北京邮电大学电信工程学院
1
3.6 傅立叶变换的基本性质对称性和叠加性奇偶虚实性尺度变换特性时移特性和频移特性微分和积分特性北京邮电大学电信工程学院
2
1,对称性证明：
3.6 傅立叶变换的基本性质
)(2)(
)()(
ωπ
ω
→?
→?
ftF
jFtf
F
F
则若
[] )(2)(
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
ωπ
π
ω
ωω
π
ωω
π
ω
ω
ω
=
=?
=?
=
∫
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
ftFFT
dtetFf
deFtf
deFtf
tj
tj
tj
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3
1,对称性北京邮电大学电信工程学院
4
1,对称性例：
)(2)(21 ωπδωπδ =
)(
2
1
ωδ
π
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5
1,对称性解：
例：已知,求 的傅立叶变换。
t
1
ωj
tF
2
)][sgn( =
利用对称性
ωj
tF
2
)][sgn( =
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6
2,线性（叠加性）
ττ?
1
2
t
)(tf
2
τ
2
τ
例：
)]()([
)]()([)(
22
ττ
ττ
++
+=
tutu
tututf
)](2)2/([)( ωτωττω SaSaF +=
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7
3,奇偶虚实性
)()]([
**
ω?=FtfFT
)()]([
**
ωFtfFT =?
)()]([ ωFtfFT =
)()]([ ω?=? FtfFT
时域共轭频域共轭并且反摺时域反摺频域也反摺北京邮电大学电信工程学院
8
3,奇偶虚实性北京邮电大学电信工程学院
9
4,尺度变换性证明：
0)(
||
1
)(
||
1
)(
||
1
)()}({
≠==
==
∫
∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
∞+
∞?
a
a
F
a
def
a
def
a
dteatfatfF
a
j
a
j
tj
ω
ττ
ττ
τ
ω
τ
ω
ω
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10
4,尺度变换性时域中的压缩等于频域中的扩展，时域中的扩展则等效于频域中的压缩。
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11
4,尺度变换性北京邮电大学电信工程学院
12
4,尺度变换性等效脉宽与等效带宽等效脉宽等效带宽
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
=
dttfF
dtetfF
tj
)()0(
)()(
ω
ω
ωω
π
ωω
π
ω
dFf
deFtf
tj
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
=
)(
2
1
)0(
)(
2
1
)(
τππτ 2)0(2)0()0()0( ===? BfBFFf
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14
5,时移特性幅度频谱无变化，只影响相位频谱。
0
0
0
t
t
t
ω
ω
ω
右左相移北京邮电大学电信工程学院
15
5,时移特性证明：
[]
[] )()(
)()(
)()(
0
00
0
0
)(
0
ω
ω
ω
ωωω
ω
FettfFT
Fedxexfe
dxexfxfFT
ttx
tj
tjxjtj
txj
∞
∞?
∞
∞?
+?
=?∴
==
=
=
∫
∫
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16
5,时移特性
[]
a
b
j
e
a
X
a
batfFT
ω
ω
=? )(
1
)(证明若 a < 0,则有绝对值证明：
)(
1
)(
1
/)(
)(
1
0)()]([
)(
/)(
a
Fe
a
defe
a
abt
def
a
bat
adtebatfbatfFT
a
b
j
j
a
b
j
abj
tj
a
ω
τττ
τττ
ω
τ
ω
τω
ω
ω
∞
∞?
∞
∞?
+?
∞
∞?
=
=+=
=?=
>?=?
∫
∫
∫
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17
例：求图示信号的频谱
)
2
()(
0
ωτ
τω SaEF =
)()()()(
000
TtfTtftftf?+++=Q
解：单脉冲 的频谱为
)(
0
tf
其频谱为：
)cos21)(
2
(
)1)(()(
0
TSaE
eeFF
TjTj
ω
ωτ
τ
ωω
ωω
+=
++=
例：求图示信号的傅立叶变换。
解：
=
22
)
2
(
τ
ω
τ
ω
ωτ
τ
jj
eeSaA
解：
解：
先标度变换，再时延北京邮电大学电信工程学院
23
6,频移特性证明：
同理：
0),()(
)()(
00
0
>?→?
→?
ωωω
ω
ω
mFetf
jFtf
tj F
F
则若
)()(])([
0
00
ωω
ωωω
==
∫
∞
∞?
FdteetfetfFT
tjtjtj
)(])([
0
0
ωω
ω
+=
FetfFT
tj
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24
6,频移特性北京邮电大学电信工程学院
25
频谱搬移技术
)]()([
2
1
]sin)([
)(
2
1
sin
)]()([
2
1
]cos)([
)(
2
1
cos
000
0
000
0
00
00
ωωωωω
ω
ωωωωω
ω
ωω
ωω
+=
=
++?=
+=
FF
j
ttfFT
ee
j
t
FFttfFT
eet
tjtj
tjtj
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26
调幅信号都可看成乘积信号
6,频移特性应用 ——调制解调
ttf
0
cos)( ω
矩形调幅
tetf
at
0
cos)( ω
指数衰减振荡解：
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29
7,微分特性
)()( ωFtf?若
)()()(
)()(
ωω
ωω
Fjtf
dt
d
Fjtf
dt
d
n
n
n
则：
时域微分特性这一性质可将时域微分运算转变为频域的代数运算 。
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30
7,微分特性频域微分特性若信号f(t)含有确切的直流信号(恒定分量)，
即
（常数 ）Ctf
t
=
±∞→
)(lim
则：
)()]()([
)]([
)(
'
ωδπ
ω
ω?∞++∞+= ff
j
tfF
F
在使用微积分性质时，应注意：
证明：
)()()(
''
tutfdf
t
=
∫
∞?
ττ
的积分可看作：)(
'
tf
]
1
)([)]([])([
''
ω
ωπδττ
j
tfFdfF
t
+?=
∫
∞?
其傅氏变换为：
0
'
'
)]([)(
)]([
=
+=
ω
ωπδ
ω
tfF
j
tfF
)()()(
'
∞?=
∫
∞?
ftfdf
t
ττQ
0
'
'
)]([)(
)]([
)()(2][
=
+=?∞?∴
ω
ωπδ
ω
ωδπω tfF
j
tfF
fF
)()(2][)]()([ ωδπω?∞?=?∞? fFftfF
其傅氏变换为：
)()(])([)]([
0
'
0
'
∞?∞==
=
∞
∞?
=
∫
ffdtetftfF
tj
ω
ω
ω
其中：
)()]()([
)]([
)(
'
ωδπ
ω
ω?∞++∞+= ff
j
tfF
F
所以得到：
例：求u(t)的傅立叶变换。
)(
)(
t
dt
tdu
δ=
1)()( =?∞++∞ uu
)(
1
)()]()([
)]([
)(
ωπδ
ω
ωδπ
ω
δ
ω
+=
∞++∞+=
j
ff
j
tF
F
解,：
例：求图示信号的傅立叶变换。
f(t)
t
-1 10
1.5
0.5
t
-1 10
0.5
)(tf
c
t
-1 10
1
)(
2
tf
＋
)()(2
)(
ωπδω
ωπδ
ω
ωω
+=
+
=
Sa
j
ee
jj
解：
例：求 tu(t)的频谱 。
ω
ωπδ
j
tu
1
)()( +?
2
'
1
)(]
1
)([)(
ω
ωπδ
ω
ωπδ
ω jjd
d
tjtu?=+
2
'
1
)()(
ω
ωπδ∴ jttu
利用频域微分特性三角形函数 方波求导方波 冲激函数求导方法一：代入定义计算方法二：利用微分特性求：三角脉冲 的频谱。
>
<?
=
)(0
)()1(
)(
2
2
2
τ
τ
τ
t
ttE
tf
[])(2)()(
2)(
22
2
2
ttt
E
dt
tfd
δδδ
τ
ττ
++=
)
4
(
24
sin
8
)2(
2
)()(
2
2
2
2
22
ωττωωτ
τ
τ
ωω
ττ
ωω
Sa
EE
ee
E
Fj
jj
=
=
+=
)
4
(
2
)(
2
ωττ
ω Sa
E
F =
解：
的傅立叶变换。，求已知,)2()2()()( tftFtf ω
)
2
(
2
1
)]2([
ω
=? FtfFQ
)
2
(
)
2
(
2
1
)
2
(
2
1
2
)
2
(
2
1
)]2(2)2([)]2()2[(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
=∴
F
d
dF
j
F
d
Fd
j
tfttfFtftF
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39
8,积分特性
ω
ω
ττ
j
F
dfF
t
)(
)(0)0(?=
∫
∞?
时，当北京邮电大学电信工程学院
40
例：用积分特性求单位阶跃函数的傅立叶变换解：
1)]([)()( == τδτδτ FTf
∫
∞?
==
t
dtuty ττδ )()()(
)(
1
)]([)( ωπδ
ω
ω +==∴
j
tuFTY
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41
注意在实际求解函数的傅立叶变换时，往往先将原函数微分，由微分性质求它的傅立叶变换。在运算过程中要特别注意原函数微分后再积分不一定回到原函数，存在积分常数的问题。即：
)()(
)(
)(?∞→?
∫
→?
∞?
ftf
dt
tdf
tf
t
dt
d
例：求 f(t)的傅立叶变换
-1
1
0
1
f(t)
t
解：
若直接利用积分性质，则：
)1sgn()(?= ttfQ
ω
δ
j
e
dt
tdf
Ft
dt
tdf
=
= 2
)(
)1(2
)(
这样得到的结果是错误的，因为
8
所以上面得到的是 2u(t-1)的 傅立叶变换的结果。
ω
ω
ω
j
e
j
F
=∴
2
)(
)1sgn()1(2
)(
≠?=
∫
∞?
ttud
d
df
t
τ
τ
τ
1
)(
)(1)(?=∴?=?∞
∫
∞?
τ
τ
τ
d
d
df
tff
t
Q
)(2
0
)(
)(
)(1
]1[
)(
)(
ωπδωπδ
ω
τ
τ
τ
ω
=
+
=
=∴
∫
∞?
tdt
tdf
F
dt
tdf
F
j
Fd
d
df
FF
t
ωj
e
dt
tdf
F
=
2
)(
代入北京邮电大学电信工程学院
44
9,相关定理
)()]([
)()]([
ω
ω
Yty
Xtx
=
=
FT
FT
)()()]([
*
ωωτ YXRFT
xy
=
)()()()(
)()(
.)()()]([
**
*
*
ωωω
ττ
τττ
ω
τω
τω
YXdteYtx
dtdetytx
dedttytxRFT
tj
j
j
xy
==
=
=
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∫
∫∫
∫∫
若已知,则证明北京邮电大学电信工程学院
45
9,相关定理
自相关函数与幅度谱的平方是一对 傅立叶变换
若有 y(t)是实偶函数,也是实偶函数则此时相关定理就是卷积定理
2
*
)()()()]([ ωωωτ XXXRFT
xx
==
)(ωY
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46
3.12 能量谱和功率谱
∫
∞
∞?
= dttftfR )()()(
*
ττ
dtfR
2
)()0(
∫
∞
∞?
=
ωω
π
τ
ωτ
deFR
j
.)(
2
1
)(
2
∫
∞
∞?
= ωω
π
dFR
2
)(
2
1
)0(
∫
∞
∞?
=
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47
3.12 能量谱和功率谱
1,能量谱带宽的能量。称为能量谱，表示单位,)()(
2
ωωε F=
帕斯瓦尔定理
ωω
π
dFdttfR
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
==
22
)(
2
1
)()0(
对能量有限的信号，时域内 曲线所覆盖的面积等于频域内 覆盖的面积，且等于在原点的自相关函数值 R(0) 。
)(
2
tf
2
1
)( fF
2,功率谱定义为功率谱
)(ωp
Paseval定理平均功率功率有限信号f(t)
)(tf
)(tf
T
2
T
2
T
( )
()
>
≤
=
2
2
0
)(
)(
T
T
T
t
ttf
tf
ω
ω
π
d
T
F
dttf
T
P
T
T
T
T
T
T
T
2
2
)(
lim
2
1
)(
1
lim
2
2
2
2
∫
∫
∞→
∞→
=
=
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49
3,维纳 —欣钦定理
ω
ω
π
ττ
ωτ
de
T
F
dttftf
T
R
j
T
T
T
T
2
*
)(
lim
2
1
)()(
1
lim)(
2
2
∫
∫
∞
∞?
∞→
∞→
=
=
)(ωp
∫
∞
∞?
= ωω
π
τ
ωτ
depR
j
)(
2
1
)(
ττω
ωτ
deRp
j
∫
∞
∞?
= )()(
一对傅立叶变换求余弦信号
)cos()(
1
tEtf ω=
的自相关函数和功率谱,
解：
[]
∫
∞→
=
2
2
11
2
d)(cos)cos(lim
T
T
T
ttt
T
E
τωω
[
∫
∞→
=
2
2
111
2
)cos()cos()cos(lim
T
T
T
tt
T
E
τωωω
为功率信号,所以自相关函数为,
] tt d)sin()sin(
11
τωω?+
因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换,所以功率谱 为:
[])()(
2
11
2
ωωδωωδ
π
++?=
E
[ ])()( τω RFS = ττ
ωτ
d)(
∫
∞
∞?
=
j
eR
)(tf
=
∫
∞→
ttftf
T
R
T
T
T
d)()(
1
lim)(
2
2
ττ
)cos(
2
1
2
τω
E
=
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51
3.7 卷积定理若则
)()]([
11
ωFtfFT =
)()]([
22
ωFtfFT =
1,时域卷积定理时域中两信号卷积的频谱等于各时间函数在频域中频谱相乘
)().()](*)([
2121
ωω FFtftf =FT
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52
3.7 卷积定理若则
2,频域卷积定理两时间函数频谱的卷积等效于两函数乘积的频谱
)()]([
)()]([
22
11
ω
ω
Ftf
Ftf
=
=
FT
FT
)(*)(
2
1
)]().([
2121
ωω
π
FFtftf =FT
例：求余弦脉冲的频谱
>
≤
=
)
2
(0
)
2
(cos
)(
τ
τ
τ
π
t
t
t
E
tf
)()()][cos(
τ
π
ωπδ
τ
π
ωπδ
τ
π
++=
t
FQ
)
2
()(cos).()(
ωτ
τω
τ
π
SaEG
t
tGtf ==
=
++?=∴
2
)(1
)
2
)
cos(2
)()()
2
(
2
1
)(
π
ωτ
π
ωτ
τ
τ
π
ωδ
τ
π
ωδπ
ωτ
τ
π
ω
E
SaEF
解：
相乘
FT FT
卷积
τ
πt
tGtf cos).()( =
)()(
τ
π
ωπδ
τ
π
ωπδ?++
)
2
()(
ωτ
τω SaEG =
)(tG
τ
πt
cos
=
2
)(1
)
2
)
cos(2
)(
π
ωτ
π
ωτ
τ
ω
E
F
利用卷积定理求余弦脉冲的频谱例：
解：
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57
5.7 调制与解调
1,调制的定义调制－就是用待传送信号去控制某个高频信号的幅度、相位、频率等参量变化的过程。
即用一个信号去装载另一信号。
对信号进行调制的方式有很多种。
这里,控制信号称为调制信号,被控制信号称为载波 。
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58
调制的分类双边带（ DSB)
幅度调制 (AM) 单边带（ SSB)
正弦调制 频率调制 (FM) 残留边带 (VSB)
相位调制 (PM)
分类脉冲幅度调制－ PAM
3,调制的必要性对无线传输信号而言，信号需要通过发射天线发送出去。
根据天线理论，发射天线的尺度与信号的波长满足一定的关系式时，信号才能得到有效的发射，即：
A,便于发送
f
c
l == λ
λ
10
例如：
GSM手机的工作频段为 900/1800MHz
mlMHzf
mlKHzf
c
1,10
103
103
,30
10,10
103
103
,3
7
8
45
3
8
==
×
×
==
==
×
×
==
λ
λ
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60
3,调制的必要性调制技术不仅仅是能将信息嵌入到能有效传输的信道中去，而且还能够把频谱重叠的多个信号通过一种 复用 技术在同一信道上同时传输。
B,提高信道的利用率以无线电广播的中波波段为例：
波段范围为 530KHz~1600KHz,每一个广播电台的频段为 9K,
在这一中波波段中就均匀分布着多个电台。
上述即为 频分复用,它是通过采用不同载波频率的调制完成的。
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61
4.调制的模型
ttgtf
0
cos)()( ω= 相乘
ttg
0
cos)( ω
)(tg
t
0
cosω
)]()([
2
1
)]()([*)(
2
1
)(
00
00
ωωωω
ωωπδωωπδω
π
ω
++=
++=
GG
GF
)(ωG
m
ω?
m
ω
)(ωF
0
ω
0
ω?
相乘
ttg
0
cos)( ω
t
0
cosω
低通
)(
0
tg
)(tg
m
ω
m
ω?
解调 -----由已调信号恢复原信号的过程。
ttgtgttg
tttgtg
00
000
2cos)(
2
1
)(
2
1
)2cos1)((
2
1
cos]cos)([)(
ωω
ωω
+=+=
=
)]2()2([
4
1
)(
2
1
)(
000
ωωωωωω?+++= GGGG
)(ωF
2
1
0
ω?
0
ω
0
ω
0
ω?
)(
0
ωωπδ?
)(
0
ωωπδ +
2
1
4
1
4
1
0
2ω?
0
2ω
0
ω
0
ω?
)(
0
ωG
)(ωG
m
ω
m
ω?
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64
5.7 调制与解调
发送端的发射信号中加入一定强度的载波信号,即合成发射信号为
。 如果 A足够大，对于全部的
t,A+g(t) > 0,已调制信号的包络就是
A+g(t)，可以恢复出 g(t).
简化接受机的结构：只需用包络检波即可
（二极管、电阻、电容组成）
同步解调（需要在接收端产生与发送端频率相同的本地载波）
tA
0
cosω
ttgA
0
cos)]([ ω+
A+g(t)
)(tg
t
0
cosω
ttg
0
cos)( ω
ttgA
0
cos)]([ ω+
A
1
3.6 傅立叶变换的基本性质对称性和叠加性奇偶虚实性尺度变换特性时移特性和频移特性微分和积分特性北京邮电大学电信工程学院
2
1,对称性证明：
3.6 傅立叶变换的基本性质
)(2)(
)()(
ωπ
ω
→?
→?
ftF
jFtf
F
F
则若
[] )(2)(
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
ωπ
π
ω
ωω
π
ωω
π
ω
ω
ω
=
=?
=?
=
∫
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
ftFFT
dtetFf
deFtf
deFtf
tj
tj
tj
北京邮电大学电信工程学院
3
1,对称性北京邮电大学电信工程学院
4
1,对称性例：
)(2)(21 ωπδωπδ =
)(
2
1
ωδ
π
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5
1,对称性解：
例：已知,求 的傅立叶变换。
t
1
ωj
tF
2
)][sgn( =
利用对称性
ωj
tF
2
)][sgn( =
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6
2,线性（叠加性）
ττ?
1
2
t
)(tf
2
τ
2
τ
例：
)]()([
)]()([)(
22
ττ
ττ
++
+=
tutu
tututf
)](2)2/([)( ωτωττω SaSaF +=
北京邮电大学电信工程学院
7
3,奇偶虚实性
)()]([
**
ω?=FtfFT
)()]([
**
ωFtfFT =?
)()]([ ωFtfFT =
)()]([ ω?=? FtfFT
时域共轭频域共轭并且反摺时域反摺频域也反摺北京邮电大学电信工程学院
8
3,奇偶虚实性北京邮电大学电信工程学院
9
4,尺度变换性证明：
0)(
||
1
)(
||
1
)(
||
1
)()}({
≠==
==
∫
∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
∞+
∞?
a
a
F
a
def
a
def
a
dteatfatfF
a
j
a
j
tj
ω
ττ
ττ
τ
ω
τ
ω
ω
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10
4,尺度变换性时域中的压缩等于频域中的扩展，时域中的扩展则等效于频域中的压缩。
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11
4,尺度变换性北京邮电大学电信工程学院
12
4,尺度变换性等效脉宽与等效带宽等效脉宽等效带宽
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
=
dttfF
dtetfF
tj
)()0(
)()(
ω
ω
ωω
π
ωω
π
ω
dFf
deFtf
tj
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
=
)(
2
1
)0(
)(
2
1
)(
τππτ 2)0(2)0()0()0( ===? BfBFFf
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14
5,时移特性幅度频谱无变化，只影响相位频谱。
0
0
0
t
t
t
ω
ω
ω
右左相移北京邮电大学电信工程学院
15
5,时移特性证明：
[]
[] )()(
)()(
)()(
0
00
0
0
)(
0
ω
ω
ω
ωωω
ω
FettfFT
Fedxexfe
dxexfxfFT
ttx
tj
tjxjtj
txj
∞
∞?
∞
∞?
+?
=?∴
==
=
=
∫
∫
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16
5,时移特性
[]
a
b
j
e
a
X
a
batfFT
ω
ω
=? )(
1
)(证明若 a < 0,则有绝对值证明：
)(
1
)(
1
/)(
)(
1
0)()]([
)(
/)(
a
Fe
a
defe
a
abt
def
a
bat
adtebatfbatfFT
a
b
j
j
a
b
j
abj
tj
a
ω
τττ
τττ
ω
τ
ω
τω
ω
ω
∞
∞?
∞
∞?
+?
∞
∞?
=
=+=
=?=
>?=?
∫
∫
∫
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17
例：求图示信号的频谱
)
2
()(
0
ωτ
τω SaEF =
)()()()(
000
TtfTtftftf?+++=Q
解：单脉冲 的频谱为
)(
0
tf
其频谱为：
)cos21)(
2
(
)1)(()(
0
TSaE
eeFF
TjTj
ω
ωτ
τ
ωω
ωω
+=
++=
例：求图示信号的傅立叶变换。
解：
=
22
)
2
(
τ
ω
τ
ω
ωτ
τ
jj
eeSaA
解：
解：
先标度变换，再时延北京邮电大学电信工程学院
23
6,频移特性证明：
同理：
0),()(
)()(
00
0
>?→?
→?
ωωω
ω
ω
mFetf
jFtf
tj F
F
则若
)()(])([
0
00
ωω
ωωω
==
∫
∞
∞?
FdteetfetfFT
tjtjtj
)(])([
0
0
ωω
ω
+=
FetfFT
tj
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24
6,频移特性北京邮电大学电信工程学院
25
频谱搬移技术
)]()([
2
1
]sin)([
)(
2
1
sin
)]()([
2
1
]cos)([
)(
2
1
cos
000
0
000
0
00
00
ωωωωω
ω
ωωωωω
ω
ωω
ωω
+=
=
++?=
+=
FF
j
ttfFT
ee
j
t
FFttfFT
eet
tjtj
tjtj
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26
调幅信号都可看成乘积信号
6,频移特性应用 ——调制解调
ttf
0
cos)( ω
矩形调幅
tetf
at
0
cos)( ω
指数衰减振荡解：
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29
7,微分特性
)()( ωFtf?若
)()()(
)()(
ωω
ωω
Fjtf
dt
d
Fjtf
dt
d
n
n
n
则：
时域微分特性这一性质可将时域微分运算转变为频域的代数运算 。
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30
7,微分特性频域微分特性若信号f(t)含有确切的直流信号(恒定分量)，
即
（常数 ）Ctf
t
=
±∞→
)(lim
则：
)()]()([
)]([
)(
'
ωδπ
ω
ω?∞++∞+= ff
j
tfF
F
在使用微积分性质时，应注意：
证明：
)()()(
''
tutfdf
t
=
∫
∞?
ττ
的积分可看作：)(
'
tf
]
1
)([)]([])([
''
ω
ωπδττ
j
tfFdfF
t
+?=
∫
∞?
其傅氏变换为：
0
'
'
)]([)(
)]([
=
+=
ω
ωπδ
ω
tfF
j
tfF
)()()(
'
∞?=
∫
∞?
ftfdf
t
ττQ
0
'
'
)]([)(
)]([
)()(2][
=
+=?∞?∴
ω
ωπδ
ω
ωδπω tfF
j
tfF
fF
)()(2][)]()([ ωδπω?∞?=?∞? fFftfF
其傅氏变换为：
)()(])([)]([
0
'
0
'
∞?∞==
=
∞
∞?
=
∫
ffdtetftfF
tj
ω
ω
ω
其中：
)()]()([
)]([
)(
'
ωδπ
ω
ω?∞++∞+= ff
j
tfF
F
所以得到：
例：求u(t)的傅立叶变换。
)(
)(
t
dt
tdu
δ=
1)()( =?∞++∞ uu
)(
1
)()]()([
)]([
)(
ωπδ
ω
ωδπ
ω
δ
ω
+=
∞++∞+=
j
ff
j
tF
F
解,：
例：求图示信号的傅立叶变换。
f(t)
t
-1 10
1.5
0.5
t
-1 10
0.5
)(tf
c
t
-1 10
1
)(
2
tf
＋
)()(2
)(
ωπδω
ωπδ
ω
ωω
+=
+
=
Sa
j
ee
jj
解：
例：求 tu(t)的频谱 。
ω
ωπδ
j
tu
1
)()( +?
2
'
1
)(]
1
)([)(
ω
ωπδ
ω
ωπδ
ω jjd
d
tjtu?=+
2
'
1
)()(
ω
ωπδ∴ jttu
利用频域微分特性三角形函数 方波求导方波 冲激函数求导方法一：代入定义计算方法二：利用微分特性求：三角脉冲 的频谱。
>
<?
=
)(0
)()1(
)(
2
2
2
τ
τ
τ
t
ttE
tf
[])(2)()(
2)(
22
2
2
ttt
E
dt
tfd
δδδ
τ
ττ
++=
)
4
(
24
sin
8
)2(
2
)()(
2
2
2
2
22
ωττωωτ
τ
τ
ωω
ττ
ωω
Sa
EE
ee
E
Fj
jj
=
=
+=
)
4
(
2
)(
2
ωττ
ω Sa
E
F =
解：
的傅立叶变换。，求已知,)2()2()()( tftFtf ω
)
2
(
2
1
)]2([
ω
=? FtfFQ
)
2
(
)
2
(
2
1
)
2
(
2
1
2
)
2
(
2
1
)]2(2)2([)]2()2[(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
=∴
F
d
dF
j
F
d
Fd
j
tfttfFtftF
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39
8,积分特性
ω
ω
ττ
j
F
dfF
t
)(
)(0)0(?=
∫
∞?
时，当北京邮电大学电信工程学院
40
例：用积分特性求单位阶跃函数的傅立叶变换解：
1)]([)()( == τδτδτ FTf
∫
∞?
==
t
dtuty ττδ )()()(
)(
1
)]([)( ωπδ
ω
ω +==∴
j
tuFTY
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41
注意在实际求解函数的傅立叶变换时，往往先将原函数微分，由微分性质求它的傅立叶变换。在运算过程中要特别注意原函数微分后再积分不一定回到原函数，存在积分常数的问题。即：
)()(
)(
)(?∞→?
∫
→?
∞?
ftf
dt
tdf
tf
t
dt
d
例：求 f(t)的傅立叶变换
-1
1
0
1
f(t)
t
解：
若直接利用积分性质，则：
)1sgn()(?= ttfQ
ω
δ
j
e
dt
tdf
Ft
dt
tdf
=
= 2
)(
)1(2
)(
这样得到的结果是错误的，因为
8
所以上面得到的是 2u(t-1)的 傅立叶变换的结果。
ω
ω
ω
j
e
j
F
=∴
2
)(
)1sgn()1(2
)(
≠?=
∫
∞?
ttud
d
df
t
τ
τ
τ
1
)(
)(1)(?=∴?=?∞
∫
∞?
τ
τ
τ
d
d
df
tff
t
Q
)(2
0
)(
)(
)(1
]1[
)(
)(
ωπδωπδ
ω
τ
τ
τ
ω
=
+
=
=∴
∫
∞?
tdt
tdf
F
dt
tdf
F
j
Fd
d
df
FF
t
ωj
e
dt
tdf
F
=
2
)(
代入北京邮电大学电信工程学院
44
9,相关定理
)()]([
)()]([
ω
ω
Yty
Xtx
=
=
FT
FT
)()()]([
*
ωωτ YXRFT
xy
=
)()()()(
)()(
.)()()]([
**
*
*
ωωω
ττ
τττ
ω
τω
τω
YXdteYtx
dtdetytx
dedttytxRFT
tj
j
j
xy
==
=
=
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∫
∫∫
∫∫
若已知,则证明北京邮电大学电信工程学院
45
9,相关定理
自相关函数与幅度谱的平方是一对 傅立叶变换
若有 y(t)是实偶函数,也是实偶函数则此时相关定理就是卷积定理
2
*
)()()()]([ ωωωτ XXXRFT
xx
==
)(ωY
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46
3.12 能量谱和功率谱
∫
∞
∞?
= dttftfR )()()(
*
ττ
dtfR
2
)()0(
∫
∞
∞?
=
ωω
π
τ
ωτ
deFR
j
.)(
2
1
)(
2
∫
∞
∞?
= ωω
π
dFR
2
)(
2
1
)0(
∫
∞
∞?
=
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47
3.12 能量谱和功率谱
1,能量谱带宽的能量。称为能量谱，表示单位,)()(
2
ωωε F=
帕斯瓦尔定理
ωω
π
dFdttfR
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
==
22
)(
2
1
)()0(
对能量有限的信号，时域内 曲线所覆盖的面积等于频域内 覆盖的面积，且等于在原点的自相关函数值 R(0) 。
)(
2
tf
2
1
)( fF
2,功率谱定义为功率谱
)(ωp
Paseval定理平均功率功率有限信号f(t)
)(tf
)(tf
T
2
T
2
T
( )
()
>
≤
=
2
2
0
)(
)(
T
T
T
t
ttf
tf
ω
ω
π
d
T
F
dttf
T
P
T
T
T
T
T
T
T
2
2
)(
lim
2
1
)(
1
lim
2
2
2
2
∫
∫
∞→
∞→
=
=
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49
3,维纳 —欣钦定理
ω
ω
π
ττ
ωτ
de
T
F
dttftf
T
R
j
T
T
T
T
2
*
)(
lim
2
1
)()(
1
lim)(
2
2
∫
∫
∞
∞?
∞→
∞→
=
=
)(ωp
∫
∞
∞?
= ωω
π
τ
ωτ
depR
j
)(
2
1
)(
ττω
ωτ
deRp
j
∫
∞
∞?
= )()(
一对傅立叶变换求余弦信号
)cos()(
1
tEtf ω=
的自相关函数和功率谱,
解：
[]
∫
∞→
=
2
2
11
2
d)(cos)cos(lim
T
T
T
ttt
T
E
τωω
[
∫
∞→
=
2
2
111
2
)cos()cos()cos(lim
T
T
T
tt
T
E
τωωω
为功率信号,所以自相关函数为,
] tt d)sin()sin(
11
τωω?+
因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换,所以功率谱 为:
[])()(
2
11
2
ωωδωωδ
π
++?=
E
[ ])()( τω RFS = ττ
ωτ
d)(
∫
∞
∞?
=
j
eR
)(tf
=
∫
∞→
ttftf
T
R
T
T
T
d)()(
1
lim)(
2
2
ττ
)cos(
2
1
2
τω
E
=
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51
3.7 卷积定理若则
)()]([
11
ωFtfFT =
)()]([
22
ωFtfFT =
1,时域卷积定理时域中两信号卷积的频谱等于各时间函数在频域中频谱相乘
)().()](*)([
2121
ωω FFtftf =FT
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52
3.7 卷积定理若则
2,频域卷积定理两时间函数频谱的卷积等效于两函数乘积的频谱
)()]([
)()]([
22
11
ω
ω
Ftf
Ftf
=
=
FT
FT
)(*)(
2
1
)]().([
2121
ωω
π
FFtftf =FT
例：求余弦脉冲的频谱
>
≤
=
)
2
(0
)
2
(cos
)(
τ
τ
τ
π
t
t
t
E
tf
)()()][cos(
τ
π
ωπδ
τ
π
ωπδ
τ
π
++=
t
FQ
)
2
()(cos).()(
ωτ
τω
τ
π
SaEG
t
tGtf ==
=
++?=∴
2
)(1
)
2
)
cos(2
)()()
2
(
2
1
)(
π
ωτ
π
ωτ
τ
τ
π
ωδ
τ
π
ωδπ
ωτ
τ
π
ω
E
SaEF
解：
相乘
FT FT
卷积
τ
πt
tGtf cos).()( =
)()(
τ
π
ωπδ
τ
π
ωπδ?++
)
2
()(
ωτ
τω SaEG =
)(tG
τ
πt
cos
=
2
)(1
)
2
)
cos(2
)(
π
ωτ
π
ωτ
τ
ω
E
F
利用卷积定理求余弦脉冲的频谱例：
解：
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57
5.7 调制与解调
1,调制的定义调制－就是用待传送信号去控制某个高频信号的幅度、相位、频率等参量变化的过程。
即用一个信号去装载另一信号。
对信号进行调制的方式有很多种。
这里,控制信号称为调制信号,被控制信号称为载波 。
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58
调制的分类双边带（ DSB)
幅度调制 (AM) 单边带（ SSB)
正弦调制 频率调制 (FM) 残留边带 (VSB)
相位调制 (PM)
分类脉冲幅度调制－ PAM
3,调制的必要性对无线传输信号而言，信号需要通过发射天线发送出去。
根据天线理论，发射天线的尺度与信号的波长满足一定的关系式时，信号才能得到有效的发射，即：
A,便于发送
f
c
l == λ
λ
10
例如：
GSM手机的工作频段为 900/1800MHz
mlMHzf
mlKHzf
c
1,10
103
103
,30
10,10
103
103
,3
7
8
45
3
8
==
×
×
==
==
×
×
==
λ
λ
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60
3,调制的必要性调制技术不仅仅是能将信息嵌入到能有效传输的信道中去，而且还能够把频谱重叠的多个信号通过一种 复用 技术在同一信道上同时传输。
B,提高信道的利用率以无线电广播的中波波段为例：
波段范围为 530KHz~1600KHz,每一个广播电台的频段为 9K,
在这一中波波段中就均匀分布着多个电台。
上述即为 频分复用,它是通过采用不同载波频率的调制完成的。
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61
4.调制的模型
ttgtf
0
cos)()( ω= 相乘
ttg
0
cos)( ω
)(tg
t
0
cosω
)]()([
2
1
)]()([*)(
2
1
)(
00
00
ωωωω
ωωπδωωπδω
π
ω
++=
++=
GG
GF
)(ωG
m
ω?
m
ω
)(ωF
0
ω
0
ω?
相乘
ttg
0
cos)( ω
t
0
cosω
低通
)(
0
tg
)(tg
m
ω
m
ω?
解调 -----由已调信号恢复原信号的过程。
ttgtgttg
tttgtg
00
000
2cos)(
2
1
)(
2
1
)2cos1)((
2
1
cos]cos)([)(
ωω
ωω
+=+=
=
)]2()2([
4
1
)(
2
1
)(
000
ωωωωωω?+++= GGGG
)(ωF
2
1
0
ω?
0
ω
0
ω
0
ω?
)(
0
ωωπδ?
)(
0
ωωπδ +
2
1
4
1
4
1
0
2ω?
0
2ω
0
ω
0
ω?
)(
0
ωG
)(ωG
m
ω
m
ω?
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64
5.7 调制与解调
发送端的发射信号中加入一定强度的载波信号,即合成发射信号为
。 如果 A足够大，对于全部的
t,A+g(t) > 0,已调制信号的包络就是
A+g(t)，可以恢复出 g(t).
简化接受机的结构：只需用包络检波即可
（二极管、电阻、电容组成）
同步解调（需要在接收端产生与发送端频率相同的本地载波）
tA
0
cosω
ttgA
0
cos)]([ ω+
A+g(t)
)(tg
t
0
cosω
ttg
0
cos)( ω
ttgA
0
cos)]([ ω+
A
