北京邮电大学电信工程学院
1
2.6卷积卷积( Convolution)方法的原理就是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，而求解系统对任意激励信号的零状态响应。
积分和设有两个函数),()(
21
tftf
() () ( )
() () () () ()tftftftftftf
tftf
tfftf
2121
21
21
)(
)()(
d
=?=
=
∫
∞
∞?
或
，记为的卷积积分，简称卷积和称为
τττ
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2
2.6卷积所以系统的零状态响应为：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )thtethtetr
zs
=?=
任意信号 e(t)可表示为冲激序列之和
() () ( )ττδτ d
∫
∞
∞?
= tete
()[] ()( )
() ( )[]
()( )τττ
ττδτ
ττδτ
d
d
d)(
)(
∫
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
=
=
==
the
tHe
teHteHtr
th则响应为的为若把它作用于冲激响应LTIS,
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3
由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化．卷积积分中积分限的确定是非常关键的．
τ
2.6卷积
※卷积的图形解释
(1)改换图形的横坐标，由t改为,
变成函数的自变量；
(2)把其中的一个信号反褶；
(3)把反褶后的信号做位移，移位量为t；
(4)两信号重叠部分相乘 ；
(5)完成相乘后图形的积分。
τ
)()( ττ?the
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4
(1)积分上下限
2.6卷积上限取小，下限取大积分限由 存在的区间决定，
即由 的范围决定。
)(),(
21
tftf
0)()(
21
≠?ττ tff
[A,B]
[C,D]
[A+C,B+D]
一般规律：
上限下限
(2)卷积结果区间
( )tf
1
( )tf
2
( )tg
例:
0
τ
()τ
1
f
1
11
τ→t
τ?→tt
解:
0
t
()
tf
2
3
3/2
)30(,
2
)(,
10
11
)(
21
≤≤=
>
<
= t
t
tf
t
t
tf
0
t
1
11
)(
1
tf
0
τ
()τ?
tf
2
2
3
t
3?t
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6
t,移动的距离
t=0 f
2
(t-τ) 未移动
t>0 f
2
(t-τ) 右移
t<0 f
2
(t-τ) 左移
( )从左向右移动对应到从τ?∞+∞? tft
2
,
下限 上限
t-3 t-0
-1 1
( )τ?tf
2
( )τ
1
f
t
τ
3?t
( )τ?tf
2
0
2
3
1
1
()τ
1
f
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7
t ≤-1
0
τ
()τ
1
f
1
11
3?t
t
()τ?tf
2
两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0
1?≤t
( ) ( )
() () () 0
0
21
21
=?=
=
tftftg
tff ττ
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8
-1≤ t ≤1
0
τ
()τ
1
f
1
11
3?t
t
( )τ?tf
2
()向右移τ?tf
2
时两波形有公共部分，积分开始不为 0，
积分下限 -1，上限 t,t 为移动时间 ;
1?>t
()
4
1
24142
d.
2
1
.1d)()()(
22
1
2
1
1
++=
=
==
∫∫
tt
t
ttfftg
tt
ττ
τττττ
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9
1≤ t ≤2
3?t
t
( )τ?tf
2
()τ
1
f
τ
1?
0 1
1
即 1 ≤ t ≤ 2
≥
≤?
1
13
t
t
() tttg =?=
∫
ττ d.
2
1
.)(
1
1
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10
2 ≤ t ≤ 4
0
()τ
1
f
1
11
τ
3?t
t
( )τ?tf
2
即 2 ≤ t ≤ 4
≤?
≥?
13
13
t
t
2
24
d).(
2
1
.1)(
2
1
3
++?=?=
∫
tt
ttg
t
ττ
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11
t ≥ 4
0
τ
()τ
1
f
1
1
1
3?t
t
( )τ?tf
2
即 t ≥ 4
t-3≥1
( ) 0=tg
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12
卷积结果
()
tf
1
0
t
1
11
)(tg
t
0
2
4
2
1
1
0
t
3
()
t
f
2
3/2
≤≤++?
≤≤
≤≤?++
=
t
t
tt
tt
t
tt
tg
其它0
422
24
21
11
4
1
24
)(
2
2
例:
t
A
)(th
O
τ
A
)(
τ?
th
O t
τ
)(
τ
e
O
解:
+∞≤≤∞?Ψ?
+
=
+
=
=
=?=
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∫
∫∫
tt
AC
tt
eACe
eACe
AeCthetr
tt
t
t
t
)sin(
)cossin(
dsin
dsind)()()(
0
2
0
2
2
0
2
000
0
)(
0
ω
ωα
ωα
ωωωα
ττω
ττωτττ
αα
ατα
τα
∞≤≤∞?=
=
ttCte
tuAeth
t
0
sin)(
)()(
ω
α
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14
2.7卷积的性质北京邮电大学电信工程学院
15
证明交换律
() () τττ d)()(
2121
=?
∫
+∞
∞?
tfftftf
λτλτλτ dd:,?=→=?
∫∫
∞
∞+
+∞
∞?
，，则令t
() () () ()tftftfftftf
121221
d)()(?==?
∫
+∞
∞?
λλλ
卷积结果与交换两函数的次序无关。因为倒置与倒置 积分面积与 t无关。
一般选简单函数为移动函数。如矩形脉冲或 δ(t)。
( )τ
1
f
()τ
2
f
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2.7卷积的性质
2.7卷积的性质
2.7卷积的性质
(7)
(8)
[ ] )1()1()()1(+=
∫
∞?
tduu
t
δττττ
)1(])1()1([
01
+?+=
∫∫
tdd
tt
δττττ
)1()1()1(
01
+?+=
∫∫
tdd
tt
δττττ
例：已知求：
)1()(
)]1()()[1()(
2
1
=
+=
tutf
tututtf
)()(
21
tftf?
解：
微积分性）(
)(
)()()(
2
121
∫
∞?
=?
t
dt
tdf
dftftf ττ
)1()1()
2
1
1()()
2
(
22
++= ttu
t
ttu
t
t δ
)2(]
2
1)1(
2[)1(]
2
)1(
1[
22
+
+?= tu
t
ttu
t
t
卷积的冲激性）(
)2(
2
4
)1(
2
1
22
= tu
t
tu
t
)1(
1202
22
+?+= t
tt
δ
τ
τ
τ
τ
例:
解:
1
1
1
1
1
)(tf )(th
tt
2OO
1
t
0
1
1
t
2
()
)(
1
tf
)(th
0
)1(
)1(
0 12
1
1
)(tg
3
t
( ) ( )()( ) ( )。，求已知thtftgthtf=,
≤≤?
≤≤?
≤≤
=
=
323
2123
10
)()()(
)1()1(
tt
tt
tt
thtftg
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22
说明利用微分、积分性质求卷积积分，
则应有：
容易证明上式成立的条件是：
显然所有的时限信号都满足上式，对于时限信号可以直接用上式计算卷积。
∫
∞?
=?
t
dt
tdf
dftftf
)(
)()()(
2
121
ττ
τ
τ
d
dt
df
tf
t
∫
∞?
=
)(
)(
1
1
0)(lim
1
=
∞→
tf
t
用微积分性质
O
tt
)2(
)(nsg t
)(
)1(
t
δ
O
1
O
1
1
t t
)1(
)sgn(t )(t
δ
O
直接
() ( )tt δ?sgn例：
8
t
O
2
( ) ( )tt
)1('
sgn
δ
)(2)(2)(
)(sgn)()(
)1()1(
tuttu
tttf
=?=
=
δ
δ
0)sgn(lim ≠
∞→
t
t
错误原因：
?解：
解得特征根为：
例：：
解：
1
2.6卷积卷积( Convolution)方法的原理就是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，而求解系统对任意激励信号的零状态响应。
积分和设有两个函数),()(
21
tftf
() () ( )
() () () () ()tftftftftftf
tftf
tfftf
2121
21
21
)(
)()(
d
=?=
=
∫
∞
∞?
或
，记为的卷积积分，简称卷积和称为
τττ
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2
2.6卷积所以系统的零状态响应为：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )thtethtetr
zs
=?=
任意信号 e(t)可表示为冲激序列之和
() () ( )ττδτ d
∫
∞
∞?
= tete
()[] ()( )
() ( )[]
()( )τττ
ττδτ
ττδτ
d
d
d)(
)(
∫
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
=
=
==
the
tHe
teHteHtr
th则响应为的为若把它作用于冲激响应LTIS,
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3
由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化．卷积积分中积分限的确定是非常关键的．
τ
2.6卷积
※卷积的图形解释
(1)改换图形的横坐标，由t改为,
变成函数的自变量；
(2)把其中的一个信号反褶；
(3)把反褶后的信号做位移，移位量为t；
(4)两信号重叠部分相乘 ；
(5)完成相乘后图形的积分。
τ
)()( ττ?the
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4
(1)积分上下限
2.6卷积上限取小，下限取大积分限由 存在的区间决定，
即由 的范围决定。
)(),(
21
tftf
0)()(
21
≠?ττ tff
[A,B]
[C,D]
[A+C,B+D]
一般规律：
上限下限
(2)卷积结果区间
( )tf
1
( )tf
2
( )tg
例:
0
τ
()τ
1
f
1
11
τ→t
τ?→tt
解:
0
t
()
tf
2
3
3/2
)30(,
2
)(,
10
11
)(
21
≤≤=
>
<
= t
t
tf
t
t
tf
0
t
1
11
)(
1
tf
0
τ
()τ?
tf
2
2
3
t
3?t
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6
t,移动的距离
t=0 f
2
(t-τ) 未移动
t>0 f
2
(t-τ) 右移
t<0 f
2
(t-τ) 左移
( )从左向右移动对应到从τ?∞+∞? tft
2
,
下限 上限
t-3 t-0
-1 1
( )τ?tf
2
( )τ
1
f
t
τ
3?t
( )τ?tf
2
0
2
3
1
1
()τ
1
f
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7
t ≤-1
0
τ
()τ
1
f
1
11
3?t
t
()τ?tf
2
两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0
1?≤t
( ) ( )
() () () 0
0
21
21
=?=
=
tftftg
tff ττ
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8
-1≤ t ≤1
0
τ
()τ
1
f
1
11
3?t
t
( )τ?tf
2
()向右移τ?tf
2
时两波形有公共部分，积分开始不为 0，
积分下限 -1，上限 t,t 为移动时间 ;
1?>t
()
4
1
24142
d.
2
1
.1d)()()(
22
1
2
1
1
++=
=
==
∫∫
tt
t
ttfftg
tt
ττ
τττττ
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9
1≤ t ≤2
3?t
t
( )τ?tf
2
()τ
1
f
τ
1?
0 1
1
即 1 ≤ t ≤ 2
≥
≤?
1
13
t
t
() tttg =?=
∫
ττ d.
2
1
.)(
1
1
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10
2 ≤ t ≤ 4
0
()τ
1
f
1
11
τ
3?t
t
( )τ?tf
2
即 2 ≤ t ≤ 4
≤?
≥?
13
13
t
t
2
24
d).(
2
1
.1)(
2
1
3
++?=?=
∫
tt
ttg
t
ττ
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11
t ≥ 4
0
τ
()τ
1
f
1
1
1
3?t
t
( )τ?tf
2
即 t ≥ 4
t-3≥1
( ) 0=tg
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卷积结果
()
tf
1
0
t
1
11
)(tg
t
0
2
4
2
1
1
0
t
3
()
t
f
2
3/2
≤≤++?
≤≤
≤≤?++
=
t
t
tt
tt
t
tt
tg
其它0
422
24
21
11
4
1
24
)(
2
2
例:
t
A
)(th
O
τ
A
)(
τ?
th
O t
τ
)(
τ
e
O
解:
+∞≤≤∞?Ψ?
+
=
+
=
=
=?=
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∫
∫∫
tt
AC
tt
eACe
eACe
AeCthetr
tt
t
t
t
)sin(
)cossin(
dsin
dsind)()()(
0
2
0
2
2
0
2
000
0
)(
0
ω
ωα
ωα
ωωωα
ττω
ττωτττ
αα
ατα
τα
∞≤≤∞?=
=
ttCte
tuAeth
t
0
sin)(
)()(
ω
α
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2.7卷积的性质北京邮电大学电信工程学院
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证明交换律
() () τττ d)()(
2121
=?
∫
+∞
∞?
tfftftf
λτλτλτ dd:,?=→=?
∫∫
∞
∞+
+∞
∞?
，，则令t
() () () ()tftftfftftf
121221
d)()(?==?
∫
+∞
∞?
λλλ
卷积结果与交换两函数的次序无关。因为倒置与倒置 积分面积与 t无关。
一般选简单函数为移动函数。如矩形脉冲或 δ(t)。
( )τ
1
f
()τ
2
f
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2.7卷积的性质
2.7卷积的性质
2.7卷积的性质
(7)
(8)
[ ] )1()1()()1(+=
∫
∞?
tduu
t
δττττ
)1(])1()1([
01
+?+=
∫∫
tdd
tt
δττττ
)1()1()1(
01
+?+=
∫∫
tdd
tt
δττττ
例：已知求：
)1()(
)]1()()[1()(
2
1
=
+=
tutf
tututtf
)()(
21
tftf?
解：
微积分性）(
)(
)()()(
2
121
∫
∞?
=?
t
dt
tdf
dftftf ττ
)1()1()
2
1
1()()
2
(
22
++= ttu
t
ttu
t
t δ
)2(]
2
1)1(
2[)1(]
2
)1(
1[
22
+
+?= tu
t
ttu
t
t
卷积的冲激性）(
)2(
2
4
)1(
2
1
22
= tu
t
tu
t
)1(
1202
22
+?+= t
tt
δ
τ
τ
τ
τ
例:
解:
1
1
1
1
1
)(tf )(th
tt
2OO
1
t
0
1
1
t
2
()
)(
1
tf
)(th
0
)1(
)1(
0 12
1
1
)(tg
3
t
( ) ( )()( ) ( )。，求已知thtftgthtf=,
≤≤?
≤≤?
≤≤
=
=
323
2123
10
)()()(
)1()1(
tt
tt
tt
thtftg
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说明利用微分、积分性质求卷积积分，
则应有：
容易证明上式成立的条件是：
显然所有的时限信号都满足上式，对于时限信号可以直接用上式计算卷积。
∫
∞?
=?
t
dt
tdf
dftftf
)(
)()()(
2
121
ττ
τ
τ
d
dt
df
tf
t
∫
∞?
=
)(
)(
1
1
0)(lim
1
=
∞→
tf
t
用微积分性质
O
tt
)2(
)(nsg t
)(
)1(
t
δ
O
1
O
1
1
t t
)1(
)sgn(t )(t
δ
O
直接
() ( )tt δ?sgn例：
8
t
O
2
( ) ( )tt
)1('
sgn
δ
)(2)(2)(
)(sgn)()(
)1()1(
tuttu
tttf
=?=
=
δ
δ
0)sgn(lim ≠
∞→
t
t
错误原因：
?解：
解得特征根为：
例：：
解：
