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第八课
期权定价模型
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期权定价中的难点
? 债券和股票的估价：贴现现金流
? 期权的估价
- DCF 不适用
- 给定到期日标的资产价格的分布，可以很
容易地计算期权在到期日的收益
- 难于估计折现率
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二项式期权定价模型
? 要对期权进行定价，我们需要知道标的资产价格如何
变动
? 简单但非常有力的一个模型是二项式模型
- 在每个（很短）的时间间隔期末，股票价格只能
有两个可能的取值
- 当时间间隔足够短，这是很好的近似
- 有利于解释期权定价模型背后所包含的原理
- 可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价
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单期二项式模型
? 收益率被定义为价格的相对数
? 期望收益率 = 1.1
? 期望方差 = 0.09
$140
$80
$100
今日
1 年 概 率
21
21
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通过复制来给期权定价
? 为了给衍生证券定价，可以构造一个股票和
无风险投资的组合来复制该衍生证券在到期
日的收益
? 这个组合称为合成的衍生证券
? 要使无套利成立，这个组合的价值必须等于
交易的衍生证券的价格
? 组合的合成等同于对冲
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无套利原则与
对衍生证券的定价
今日 到期日
交易的
衍生证券
合成的
衍生证券
收益相同
交易的衍生证券的价值 = 合成的衍生证券 （ 组合 ） 的价值
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单期：给欧式看涨期权定价
欧式看涨期权,
0, 8d,2.1,40,40,1 0 ????? uXST
$40
今日 1 年 概率
8
480
?
?
uc
uS
0
320
?
?
dc
dS
p-1
p
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? 组合 (合成看涨期权 ) = 股票 + 无风险资产
? 组合复制了该期权在 到期日 的收益
? 1.10 = 今天的 $1投资在 1年后的财富
? 解方程组得到
? 的负号意味者 借入
000 BSV ???
810.148 0 ????? B
010.132 0 ????? B
55.14,5.0 0 -??? B
0B
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?
? 无套利要求
? 含义,
p 的值从未使用过 ? 期望收益率无关紧要 !
45.555.14405.00 ?-??V
45.50 ?? Vc
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单期二项式期权定价的一般化
今日 1 年 概率
uc
uS0
dc
dS0
p-1
p
0
?c
S
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? 该组合复制了该看涨期权在到期日的收益
? 解方程组得到,
,和
? 无套利要求,
urT ceBuS ??? 00
drT ceBdS ??? 00
dSuS
cc du
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rT
-
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0 其中
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风险中性定价
? 很自然 ?可以被解释为是股票价格上涨的概率
(风险中性概率 或 等价鞅测度 )
? 可以被解释为是该看涨期权在
到期日的收益
? 该期权的价值是它在到期日的期望收益按无
风险利率折成的现值
? 在 ?下,
? ? du cc ?? -? 1
? ? rTT eSSE 0?
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Delta对冲组合
? ?
? 的符号为正，意味着投资
? 由 股股票和一个看涨期权空头构成
的组合等价于无风险投资
? 该组合经常被称为无风险对冲组合,? (delta) 被称为
套头比（ hedge ratio）
00 BSc ??? 00 BcS -?-?
0B-
dSuS
cc du
00 -
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Black-Scholes期权定价模型
? 期权价格和股票价格依赖于同一种不确定性
来源
? 无风险的对冲组合可以用股票和期权来构造
? 无风险组合必然获得无风险利率
? 这导致了 Black-Scholes偏微分方程 (PDE)
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Black-Scholes模型的假设
? 完美的资本市场，没有套利机会
? 价格的瞬间变动服从波动率为常数的几何布
朗运动
? 短期利率已知，并且不随时间发生变化
? 在期权的有效期内，标的股票不发放股利
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股票价格的动态过程
? 连续时间模型
假设股票价格服从几何布朗运动（ GBM）
其中,
, 期望收益率
?,波动率 (假设为常数 )
, 标准 Wiener过程
S d WS d tdS ?? ??
dW
?
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? 离散时间近似
? Z为 Wiener过程，则
－
其中 ?是 n(0,1)分布的一个随机实现
－ 任意互不重叠的两期的 的取值相互独
立
ttS S ????? ???
tz ??? ?
z?
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Wiener过程的特征
? 的均值为 0
? 的方差为 T-t
? 的标准差为
?
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? ?tT zz - tT -
? ?tT zz -
? ?tT zz -
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股票收益率的特征
? 从时间 t到 T 收益率的均值为
? 从时间 t到 T 收益率的方差为
? 从时间 t到 T 收益率的标准差为
? 收益率的分布：,其中
? ?tT -?
? ?tT -2?
? ?tT -?
? ?????,n tT -??
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股票收益率的分布
? 股票价格服从对数正态分布，即,
?
?
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2ln~ln
2
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0
0,2
0 20
对数正态分布
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Black-Scholes 偏微分方程
的导出
?
?
? 构造一个组合 ?,该组合的构成如下,
－ 1单位衍生证券的空头
－ 股股票多头
zStSS ????? ??
zSSftS fStfSSff ??????
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2
2
22
2
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S
f
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? 组合 ?的价值为,
? 在跨度为 的短期内，它的价值的变动为,
SSff ???-??
t?
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S
f
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2
2
22
2
1 ?
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? 因为该组合的收益率没有不确定性，所有它
必须等于无风险利率。因此
? 从上述两个方程，就可以得到 Black-Scholes
偏微分方程,
trSSfftr ??
?
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?
?
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rfS fSSfrStf ????????? 2
2
22
2
1 ?
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? 该偏微分方程不包括 ?！ ? 投资者的偏好不起
作用！
? 任何其价格依赖于标的股票价格的衍生证券
都满足上述偏微分方程
? 不同的衍生证券，其价值取决于上述微分方
程的边界条件
? 对于欧式看涨期权，边界条件为
? 对欧式期权解上述偏微分方程，就得到 Black-
Scholes期权定价模型
? ?XSc TT -?,0m a x
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Black-Scholes 公式
式中,
是标准正态分布的累积概率分布函数
? ? ? ?21 dNXedSNc r ?--?
? ? ? ?12 dSNdNXep r ---? - ?
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1
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? rXSd
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Black-Scholes 模型
在风险中性定价下的导出
? 利用 风险中性 概率算出期权在到期日的期望
收益
? 用 无风险利率 对期望收益进行折现
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? 欧式看涨期权的价值由下式给出,
? 由下式给出
? 进行一些简单的代数运算就可以得到 Black-Scholes公
式
? ?
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0,m ax
0
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X TTT
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dSSgXSe
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2
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期权价格的决定因素
正的变化
看涨期权
看跌期权
股票价格,S
?
?
执行价格,X
?
?
波动率,?
?
?
距离到期日的时间,? ?
?
无风险利率,r
?
?
现金股利,d
?
?
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Black-Scholes公式的应用
,,年,
（按连续复利计息）
以及
50?S 45?X ? ? 0, 2 5i, e, ?- tT? pa%20??
%6?r
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2536.1
25.02.0
25.006.045/50ln
/ln
2
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2
1
2
2
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1 5 3 6.112 ?-? ??dd
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那么
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93.5
8757.0458950.050 25.006.0
21
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26.0
504593.5 25.006.0
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-??
?-
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Delta对冲
? Delta (?),期权价格对标的资产价格的变化比
率
? 对于欧式看涨期权
,
? 对于欧式看跌期权
,
? ?1dNSc ????? ? ?0 ??? c
? ? 11 -????? dNSp ? ?01 ???- p
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估计历史波动率
? 在间隔为 年的期间观测到
? 计算连续复利
? 估计波动率 (标准差 )
? 每年的波动率,
? nSSSS,,,,210 ?
?
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t
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Sr
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2
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隐含波动率
? 期权的隐含波动率是指让根据公式计算得到的期权价
格与市场价格相等的波动率，即
? 期权价格与隐含波动率之间存在着一一对应
? 在柜台市场（ OTC）,交易者和经纪商经常不是报货
币价格而是报隐含的收益率
? 隐含波动率给出了市场总体对未来标的股票在期权有
效期内的平价波动率的一致估计（预期）
? 隐含波动率是前瞻性的
? ?M1im p,,,,crXSf ?? -?
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公司负债与股东权益
? 股东权益相当于拥有一个以 D为执行价格的对
于公司价值 V的看涨期权
E
V D
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公司负债与股东权益
? 公司债权人相当于拥有一个面值为 D的无风险
债券和同时出售一个执行价格为 D的看跌期权
VD
V D
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实物期权
? 投资, 有权选择投资时机,获得投资回报，但是没
有必须投资的义务。初始投资额就是执行价格，投资
在未来产生的现金流就是资产价格
? 与传统 NPV分析的关键区别,
- 不确定性（风险）是有价值的！
- 管理弹性（ Managerial flexibility ）
? 战略工具，但是大多数情况下难以准确估价
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实物期权的主要类型
? 等待以在将来投资（看涨期权）
? 放弃（看跌期权）
? 弹性（看涨期权）
? 后续投资（看涨期权）
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等待期权 (1)
? 传统的 NPV,要么现在投资，要么永不投资
? 但第三种选择是等待以在将来投资
? 期权价值
? 内在价值 (IV) + 时间价值 (TV)
? TV = 能够等待的价值
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等待期权 (2)
? 决策法则
传统的 NPV
接受项目，如果 NPV > 0, 即 IV > 0
实物期权
接受项目，如果 NPV > 期权价值
? 风险更大的项目 ? 期权价值更高
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等待期权 (3)：例子
? 石油公司获得某区块的 5年期开采权
NPV < 0 ? 拒绝
但是如果石油价格上涨，或者随着技术的
进步能够提高石油产量，则应该推迟到将
来再投资
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撤资期权
? 撤资：关闭企业的权利，即以出售价格为
执行价格的看跌期权
? 公司愿意承受暂时的损失来谋求在未来可
以抓住盈利的机会
? 决策法则,NPV(撤资 ) > 期权价值
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弹性期权
? 汽车制造商在数个国家都有生产设备
? 双燃料锅炉，可以选择烧油还是烧煤
? 比较一家大型电厂与两家或更多的小型电
厂
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后续期权
? 初始投资产生了后续项目的投资机会
? 例子,R&D,在新兴市场特别是发展中国家
的投资
? 决策法则,
NPV + 后续期权的价值 > 0
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实物期权与金融期权
之间的对应
实物期权
金融期权
期望现金流的现值
股票价格
获得项目资产所需的投资
执行价格
决策可以延迟的时间长度
距到期日的时间长度
货币的时间价值
无风险利率
现金流的不确定性
收益率的波动率
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关于实物期权的进一步阅读材料
? Martha Amram and Nalin Kulatilaka,
Real Options,Managing Strategic Investments in an
Uncertain World,Harvard Business School Press,
1999
? Lenos Trigeorgis,
Real Options,Managerial Flexibility and Strategy in
Resource Allocation,MIT Press,1996
? Avimash Dixit and Robert Pindyck,
Investment under Uncertainty,Princeton University
Press,1994