北京邮电大学电信工程学院
1
第二章 连续时间系统的时域分析微分方程式的建立与求解起始点的跳变零输入与零状态响应冲激响应与阶跃响应卷积北京邮电大学电信工程学院
2
2.1 引言时域分析方法不涉及任何变换，
直接求解系统的微分积分方程。
系统数学模型的时域表示
(1) 输入－输出描述 —— 一元 n 阶微分方程
(2) 状态变量描述 —— n 元 联立一阶微分方程北京邮电大学电信工程学院
3
2.2 微分方程式的建立与求解
1.微分方程式的建立对于电系统，依据是电网络的两个约束特性：
元件特性约束,即表征元件特性的关系式。
例如二端元件电阻、电感、电容各自的电压与电流的关系等。
网络拓扑约束,由网络结构决定的电压、
电流约束关系。以基尔霍夫电压定律 (KVL)和基尔霍夫电流定律 (KCL)表示。
北京邮电大学电信工程学院
4
2,微分方程式的求解变换域法零状态:利用卷积积分法求解零输入:可利用经典法求双零法经典法,前面电路分析课里已经讨论过，
但与 δ(t)有关的问题有待进一步解决,
解方程
{
北京邮电大学电信工程学院
5
对于一个线性系统，其激励信号e(t)与响应函数r(t)
之间的关系，可用下列形式的微分方程式来描述对于线性时不变系统，组成系统的元件是参数恒定的线性元件，因此式中系数C、E都是常数。上式就是一个常系数的n 阶线性常微分方程。
2,微分方程式的求解
)(
)()()(
)(
)()()(
1
1
1
10
1
1
1
10
teE
dt
tde
E
dt
ted
E
dt
ted
E
trC
dt
tdr
C
dt
trd
C
dt
trd
C
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
++++=
++++
L
L
北京邮电大学电信工程学院
6
经典解法中，方程的完全解由两部分组成：
齐次解和特解.
当式中的e(t) 及其各阶导数为零时，方程的解为齐次解。
齐次解的形式为的函数组合。注意重根的处理。
t
Ae
α
0)(
)()()(
1
1
1
10
=++++
trC
dt
tdr
C
dt
trd
C
dt
trd
C
nn
n
n
n
n
L
特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。
2,微分方程式的求解几种典型激励函数相应的特解激励函数 e(t) 响应函数 r(t)的特解
)(常数E )(常数B
( ) ( )tBtB ωω sincos
21
+
p
t 1
1
21 +
++++
pp
pp
BtBtBtBL
t
e
α
t
Be
α
( ) ( )
()()teDtDtDtD
teBtBtBtB
t
pp
pp
t
pp
pp
ω
ω
α
α
sin
cos
1
1
21
1
1
21
+
+
+++++
++++
L
L
()tet
tp
ω
α
cos
()tet
tp
ω
α
sin
( )tωsin
( )tωcos
北京邮电大学电信工程学院
8
2,微分方程式的求解例题：求微分方程的齐次解
)()(12
)(
16
)(
7
)(
2
2
3
3
tetr
dt
tdr
dt
trd
dt
trd
=+++
ttt
eAeAteA
3
3
2
2
2
1
++
32 ＝－（重根）,αα?=
0)3()2(
012167
2
23
=++
=+++
αα
ααα
解：特征方程为：
特征根齐次解为如果已知,分别求两种情况下此方程的特解。
例：给定微分方程式
( ) ()
()
( )
()te
t
te
tr
t
tr
t
tr
+=++
d
d
3
d
d
2
d
d
2
2
() ( ) ( ) ( ),;1
2 t
etette == 2
平衡，试选特解函数式
( )() 为使等式两端得到代入方程右端将,2,1
22
tttte +=
( ) ( ) ttBBBtBBtB 2322343
2
32121
2
1
+=+++++
将此式代入方程得到
,为待定系数。这里
321
,,BBB
( )
32
2
1
BtBtBtr
p
++=
解:
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有联解得到所以，特解为
=++
=+
=
0322
234
13
321
21
1
BBB
BB
B
27
10
,
9
2
3
1
321
=== BBB,
()
27
10
9
2
3
1
2
+= tttr
p
(2) 当 时，可选,B是待定系数。
代入方程中：
t
ete =)(
t
Betr =)(
( ) ( )
()
( )
()te
t
te
tr
t
tr
t
tr
+=++
d
d
3
d
d
2
d
d
2
2
ttttt
eeBeBeBe +=++ 32
3
1
=B
.
3
1
,
t
e特解为于是北京邮电大学电信工程学院
12
2.3 起始点的跳变
初始状态：在激励接入之后的瞬时系统的状态。
系统微分方程求解限于时间范围，应判断初始状态。
+
=0t
∞<<
+
t0
(1)起始状态与初始条件
=0t
起始状态：在激励接入之前的瞬时系统的状态。
北京邮电大学电信工程学院
13
2.3 起始点的跳变
(2)初始条件的确定北京邮电大学电信工程学院
14
(2)初始条件的确定
对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中储能元件的储能情况;
0
一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
( ) ( )()( )
+?+?
== 0000
LLCC
iivv
北京邮电大学电信工程学院
15
(2)初始条件的确定
但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感,状态就会发生跳变。
+?
00 到
当系统用微分方程表示时，系统的到 状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数项。
0
+
0
)(tδ
dt
tdr )(
设某系统方程为,则由方程平衡知必含
)(3)(3
)(
'
ttr
dt
tdr
δ=+
'
3δ
2.3 初始条件的确定
)(9
)(
),(3)( t
dt
tdr
ttr δδ 又含含冲激函数匹配法求 状态：
+
0
)(tu?
表示 到 相对 单位跳变函数
+
0
0
可设,
)()()(
)(
'
tuctbta
dt
tdr
++= δδ
)()()( tubtatr?+= δ
)(3)()3()()3()(
''
ttucbtbata δδδ =?++++则代入方程得：
由方程平衡得：
9)0()0(
27,9,3
==?∴
=?==
+
brr
cba
（ 1）将 e(t)代入微分方程,t=0得
()
te
2
4
Ot
解：
例：
() () () () () ()
() ()
() ()。和用冲激函数匹配法求和如下，已知输入的微分方程为描述
++
==
++=++
0
d
d
0
,00
d
d
5
4
0)(
4
d
d
6
d
d
10
d
d
7
d
d
LTIS
2
2
2
2
r
t
r
r
t
rte
tete
t
te
t
trtr
t
tr
t
() () () () () ()tutttrtr
t
tr
t
++
′
=++ 812210
d
d
7
d
d
2
2
δδ
代入微分方程方程右端的冲激函数项最高阶次是,因而有
)(' tδ
() () () () () ()tutttrtr
t
tr
t
++
′
=++ 812210
d
d
7
d
d
2
2
δδ
() () () ()
() () ()
() ()
=
+=
++
′
=
tuatr
tubtatr
t
tuctbtatr
t
δ
δδ
d
d
d
d
2
2
)00(
+?
<< t
() ( ) ( )[]( ) ( )[ ] ( )tuatubtatuctbta?+?++?++
′
107 δδδ
( )()( )tutt?++
′
= 8122 δδ
求得：
所以：
要求的 状态为：
+
0
=++
=+
=
8107
127
2
abc
ab
a
() ()
() ()
() ()
==?
==?
==?
+
+
+
20
d
d
0
d
d
20
d
d
0
d
d
200
2
2
2
2
cr
t
r
t
br
t
r
t
arr
() ()
() ()
=+?=
=+=+=
+
+
20
d
d
20
d
d
5
14
5
4
2020
r
t
r
t
rr
1
第二章 连续时间系统的时域分析微分方程式的建立与求解起始点的跳变零输入与零状态响应冲激响应与阶跃响应卷积北京邮电大学电信工程学院
2
2.1 引言时域分析方法不涉及任何变换，
直接求解系统的微分积分方程。
系统数学模型的时域表示
(1) 输入－输出描述 —— 一元 n 阶微分方程
(2) 状态变量描述 —— n 元 联立一阶微分方程北京邮电大学电信工程学院
3
2.2 微分方程式的建立与求解
1.微分方程式的建立对于电系统，依据是电网络的两个约束特性：
元件特性约束,即表征元件特性的关系式。
例如二端元件电阻、电感、电容各自的电压与电流的关系等。
网络拓扑约束,由网络结构决定的电压、
电流约束关系。以基尔霍夫电压定律 (KVL)和基尔霍夫电流定律 (KCL)表示。
北京邮电大学电信工程学院
4
2,微分方程式的求解变换域法零状态:利用卷积积分法求解零输入:可利用经典法求双零法经典法,前面电路分析课里已经讨论过，
但与 δ(t)有关的问题有待进一步解决,
解方程
{
北京邮电大学电信工程学院
5
对于一个线性系统，其激励信号e(t)与响应函数r(t)
之间的关系，可用下列形式的微分方程式来描述对于线性时不变系统，组成系统的元件是参数恒定的线性元件，因此式中系数C、E都是常数。上式就是一个常系数的n 阶线性常微分方程。
2,微分方程式的求解
)(
)()()(
)(
)()()(
1
1
1
10
1
1
1
10
teE
dt
tde
E
dt
ted
E
dt
ted
E
trC
dt
tdr
C
dt
trd
C
dt
trd
C
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
++++=
++++
L
L
北京邮电大学电信工程学院
6
经典解法中，方程的完全解由两部分组成：
齐次解和特解.
当式中的e(t) 及其各阶导数为零时，方程的解为齐次解。
齐次解的形式为的函数组合。注意重根的处理。
t
Ae
α
0)(
)()()(
1
1
1
10
=++++
trC
dt
tdr
C
dt
trd
C
dt
trd
C
nn
n
n
n
n
L
特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。
2,微分方程式的求解几种典型激励函数相应的特解激励函数 e(t) 响应函数 r(t)的特解
)(常数E )(常数B
( ) ( )tBtB ωω sincos
21
+
p
t 1
1
21 +
++++
pp
pp
BtBtBtBL
t
e
α
t
Be
α
( ) ( )
()()teDtDtDtD
teBtBtBtB
t
pp
pp
t
pp
pp
ω
ω
α
α
sin
cos
1
1
21
1
1
21
+
+
+++++
++++
L
L
()tet
tp
ω
α
cos
()tet
tp
ω
α
sin
( )tωsin
( )tωcos
北京邮电大学电信工程学院
8
2,微分方程式的求解例题：求微分方程的齐次解
)()(12
)(
16
)(
7
)(
2
2
3
3
tetr
dt
tdr
dt
trd
dt
trd
=+++
ttt
eAeAteA
3
3
2
2
2
1
++
32 ＝－（重根）,αα?=
0)3()2(
012167
2
23
=++
=+++
αα
ααα
解：特征方程为：
特征根齐次解为如果已知,分别求两种情况下此方程的特解。
例：给定微分方程式
( ) ()
()
( )
()te
t
te
tr
t
tr
t
tr
+=++
d
d
3
d
d
2
d
d
2
2
() ( ) ( ) ( ),;1
2 t
etette == 2
平衡，试选特解函数式
( )() 为使等式两端得到代入方程右端将,2,1
22
tttte +=
( ) ( ) ttBBBtBBtB 2322343
2
32121
2
1
+=+++++
将此式代入方程得到
,为待定系数。这里
321
,,BBB
( )
32
2
1
BtBtBtr
p
++=
解:
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有联解得到所以，特解为
=++
=+
=
0322
234
13
321
21
1
BBB
BB
B
27
10
,
9
2
3
1
321
=== BBB,
()
27
10
9
2
3
1
2
+= tttr
p
(2) 当 时，可选,B是待定系数。
代入方程中：
t
ete =)(
t
Betr =)(
( ) ( )
()
( )
()te
t
te
tr
t
tr
t
tr
+=++
d
d
3
d
d
2
d
d
2
2
ttttt
eeBeBeBe +=++ 32
3
1
=B
.
3
1
,
t
e特解为于是北京邮电大学电信工程学院
12
2.3 起始点的跳变
初始状态：在激励接入之后的瞬时系统的状态。
系统微分方程求解限于时间范围，应判断初始状态。
+
=0t
∞<<
+
t0
(1)起始状态与初始条件
=0t
起始状态：在激励接入之前的瞬时系统的状态。
北京邮电大学电信工程学院
13
2.3 起始点的跳变
(2)初始条件的确定北京邮电大学电信工程学院
14
(2)初始条件的确定
对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中储能元件的储能情况;
0
一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
( ) ( )()( )
+?+?
== 0000
LLCC
iivv
北京邮电大学电信工程学院
15
(2)初始条件的确定
但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感,状态就会发生跳变。
+?
00 到
当系统用微分方程表示时，系统的到 状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数项。
0
+
0
)(tδ
dt
tdr )(
设某系统方程为,则由方程平衡知必含
)(3)(3
)(
'
ttr
dt
tdr
δ=+
'
3δ
2.3 初始条件的确定
)(9
)(
),(3)( t
dt
tdr
ttr δδ 又含含冲激函数匹配法求 状态：
+
0
)(tu?
表示 到 相对 单位跳变函数
+
0
0
可设,
)()()(
)(
'
tuctbta
dt
tdr
++= δδ
)()()( tubtatr?+= δ
)(3)()3()()3()(
''
ttucbtbata δδδ =?++++则代入方程得：
由方程平衡得：
9)0()0(
27,9,3
==?∴
=?==
+
brr
cba
（ 1）将 e(t)代入微分方程,t=0得
()
te
2
4
Ot
解：
例：
() () () () () ()
() ()
() ()。和用冲激函数匹配法求和如下，已知输入的微分方程为描述
++
==
++=++
0
d
d
0
,00
d
d
5
4
0)(
4
d
d
6
d
d
10
d
d
7
d
d
LTIS
2
2
2
2
r
t
r
r
t
rte
tete
t
te
t
trtr
t
tr
t
() () () () () ()tutttrtr
t
tr
t
++
′
=++ 812210
d
d
7
d
d
2
2
δδ
代入微分方程方程右端的冲激函数项最高阶次是,因而有
)(' tδ
() () () () () ()tutttrtr
t
tr
t
++
′
=++ 812210
d
d
7
d
d
2
2
δδ
() () () ()
() () ()
() ()
=
+=
++
′
=
tuatr
tubtatr
t
tuctbtatr
t
δ
δδ
d
d
d
d
2
2
)00(
+?
<< t
() ( ) ( )[]( ) ( )[ ] ( )tuatubtatuctbta?+?++?++
′
107 δδδ
( )()( )tutt?++
′
= 8122 δδ
求得：
所以：
要求的 状态为：
+
0
=++
=+
=
8107
127
2
abc
ab
a
() ()
() ()
() ()
==?
==?
==?
+
+
+
20
d
d
0
d
d
20
d
d
0
d
d
200
2
2
2
2
cr
t
r
t
br
t
r
t
arr
() ()
() ()
=+?=
=+=+=
+
+
20
d
d
20
d
d
5
14
5
4
2020
r
t
r
t
rr
