????例1??我们看一个模(是素数)的剩余类环。我们说，是一个域。 　　 　　　  　　 　 　　 　　　　 　　　　 　　例2 假定是两个循环群，的阶无限，的阶是。同都是交换群，它们的代数运算可以用＋来表示。 ????={所有（是整数）}， 　　　　　　　　　 ，当而且只当的时候 ????={所有（是整数）}, 　　　　　　　　　　，当而且只当的时候 ????={所有符号 　　　　　　　　　  　　　　　　　　　  那么显然作成一个环。 　　这个环的元（b,0）对于加法来说的阶是无限大，但元（0，c）的阶是n。 ????定理1??在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。 ????证明：如果的每一个不等于零的元的阶都是无限大，那么定理是对的。假定的某一个元的阶是有限整数，而是的另一个不等于零的元。 　　 可得　　  所以　　 的阶的阶段 同样可得，的阶的阶 所以　　的阶的阶 　　定义　一个无零因子环的非零元的相同的（对加法来说的）阶叫做环的特征。 ????定理2??如果无零因子环的特征是有限整数，那么是一个素数。 ????证明：假设n不是素数， 　　，但 这与环R无零因子矛盾。