北京邮电大学电信工程学院
1
1.3 信号的运算连续时间信号的运算
1.3 信号的运算没有可实现此功能的实际器件。数字信号处理中可以实现此概念，例如堆栈中的,后进先出,。
北京邮电大学电信工程学院
3
1.3 信号的运算
(4) 移位：
)()( τ?→ tftf
τ>0，右移 (滞后 )
τ<0，左移 (超前 )
O
t
1? 1
1
)1( +tf
O
t
)(tf
1? 1
1
f(t+1)的波形？
( ) ( ) 为常 数即得时移信号轴平移沿将信号 τττ,?tfttf
=+
=
=+
=+
=
=
1)1(
1
1)1(
01
1)(
0
tf
t
tf
t
tf
t
北京邮电大学电信工程学院
4
1.3 信号的运算
(5) 尺度变换,将信号的自变量乘以正实系数 a,
则信号波形 将是波形的压缩或扩展。
)(atf
)(tf
)(tf
北京邮电大学电信工程学院
5
一般情况
( ) ( ) ( )[ ] ( )0a >±=±→ 设abtafbatftf
先展缩：
a>1，压缩 a倍； a<1，扩展 1/a倍后平移：
+,左移 b/a单位；－，右移 b/a单位一切变换都是对 t 而言最好用先翻缩后平移的顺序加上倒置：
( ) ( )[]abtafbatf m?=±?
例题,
0
t
)(tf
1?
1
1
解:
t
)5( +tf
6?
1
4?5?
t
)3( tf
1
31? 31
0
t
)53( +tf
1
2? 34?
验证,计算特殊点已知 f(t)，求 f(3t+5)。
t 3t+5 函数值
t=-1 3t+5=-1,t=-2 1
t=0 3t+5=0,t=-5/3 1
t=1 3t+5=1,t=-4/3 0
时移标度变换标度变换时移北京邮电大学电信工程学院
7
1.3 信号的运算
(6) 微分,将信号对t取导数。
)(tf
)()(
'
tf
dt
d
tf =
微分运算突出显示了信号的变化部分。
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8
1.3 信号的运算
(6) 微分：
北京邮电大学电信工程学院
9
1.3 信号的运算经积分运算后，信号的突变部分可变得平滑，削弱信号中混入的毛刺的影响 。
(7) 积分,将信号 在区间内求积分。
)(τf
ττ df
t
∫
∞?
)(
),( t?∞
北京邮电大学电信工程学院
10
1.3 信号的运算
(7) 积分：
北京邮电大学电信工程学院
11
1.4 奇异信号奇异信号：在信号与系统分析中，经常遇到函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇异函数或奇异信号。
主要内容
单位斜变信号
单位阶跃信号
单位冲激信号
冲激偶信号北京邮电大学电信工程学院
12
1.4 奇异信号
(1) 单位斜变信号：也称斜坡信号或斜升信号。
≥
<
=
)0(
)0(0
)(
tt
t
tR
≥?
<
=?
)(
)(0
)(
00
0
0
tttt
tt
ttR
1
1
t
R(t)
0
1
0
0
t 1
0
+t
)(
0
ttR?
t
有延迟的单位斜变信号：
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13
1.4 奇异信号
≥
<
=
)(
)()(
)(
1
τ
τ
τ
tK
ttR
K
tR
K
t
0
)(
1
tR
τ
“截平,的斜变信号
>
≤
=
)(0
)()(
)(
2
τ
τ
τ
t
ttR
K
tR
K
0 τ
t
)(
2
tR
三角形脉冲北京邮电大学电信工程学院
14
1.4 奇异信号
(2) 单位阶跃信号：通常以符号u(t)表示。
=
>
<
=
)0(
)0(1
)0(0
)(
2
1
t
t
t
tu
+
-
1V
t0
1
u(t)
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15
1.4 奇异信号延时的单位阶跃函数
=
>
<
=?
)(
)(1
)(0
)(
02
1
0
0
0
tt
tt
tt
ttu
t
0
1
)(
0
ttu?
0
t
北京邮电大学电信工程学院
16
1.4 奇异信号矩形脉冲函数：
)()()(
0
ttututG=
t
0
1
)(tG
0
t
门函数,)()()(
22
ττ
τ
+= tututG
t
0
1
)(tG
T
2
τ
2
τ
其它函数只要用门函数处理(乘以门函数)，就只剩下门内的部分。
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17
1.4 奇异信号正负号函数：也称符号函数。
)()(
1)(2)sgn(
)0(1
)0(1
)sgn(
tutu
tut
t
t
t
+=
=
<?
>
=
t
0
1
)(tSgn
1?
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18
1.4 奇异信号
（ 3） 单位冲激信号,持续时间无穷小，瞬间幅度无穷大，
涵盖面积恒为 1的一种理想信号，记为 。 )(tδ
)(tδ
t
0
? 函数值只在 t=0时不为零；
? 积分面积为1；
? t=0时，,为无界函数。
狄拉克定义
∞→)(tδ
∫∫
+∞
∞?
+
=
0
0
d)(d)( tttt δδ
≠=
=
∫
+∞
∞?
0,0)(
1d)(
tt
tt
δ
δ
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19
（ 3）单位冲激信号
[ ])()(lim)(
22
1
0
ττ
τ
τ
δ+=
→
tutut
定义：矩形面积不变，宽趋于 0时的极限,
)(tδ
)1(
北京邮电大学电信工程学院
20
其他函数演变的冲激脉冲
{ ][ })()()1(lim)(
1
ττδ
ττ
τ
+?=
∞→
tutut
t
三角脉冲的极限
[ ]
τ
τ
τ
δ
t
et
∞→
=
2
1
lim)(
双边指数脉冲的极限北京邮电大学电信工程学院
21
其他函数演变的冲激脉冲抽样脉冲的极限
[ ])(lim)( ktSat
k
π
τ
δ
∞→
=
[ ]
2
)(
1
lim)(
τ
π
τ
τ
δ
t
et
∞→
=
钟形脉冲的极限北京邮电大学电信工程学院
22
单位冲激平移
≠=?
==?
∫
+∞
∞?
00
00
0)(
1)(
tttt
ttdttt
δ
δ
t
0
t0
（ 3）单位冲激信号北京邮电大学电信工程学院
23
（ 3）单位冲激信号冲激函数性质
∫
∞?
=
t
tud )()( ττδ
积分
)()( ttu
dt
d
δ=
微分
时间尺度变换 )(
1
)( t
a
at δδ =
偶函数
)()( tt?=δδ
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24
冲激函数性质 ——筛选
∫∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+∞
∞?
=== )0()()0()0()()()( fdttfdtftdttft δδδ
)()()()()(
0000
tfdttttfdttftt =?=?
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
δδ
（ 3）单位冲激信号
)()()()(
000
tttftftt?=? δδ
)()0()()( tftft δδ =
（ 4） 冲激偶信号
—— 冲激函数的微分
)()(' t
dt
d
t δδ =
)(ts
τ
1
τ? τ0 t
)(tδ
t0
t
0
)(
'
tδ
τ? τ0 t
2
1
τ
2
1
τ
dt
tds )(
的极限0→τ
的极限0→τ
求导求导北京邮电大学电信工程学院
26
冲激偶的性质
面积
∫
+∞
∞?
= 0)(' dttδ
∫
∞
∞?
= )0(')()(' fdttftδ
,筛选,
普通函数与冲激偶相乘
)()0(')(')0()(')( tftfttf δδδ?=
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27
冲激偶的性质
)()(
''
tt δδ?=?
奇函数
冲激偶的尺度变换性
)('
11
)(' t
aa
at δδ =
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28
例题
1.1 已知信号波形，写出信号表达式。
)1()1()()(= tutttutf
)3()2()1()()(+= tttttf δδδδ
t
f(t)
0
t
0
f(t)
12
3
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29
例题
1.2 已知信号的数学表达式，求信号波形。
]2()1()[4cos()(=
tututetf
t
π
信号窗为区间 [1,2]
的频率为 2Hz，
周期为 0.5s,在 [1,2]内应有 2个余弦波,
)4cos( tπ
1
2
1.3
∫
+∞
∞?
=)()()5( tdtftδ
)0(
5
1
f
1.4
=?
∫
+∞
∞?
dtt )4(
2
δ =?
∫
+
dtt
1
1
2
)4(δ
2 0
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30
例题
1.5
=?
)1()]([ ttue
t
δ
5)2( =f
1.6
=?
∫
+∞
∞?
dtte
t
)1(δ
)1()1()1(
11
=?
tetue δδ
11
)1(
+∞
∞?
=?
∫
edtte δ
=+=
∫
+
dtt
t
tttf
5
1
2
)2()
4
sin()( δ
π
1.7
ττδ
τ
detf
t
∫
∞?
= )()()(
'3
1.8 ττδτδ d
t
)](3)([
'
+=
∫
∞?
)(3)()](3)(
'
tutdd
tt
+=+=
∫∫
∞?∞?
δττδττδ
1
1.3 信号的运算连续时间信号的运算
1.3 信号的运算没有可实现此功能的实际器件。数字信号处理中可以实现此概念，例如堆栈中的,后进先出,。
北京邮电大学电信工程学院
3
1.3 信号的运算
(4) 移位：
)()( τ?→ tftf
τ>0，右移 (滞后 )
τ<0，左移 (超前 )
O
t
1? 1
1
)1( +tf
O
t
)(tf
1? 1
1
f(t+1)的波形？
( ) ( ) 为常 数即得时移信号轴平移沿将信号 τττ,?tfttf
=+
=
=+
=+
=
=
1)1(
1
1)1(
01
1)(
0
tf
t
tf
t
tf
t
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4
1.3 信号的运算
(5) 尺度变换,将信号的自变量乘以正实系数 a,
则信号波形 将是波形的压缩或扩展。
)(atf
)(tf
)(tf
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5
一般情况
( ) ( ) ( )[ ] ( )0a >±=±→ 设abtafbatftf
先展缩：
a>1，压缩 a倍； a<1，扩展 1/a倍后平移：
+,左移 b/a单位；－，右移 b/a单位一切变换都是对 t 而言最好用先翻缩后平移的顺序加上倒置：
( ) ( )[]abtafbatf m?=±?
例题,
0
t
)(tf
1?
1
1
解:
t
)5( +tf
6?
1
4?5?
t
)3( tf
1
31? 31
0
t
)53( +tf
1
2? 34?
验证,计算特殊点已知 f(t)，求 f(3t+5)。
t 3t+5 函数值
t=-1 3t+5=-1,t=-2 1
t=0 3t+5=0,t=-5/3 1
t=1 3t+5=1,t=-4/3 0
时移标度变换标度变换时移北京邮电大学电信工程学院
7
1.3 信号的运算
(6) 微分,将信号对t取导数。
)(tf
)()(
'
tf
dt
d
tf =
微分运算突出显示了信号的变化部分。
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8
1.3 信号的运算
(6) 微分：
北京邮电大学电信工程学院
9
1.3 信号的运算经积分运算后，信号的突变部分可变得平滑，削弱信号中混入的毛刺的影响 。
(7) 积分,将信号 在区间内求积分。
)(τf
ττ df
t
∫
∞?
)(
),( t?∞
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10
1.3 信号的运算
(7) 积分：
北京邮电大学电信工程学院
11
1.4 奇异信号奇异信号：在信号与系统分析中，经常遇到函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇异函数或奇异信号。
主要内容
单位斜变信号
单位阶跃信号
单位冲激信号
冲激偶信号北京邮电大学电信工程学院
12
1.4 奇异信号
(1) 单位斜变信号：也称斜坡信号或斜升信号。
≥
<
=
)0(
)0(0
)(
tt
t
tR
≥?
<
=?
)(
)(0
)(
00
0
0
tttt
tt
ttR
1
1
t
R(t)
0
1
0
0
t 1
0
+t
)(
0
ttR?
t
有延迟的单位斜变信号：
北京邮电大学电信工程学院
13
1.4 奇异信号
≥
<
=
)(
)()(
)(
1
τ
τ
τ
tK
ttR
K
tR
K
t
0
)(
1
tR
τ
“截平,的斜变信号
>
≤
=
)(0
)()(
)(
2
τ
τ
τ
t
ttR
K
tR
K
0 τ
t
)(
2
tR
三角形脉冲北京邮电大学电信工程学院
14
1.4 奇异信号
(2) 单位阶跃信号：通常以符号u(t)表示。
=
>
<
=
)0(
)0(1
)0(0
)(
2
1
t
t
t
tu
+
-
1V
t0
1
u(t)
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15
1.4 奇异信号延时的单位阶跃函数
=
>
<
=?
)(
)(1
)(0
)(
02
1
0
0
0
tt
tt
tt
ttu
t
0
1
)(
0
ttu?
0
t
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1.4 奇异信号矩形脉冲函数：
)()()(
0
ttututG=
t
0
1
)(tG
0
t
门函数,)()()(
22
ττ
τ
+= tututG
t
0
1
)(tG
T
2
τ
2
τ
其它函数只要用门函数处理(乘以门函数)，就只剩下门内的部分。
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1.4 奇异信号正负号函数：也称符号函数。
)()(
1)(2)sgn(
)0(1
)0(1
)sgn(
tutu
tut
t
t
t
+=
=
<?
>
=
t
0
1
)(tSgn
1?
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1.4 奇异信号
（ 3） 单位冲激信号,持续时间无穷小，瞬间幅度无穷大，
涵盖面积恒为 1的一种理想信号，记为 。 )(tδ
)(tδ
t
0
? 函数值只在 t=0时不为零；
? 积分面积为1；
? t=0时，,为无界函数。
狄拉克定义
∞→)(tδ
∫∫
+∞
∞?
+
=
0
0
d)(d)( tttt δδ
≠=
=
∫
+∞
∞?
0,0)(
1d)(
tt
tt
δ
δ
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（ 3）单位冲激信号
[ ])()(lim)(
22
1
0
ττ
τ
τ
δ+=
→
tutut
定义：矩形面积不变，宽趋于 0时的极限,
)(tδ
)1(
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其他函数演变的冲激脉冲
{ ][ })()()1(lim)(
1
ττδ
ττ
τ
+?=
∞→
tutut
t
三角脉冲的极限
[ ]
τ
τ
τ
δ
t
et
∞→
=
2
1
lim)(
双边指数脉冲的极限北京邮电大学电信工程学院
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其他函数演变的冲激脉冲抽样脉冲的极限
[ ])(lim)( ktSat
k
π
τ
δ
∞→
=
[ ]
2
)(
1
lim)(
τ
π
τ
τ
δ
t
et
∞→
=
钟形脉冲的极限北京邮电大学电信工程学院
22
单位冲激平移
≠=?
==?
∫
+∞
∞?
00
00
0)(
1)(
tttt
ttdttt
δ
δ
t
0
t0
（ 3）单位冲激信号北京邮电大学电信工程学院
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（ 3）单位冲激信号冲激函数性质
∫
∞?
=
t
tud )()( ττδ
积分
)()( ttu
dt
d
δ=
微分
时间尺度变换 )(
1
)( t
a
at δδ =
偶函数
)()( tt?=δδ
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冲激函数性质 ——筛选
∫∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+∞
∞?
=== )0()()0()0()()()( fdttfdtftdttft δδδ
)()()()()(
0000
tfdttttfdttftt =?=?
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
δδ
（ 3）单位冲激信号
)()()()(
000
tttftftt?=? δδ
)()0()()( tftft δδ =
（ 4） 冲激偶信号
—— 冲激函数的微分
)()(' t
dt
d
t δδ =
)(ts
τ
1
τ? τ0 t
)(tδ
t0
t
0
)(
'
tδ
τ? τ0 t
2
1
τ
2
1
τ
dt
tds )(
的极限0→τ
的极限0→τ
求导求导北京邮电大学电信工程学院
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冲激偶的性质
面积
∫
+∞
∞?
= 0)(' dttδ
∫
∞
∞?
= )0(')()(' fdttftδ
,筛选,
普通函数与冲激偶相乘
)()0(')(')0()(')( tftfttf δδδ?=
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冲激偶的性质
)()(
''
tt δδ?=?
奇函数
冲激偶的尺度变换性
)('
11
)(' t
aa
at δδ =
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例题
1.1 已知信号波形，写出信号表达式。
)1()1()()(= tutttutf
)3()2()1()()(+= tttttf δδδδ
t
f(t)
0
t
0
f(t)
12
3
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例题
1.2 已知信号的数学表达式，求信号波形。
]2()1()[4cos()(=
tututetf
t
π
信号窗为区间 [1,2]
的频率为 2Hz，
周期为 0.5s,在 [1,2]内应有 2个余弦波,
)4cos( tπ
1
2
1.3
∫
+∞
∞?
=)()()5( tdtftδ
)0(
5
1
f
1.4
=?
∫
+∞
∞?
dtt )4(
2
δ =?
∫
+
dtt
1
1
2
)4(δ
2 0
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例题
1.5
=?
)1()]([ ttue
t
δ
5)2( =f
1.6
=?
∫
+∞
∞?
dtte
t
)1(δ
)1()1()1(
11
=?
tetue δδ
11
)1(
+∞
∞?
=?
∫
edtte δ
=+=
∫
+
dtt
t
tttf
5
1
2
)2()
4
sin()( δ
π
1.7
ττδ
τ
detf
t
∫
∞?
= )()()(
'3
1.8 ττδτδ d
t
)](3)([
'
+=
∫
∞?
)(3)()](3)(
'
tutdd
tt
+=+=
∫∫
∞?∞?
δττδττδ
