H)=12，。 ????习题5??假设H是群G的一个非空子集，并且H的每一个元的阶都有限，证明H作成子群的充要条件是： ???????????? ????证明：显然； ????，设，则。 ????习题6??假定和是一个群G的两个元，并且，又假定的阶是，的阶是，，证明：的阶是。 ????证明：一方面，； ????另一方面，若，则 ????； ????同理，； ????，，故，的阶是。 ????习题7??若我们把同构的群看作一样的，一共只存在两个阶是4的群，它们都是交换群。 ????证明：设， ????若G中有阶为4的元，则，，为循环群； ????若G中无阶为4的群，则，，，，此时群一定为交换群，且，。 ????习题8??假定H是G的子群，N是G的不变子群，证明HN是G的子群。 ????证明：，， ????， ????。 ????习题9??假定G是一个循环群，N是G的一个子群，证明：也是循环群。 ????证明：设，N是G的子群，从而为G的不变子群。下证 ????，，若，则。