北京邮电大学电信工程学院
1
2.4 零输入和零状态响应微分方程的完全响应零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用(起始状态等于零)，由系统的外加激励信号所产生的响应。
零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由起始状态(起始时刻系统储能)所产生的响应。
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。
零状态响应零输入响应
{
电容器的等效电路
C
+
)(tv
C
)(ti
C
C
+
)(tv
C
)(ti
C
)0(
C
v
等效电路中的电容器的起始状态为零
∫
∫∫∫
≥+=
+==
∞?∞?
t
cc
t
cc
t
cc
ti
C
v
i
C
i
C
i
C
tv
0
0
0
0d)(
1
)0(
d)(
1
d)(
1
d)(
1
)(
ττ
ττττττ
0,0)0( ≥≠
tv
C
电路等效为起始状态为零的电容器与电压源 的串联。
()tuv
c
)0(
电感的等效电路
)(ti
L
+
)(tv
L
L
)0(?
L
i
)(ti
L
+
)(tv
L
L
00)0( ≥≠
ti
L
,
∫∫∫
+==
∞?∞?
t
LL
t
LL
tv
L
v
L
v
L
ti
0
0
d)(
1
d)(
1
d)(
1
)( τττττ
)0(,d)(
1
)0(
0
≥+=
∫
tv
L
i
t
LL
ττ
故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源
的并联。
)()0( tui
L?
北京邮电大学电信工程学院
4
零输入响应无外加激励作用而仅考虑起始状态产生的响应。
而定。由初始条件、其中系数则次重根个单根和一个的分别为和如
)0()0(
)()(
0
)()(
11
1
10
+
==
=
+=
=+++
∑∑
k
zi
k
ziji
tjk
k
j
j
t
l
i
izi
n
nn
i
rr
etBeAtr
klCCC
i
BA
βα
ααβα L
零输入响应由方程右端为零构成的齐次方程而定，即由齐次方程的特征方程求出特征根再列写解：
)(tr
zi
北京邮电大学电信工程学院
5
零状态响应无起始状态作用而仅考虑外加激励产生的响应。
0)0(
)(
)()()(
)(
)()()(
)(
1
1
1
10
1
1
1
10
=
++++=
++++
k
zs
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
r
teE
dt
tde
E
dt
ted
E
dt
ted
E
trC
dt
tdr
C
dt
trd
C
dt
trd
C
L
L
零状态响应由初始状态为零时的方程求解而定，
即：
其中和分别为如下方程的齐次解和特解
)(tr
zs
)()()( trtrtr
zspzshzs
+=
)(tr
zsh
)(tr
zsp
北京邮电大学电信工程学院
6
2.4 零输入和零状态响应假设无重根，完全响应可分解为以下两部分：
如果把完全响应按自由响应与强迫响应去划分，则有：
)(
1
1
tBeA
eA
t
n
i
zsi
t
n
i
zpi
i
i
+=
=
∑
∑
=
=
α
α
零状态响应零输入响应
)(
1
tB
eA
t
n
i
i
i
=
=
∑
=
强迫响应自由响应
α
北京邮电大学电信工程学院
7
为便于比较，将以上分析写成如下形式：
2.4 零输入和零状态响应
{
t
n
i
zsizpi
t
n
t
i
t
n
i
zsi
t
n
i
zpi
t
n
i
i
ii
ii
i
eAeA
tBeAeA
tBeAtr
αα
αα
α
∑∑
∑∑
∑
==
==
=
++=
+=
11
11
1
)
)(
)()(
A＋（＝
其中零状态响应零输入响应强迫响应自由响应
443442143421
43421
北京邮电大学电信工程学院
8
系统的响应类型
(2)暂态响应,是指激励信号接入一段时间内，
完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间 t增加，它将消失。
稳态响应,由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。
强迫响应,形式取决于外加激励。对应于特解。
(1)自由响应,也叫固有响应，由系统本身特性决定的，和外加激励形式无关。对应于齐次解。
北京邮电大学电信工程学院
9
系统的响应类型
(3)零输入响应,没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）
所产生的响应。
零状态响应,不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。
所以：
连续系统的完全响应，可以将它们分解为零输入响应和零状态响应两部分。也可以分解为齐次解和特解两部分。其中，齐次解的函数形式仅取决于系统本身的特性，与输入信号的函数形式无关，称为系统的自由响应和固有响应。应注意，齐次解的系数值是与输入函数有关的。特解的形式由微分方程的自由项或输入信号决定，故称为系统的强迫响应。
虽然零输入响应和自由响应都是系统齐次微分方程的解，其函数形式也相同，但两者的系数是不一样的
。前者采用条件确定，系数值仅取决与系统的初始状态，其结果代表零输入响应；后者采用条件确定
，系数值由初始状态和输入信号共同确定，结果中除包含零输入响应外，还包括零状态响应的一部分。
0
+
0
说明说明如果输入激励是阶跃信号或有始周期信号，那么也可将系统响应分解为暂态响应和稳态响应。完全响应中暂时存在的分量称为暂态响应，随着时间的增长，它最终将衰减为零；响应中剩余部分称为稳态响应，通常也由阶跃信号或周期信号组成。
由常系数线性微分方程描述的系统在下述意义上是线性的：
(1)响应的可分解性：系统响应可分解为零输入响应、零状态响应。
(2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性，称为零状态线性。
(3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性，称为零输入线性。
14
(1)初始条件不变，当激励为
)(
0
tte
时的全响应
)(
3
tr
，
0
t
为大于零的实常数。
(2)初始条件增大1倍，当激励为
)(5.0 te 时的全响应 )(
4
tr
。
例：
已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为 时，其全响应为,
当激励为 时,求：
)(te
)()]2sin(2[)(
3
1
tutetr
t
+=
)(2 te
)()]2sin(2[)(
3
2
tutetr
t
+=
(1)
设零输入响应为
)(tr
zi
，零状态响应为
)(tr
zs
，则有解：
解得,
[ ] )()2sin(2)()()(
3
1
tutetrtrtr
t
zszi
+=+=
)()]2sin(2[)(2)()(
3
2
tutetrtrtr
t
zszi
+=+=
)(3)(
3
tuetr
t
zi
=
)()]2sin([)(
3
tutetr
t
zs
+?=
)()()(
03
ttrtrtr
zszi
+=∴
)()]22sin([)(3
00
)(33
0
ttuttetue
ttt
+?+=
()
()tute
tutetue
trtrtr
t
tt
zszi
)]2sin(5.05.5[
)]2sin([5.0)](3[2
)(5.0)(2)(
3
33
4
+=
+?+=
+=∴
北京邮电大学电信工程学院
16
2.5 冲激响应与阶跃响应
)(
)()()(
)(
)()()(
1
1
1
10
1
1
1
10
tE
dt
tdu
E
dt
td
E
dt
td
E
thC
dt
tdh
C
dt
thd
C
dt
thd
C
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
δ
δδ
++++=
++++
L
L
0)0(
)(
=
k
h
冲激响应 h(t),系统激励 零状态响应
h(t)满足的微分方程为：
产生)(tδ
及其各阶导数在 t>0时为0，于是上式的右端在 t>0时 恒为0。
)(tδ
北京邮电大学电信工程学院
17
冲激响应解的形式
②与 n,m相对大小有关
①与特征根有关
( )()
() ()
() ()及其各阶导数；应包含时，〈当；中应包含时，当及其各阶导数；不含时，当
tthmn
tthmn
tthmn
δ
δ
δ
=?
>?
设特征根为简单根（无重根的单根）
)()(
1
tueAth
n
i
t
i
i
=
∑
=
α
解：
用奇异函数相平衡法求待定系数
n=2,m=1,n>m,所以 h(t)中不包含冲激项。
带 u(t)
例：设描述系统的微分方程式为：
求其的冲激响应。
)(2
)(d
)(3
d
)(d
4
d
)(d
2
2
te
dt
te
tr
t
tr
t
tr
+=++
将 e(t)→ δ(t),r(t)→ h(t)代入方程式得：
)(2
d
)(d
)(3
d
)(d
4
d
)(d
2
2
t
t
t
th
t
th
t
th
δ
δ
+=++
∴冲激响应
)()()(
3
21
tueAeAth
tt
+=
其特征根为：
3,1034
21
2
=?=?=++ αααα
( ) )()(
3
21
tueAeAth
tt
+=
( ) ( )
()())(3)(
)(3)()(
3
2121
3
21
3
21
tueAeAtAA
tueAeAteAeAth
tt
tttt
++=
++=
′
δ
δ
() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()tueAeAtAAtAAth
tt 3
212121
93
+++
′
+=
′′
δδ
代入原方程将)(),(),( ththth
′′′
( ) ( ) )(2)()(0)(3)(
2121
tttutAAtAA δδδδ +
′
=?+++
′
+
根据系数平衡，得
=
=
=+
=+
2
1
2
1
23
1
2
1
21
21
A
A
AA
AA
( ) )(
2
1
)(
3
tueeth
tt
+=∴
北京邮电大学电信工程学院
20
2.5 冲激响应与阶跃响应系统的输入,其响应为 。
系统方程的右端将包含阶跃函数,所以除了齐次解外，还有特解。
)()( tute =
)()( tgtr =
)(tu
)(
)()()(
)(
)()()(
1
1
1
10
1
1
1
10
tuE
dt
tdu
E
dt
tud
E
dt
tud
E
tgC
dt
tdg
C
dt
tgd
C
dt
tgd
C
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
++++=
++++
L
L
0)0(
)(
=
k
g
阶跃响应 g(t),系统激励 u(t) 零状态响应
g(t)满足的微分方程为：
产生北京邮电大学电信工程学院
21
2.5 冲激响应与阶跃响应线性时不变系统满足微、积分特性若已知系统的阶跃响应为
g(t)，其冲激响应 h(t)可由下式求得
)()( tg
dt
d
th =
若已知冲激响应 h(t)，
也可求出 g(t)。
∫
=
t
dhtg
0
)()( ττ
1
2.4 零输入和零状态响应微分方程的完全响应零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用(起始状态等于零)，由系统的外加激励信号所产生的响应。
零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由起始状态(起始时刻系统储能)所产生的响应。
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。
零状态响应零输入响应
{
电容器的等效电路
C
+
)(tv
C
)(ti
C
C
+
)(tv
C
)(ti
C
)0(
C
v
等效电路中的电容器的起始状态为零
∫
∫∫∫
≥+=
+==
∞?∞?
t
cc
t
cc
t
cc
ti
C
v
i
C
i
C
i
C
tv
0
0
0
0d)(
1
)0(
d)(
1
d)(
1
d)(
1
)(
ττ
ττττττ
0,0)0( ≥≠
tv
C
电路等效为起始状态为零的电容器与电压源 的串联。
()tuv
c
)0(
电感的等效电路
)(ti
L
+
)(tv
L
L
)0(?
L
i
)(ti
L
+
)(tv
L
L
00)0( ≥≠
ti
L
,
∫∫∫
+==
∞?∞?
t
LL
t
LL
tv
L
v
L
v
L
ti
0
0
d)(
1
d)(
1
d)(
1
)( τττττ
)0(,d)(
1
)0(
0
≥+=
∫
tv
L
i
t
LL
ττ
故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源
的并联。
)()0( tui
L?
北京邮电大学电信工程学院
4
零输入响应无外加激励作用而仅考虑起始状态产生的响应。
而定。由初始条件、其中系数则次重根个单根和一个的分别为和如
)0()0(
)()(
0
)()(
11
1
10
+
==
=
+=
=+++
∑∑
k
zi
k
ziji
tjk
k
j
j
t
l
i
izi
n
nn
i
rr
etBeAtr
klCCC
i
BA
βα
ααβα L
零输入响应由方程右端为零构成的齐次方程而定，即由齐次方程的特征方程求出特征根再列写解：
)(tr
zi
北京邮电大学电信工程学院
5
零状态响应无起始状态作用而仅考虑外加激励产生的响应。
0)0(
)(
)()()(
)(
)()()(
)(
1
1
1
10
1
1
1
10
=
++++=
++++
k
zs
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
r
teE
dt
tde
E
dt
ted
E
dt
ted
E
trC
dt
tdr
C
dt
trd
C
dt
trd
C
L
L
零状态响应由初始状态为零时的方程求解而定，
即：
其中和分别为如下方程的齐次解和特解
)(tr
zs
)()()( trtrtr
zspzshzs
+=
)(tr
zsh
)(tr
zsp
北京邮电大学电信工程学院
6
2.4 零输入和零状态响应假设无重根，完全响应可分解为以下两部分：
如果把完全响应按自由响应与强迫响应去划分，则有：
)(
1
1
tBeA
eA
t
n
i
zsi
t
n
i
zpi
i
i
+=
=
∑
∑
=
=
α
α
零状态响应零输入响应
)(
1
tB
eA
t
n
i
i
i
=
=
∑
=
强迫响应自由响应
α
北京邮电大学电信工程学院
7
为便于比较，将以上分析写成如下形式：
2.4 零输入和零状态响应
{
t
n
i
zsizpi
t
n
t
i
t
n
i
zsi
t
n
i
zpi
t
n
i
i
ii
ii
i
eAeA
tBeAeA
tBeAtr
αα
αα
α
∑∑
∑∑
∑
==
==
=
++=
+=
11
11
1
)
)(
)()(
A＋（＝
其中零状态响应零输入响应强迫响应自由响应
443442143421
43421
北京邮电大学电信工程学院
8
系统的响应类型
(2)暂态响应,是指激励信号接入一段时间内，
完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间 t增加，它将消失。
稳态响应,由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。
强迫响应,形式取决于外加激励。对应于特解。
(1)自由响应,也叫固有响应，由系统本身特性决定的，和外加激励形式无关。对应于齐次解。
北京邮电大学电信工程学院
9
系统的响应类型
(3)零输入响应,没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）
所产生的响应。
零状态响应,不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。
所以：
连续系统的完全响应，可以将它们分解为零输入响应和零状态响应两部分。也可以分解为齐次解和特解两部分。其中，齐次解的函数形式仅取决于系统本身的特性，与输入信号的函数形式无关，称为系统的自由响应和固有响应。应注意，齐次解的系数值是与输入函数有关的。特解的形式由微分方程的自由项或输入信号决定，故称为系统的强迫响应。
虽然零输入响应和自由响应都是系统齐次微分方程的解，其函数形式也相同，但两者的系数是不一样的
。前者采用条件确定，系数值仅取决与系统的初始状态，其结果代表零输入响应；后者采用条件确定
，系数值由初始状态和输入信号共同确定，结果中除包含零输入响应外，还包括零状态响应的一部分。
0
+
0
说明说明如果输入激励是阶跃信号或有始周期信号，那么也可将系统响应分解为暂态响应和稳态响应。完全响应中暂时存在的分量称为暂态响应，随着时间的增长，它最终将衰减为零；响应中剩余部分称为稳态响应，通常也由阶跃信号或周期信号组成。
由常系数线性微分方程描述的系统在下述意义上是线性的：
(1)响应的可分解性：系统响应可分解为零输入响应、零状态响应。
(2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性，称为零状态线性。
(3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性，称为零输入线性。
14
(1)初始条件不变，当激励为
)(
0
tte
时的全响应
)(
3
tr
，
0
t
为大于零的实常数。
(2)初始条件增大1倍，当激励为
)(5.0 te 时的全响应 )(
4
tr
。
例：
已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为 时，其全响应为,
当激励为 时,求：
)(te
)()]2sin(2[)(
3
1
tutetr
t
+=
)(2 te
)()]2sin(2[)(
3
2
tutetr
t
+=
(1)
设零输入响应为
)(tr
zi
，零状态响应为
)(tr
zs
，则有解：
解得,
[ ] )()2sin(2)()()(
3
1
tutetrtrtr
t
zszi
+=+=
)()]2sin(2[)(2)()(
3
2
tutetrtrtr
t
zszi
+=+=
)(3)(
3
tuetr
t
zi
=
)()]2sin([)(
3
tutetr
t
zs
+?=
)()()(
03
ttrtrtr
zszi
+=∴
)()]22sin([)(3
00
)(33
0
ttuttetue
ttt
+?+=
()
()tute
tutetue
trtrtr
t
tt
zszi
)]2sin(5.05.5[
)]2sin([5.0)](3[2
)(5.0)(2)(
3
33
4
+=
+?+=
+=∴
北京邮电大学电信工程学院
16
2.5 冲激响应与阶跃响应
)(
)()()(
)(
)()()(
1
1
1
10
1
1
1
10
tE
dt
tdu
E
dt
td
E
dt
td
E
thC
dt
tdh
C
dt
thd
C
dt
thd
C
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
δ
δδ
++++=
++++
L
L
0)0(
)(
=
k
h
冲激响应 h(t),系统激励 零状态响应
h(t)满足的微分方程为：
产生)(tδ
及其各阶导数在 t>0时为0，于是上式的右端在 t>0时 恒为0。
)(tδ
北京邮电大学电信工程学院
17
冲激响应解的形式
②与 n,m相对大小有关
①与特征根有关
( )()
() ()
() ()及其各阶导数；应包含时，〈当；中应包含时，当及其各阶导数；不含时，当
tthmn
tthmn
tthmn
δ
δ
δ
=?
>?
设特征根为简单根（无重根的单根）
)()(
1
tueAth
n
i
t
i
i
=
∑
=
α
解：
用奇异函数相平衡法求待定系数
n=2,m=1,n>m,所以 h(t)中不包含冲激项。
带 u(t)
例：设描述系统的微分方程式为：
求其的冲激响应。
)(2
)(d
)(3
d
)(d
4
d
)(d
2
2
te
dt
te
tr
t
tr
t
tr
+=++
将 e(t)→ δ(t),r(t)→ h(t)代入方程式得：
)(2
d
)(d
)(3
d
)(d
4
d
)(d
2
2
t
t
t
th
t
th
t
th
δ
δ
+=++
∴冲激响应
)()()(
3
21
tueAeAth
tt
+=
其特征根为：
3,1034
21
2
=?=?=++ αααα
( ) )()(
3
21
tueAeAth
tt
+=
( ) ( )
()())(3)(
)(3)()(
3
2121
3
21
3
21
tueAeAtAA
tueAeAteAeAth
tt
tttt
++=
++=
′
δ
δ
() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()tueAeAtAAtAAth
tt 3
212121
93
+++
′
+=
′′
δδ
代入原方程将)(),(),( ththth
′′′
( ) ( ) )(2)()(0)(3)(
2121
tttutAAtAA δδδδ +
′
=?+++
′
+
根据系数平衡，得
=
=
=+
=+
2
1
2
1
23
1
2
1
21
21
A
A
AA
AA
( ) )(
2
1
)(
3
tueeth
tt
+=∴
北京邮电大学电信工程学院
20
2.5 冲激响应与阶跃响应系统的输入,其响应为 。
系统方程的右端将包含阶跃函数,所以除了齐次解外，还有特解。
)()( tute =
)()( tgtr =
)(tu
)(
)()()(
)(
)()()(
1
1
1
10
1
1
1
10
tuE
dt
tdu
E
dt
tud
E
dt
tud
E
tgC
dt
tdg
C
dt
tgd
C
dt
tgd
C
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
++++=
++++
L
L
0)0(
)(
=
k
g
阶跃响应 g(t),系统激励 u(t) 零状态响应
g(t)满足的微分方程为：
产生北京邮电大学电信工程学院
21
2.5 冲激响应与阶跃响应线性时不变系统满足微、积分特性若已知系统的阶跃响应为
g(t)，其冲激响应 h(t)可由下式求得
)()( tg
dt
d
th =
若已知冲激响应 h(t)，
也可求出 g(t)。
∫
=
t
dhtg
0
)()( ττ
