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1
6.3信号的正交函数分解
正交矢量
正交函数
正交函数集北京邮电大学电信工程学院
2
信号分解的目的将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。
简化系统分析与运算,总响应 =单元响应之和。
() ()
∑
=
=
n
i
i
tete
0
( )te
i
H
( )tr
i
() ()[] () ()
∑∑
==
=
==
n
i
i
n
i
i
trteHteHtr
00
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3
矢量：V1和V2参加如下运算，是它们的差，如下式：
e
VVcV =?
2121
1
V
1
V
2
V
2
V
e
V
e
V
1
V
2
V
e
V
212
Vc
212
Vc
212
Vc
e
V
6.3正交函数——正交矢量
2
21
2
21
1212
.cos
cos
V
VV
V
VV
VVc ===
θ
θ
2
2
21
12
.
V
VV
c =
表示和互相接近的程度。
1
V
2
V
12
c
当，完全重合，。随夹角增大，
减小；当，和相互垂直。
1
V
2
V
1,0
12
== cθ
12
c
0,90
12
== c
o
θ
1
V
2
V
2
VV
e
vv
⊥怎样分解，能得到最小的误差分量？
1
V
2
V
e
V
212
Vc
6.3正交函数——正交矢量北京邮电大学电信工程学院
5
yx
VVV +=
zyx
VVVV ++=
V
x
V
y
V
V
x
V
z
V
y
V
二维正交集 三维正交集
6.3正交函数——正交矢量北京邮电大学电信工程学院
6
)()()(
212121
ttttfctf <<≈
dttfctf
tt
t
t
2
2121
21
2
)]()([
)(
1 2
1
=
∫
ε
6.3正交函数——正交函数
0})]()([
1
{
2
2121
1212
2
1
=?
∫
dttfctf
ttdc
d t
t
令则误差能量最小。
0
12
2
=
dc
dε
2
ε
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7
dttftfdttf
dc
d
tt
t
t
t
t
)()(2)([
1
21
2
1
1212
2
1
2
1
∫∫
∫
=+
2
1
0])(2
2
212
t
t
dttfc
解得
∫
∫
=
2
1
2
1
)(
)()(
2
2
21
12
t
t
t
t
dttf
dttftf
c
6.3正交函数——正交函数北京邮电大学电信工程学院
8
正交条件
0
12
=c
若，则不包含的分量，
则称正交。
)(
1
tf
)(
2
tf
0)()(
2
1
21
=
∫
t
t
dttftf
正交的条件：
6.3正交函数——正交函数例1：
<<?
<<+
=
)2(1
)0(1
)(
ππ
π
t
t
tf
试用sint 在区间（0，2 ）来近似。
π
)(tf
π
4
1
π
π2
t
0
-
1
π
4
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10
解：
dtt
dtttf
c
∫
∫
=
π
π
2
0
2
2
0
12
sin
sin)(
∫∫
+=
π
π
π
π
2
0
)sin(sin[
1
dtttdt
π
4
=
ttf sin
4
)(
π
≈
所以：
例2：
即：余弦函数 cost不包含正弦信号 sint分量解：
也即：余弦函数 cost与正弦信号 sint正交
( )
。函数之间内来近似表示余弦在区间试用正弦函数
t
t
cos
sin π2,0
由于
0dsincos
2
0
=
∫
π
ttt
所以
0
12
=c
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12
n个函数构成一函数集，
如在区间内满足正交特性，即则此函数集称为正交函数集。
)(),(),(
21
tgtgtg
n
K
),(
21
tt
)(0)()(
2
1
jidttgtg
t
t
ji
≠=
∫
∫
=
2
1
)(
2
t
t
ii
Kdttg
6.3正交函数——正交函数集北京邮电大学电信工程学院
13
)(
)()()()(
1
2211
tgc
tgctgctgctf
n
r
rr
nn
∑
=
=
+++≈ L
i
c
由最小均方误差准则，要求系数满足
∫
∫
∫
==
2
1
2
1
2
1
)()(
1
)(
)()(
2
t
t
t
i
i
t
t
i
t
i
i
dttgtf
K
dttg
dttgtf
c
任一函数由n个互相正交的函数线性组合近似
6.3正交函数——正交函数集基底函数北京邮电大学电信工程学院
14
6.3正交函数——正交函数集
∫
=
2
1
1)(
2
t
t
i
dttg
dttgtfc
t
t
ii
)()(
2
1
∫
=
]
=
∫
∑
=
2
1
1
2
2
12
2
)(
1
t
t
n
r
r
cdttf
tt
ε
归一化正交函数集：
]
=
∫
∑
=
2
1
1
2
2
12
2
)(
1
t
t
r
n
r
r
Kcdttf
tt
ε
在最佳逼近时的误差能量：
r
t
t
r
t
t
r
t
t
r
r
K
ttgtf
ttg
ttgtf
c
∫
∫
∫
==
2
1
2
1
2
1
d)()(
d)(
d)()(
2
正交函数集规定：
所有函数应两两正交。
不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函数集是正交函数。
是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。
n
ccc L,,
21
此公式是个通式，适合于任何正交函数集。
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16
∫
∫
=
2
1
2
1
)()(
)()(
*
22
*
21
12
t
t
t
t
dttftf
dttftf
c
)()(
2121
tfctf ≈
0)()()()(
2
1
2
1
2
*
1
*
21
==
∫∫
t
t
t
t
dttftfdttftf
两复变函数正交的条件是：
6.3正交函数——复变函数的正交特性北京邮电大学电信工程学院
17
6.4 用完备正交集表示信号
)()(
1
tgctf
r
r
r∑
∞
=
=
]
=
∫
∑
=
2
1
)()(
1
1
2
2
12
2
t
t
r
n
r
r
tgcdttf
tt
ε
0lim
2
=
∞→
ε
n
如果用正交函数集 在区间近似表示函数 f(t)：
)(),(),(
21
tgtgtg
n
K
),(
21
tt
则此函数集称为完备正交函数集。
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18
帕塞瓦尔定理信号的能量基底信号的能量各信号分量的能量
∑
∫
∞
=
=
1
22
)(
2
1
r
r
t
t
cdttf
∑
∫
∞
=
=
1
22
2
1
)(
r
rr
t
t
r
Kcdttg
若,应满足以下关系：
0
2
=ε
() () []
∑
∫
∑
∫∫
∞
=
∞
=
==
1
2
1
222
2
1
2
1
2
1
d)(dd
r
t
t
rr
r
t
t
rr
t
t
ttgCttgCttf
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19
对于完备正交函数应满足帕赛瓦尔方程，这一约束规律称为帕赛瓦尔定理。
物理意义,一信号所含有的功率恒等于此信号在完备正交函数集中各分量功率之总和。
6.4 用完备正交集表示信号北京邮电大学电信工程学院
20
另一种定义：在正交集 之外再没有一有限能量的x(t)满足以下条件：
{})(tg
i
∫
=
2
1
0)()(
t
t
i
dttgtx
{ }
∞→n
tjn
e
1
ω
复指数函数集
{ }
∞→n
tn
1
cos ω
{ }
∞→n
tn
1
sin ω
三角函数集
6.4 用完备正交集表示信号北京邮电大学电信工程学院
21
6.6相关
能量信号与功率信号
相关系数与相关函数
相关与卷积的比较
相关定理北京邮电大学电信工程学院
22
在一个周期内,R消耗的能量
∫∫
==
2
2
2
2
2
0
0
0
0
d)(d)(
T
T
T
T
ttiRttpE
∫
=
2
2
2
0
0
d)(
1
T
T
ttv
R
E或平均功率可表示为
∫
=
2
2
2
0
0
0
d)(
1
T
T
ttiR
T
P
∫
=
2
2
2
0
0
0
d)(
11
T
T
ttv
RT
P或设 i(t)为流过电阻 R的电流,v(t)为 R 上的电压
R
)(ti
+
)(tv
Rtitp )()(
2
=
瞬时功率为能量信号与功率信号北京邮电大学电信工程学院
23
∫
∞
∞?
= dttfE
2
)(
能量有限的信号称为能量信号。
信号的归一化能量定义为信号电压
（电流）加到 电阻上所消耗的能量。
1
能量信号与功率信号北京邮电大学电信工程学院
24
∫
=
2
1
2
21
)(
1
T
T
dttf
TT
P
信号功率有限的信号称为功率信号。
=
∫
∞→
2/
2/
2
)(
1
lim
T
T
T
dttf
T
P
能量信号与功率信号
信号平均功率定义为信号电压（电流）在电阻上所消耗的功率。
1
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25
例：判断下面的信号是功率信号还是能量信号 。
为功率信号)(
1
tf∴
()
2
d
2
12cos2
dcos
2
d)(
2
1
2
4
4
2
4
4
2
4
4
2
A
t
t
A
T
ttA
T
ttf
T
P
T
T
T
T
T
T
=
+
=
=
=
∫
∫
∫
ω
ω
=
T
π
ω
2
LL
t
A
O
4
π
4
π
)(tf
∞===∞<<
∞→∞→
T
AT
PEP
TT
42
0
2
limlim
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26
一般规律
c一般周期信号为功率信号 ；
d非周期信号，在有限区间有值，为能量信号；
e还有一些非周期信号，也是非能量信号，
如 u(t)是功率信号；
而 tu(t)为非功率非能量信号;
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
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27
2.相关系数与相关函数
dt
dtty
dttytx
tytx
2
2
2
min
]
)(
)()(
)()([
∫
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
=ε
若用 来近似,设有误差能量使最小即 时误差能量最小。
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
dtty
dttytx
a
)(
)()(
2
2
ε
)(tay
)(tx
0)]()][()([2
2
==
∫
∞
∞?
dttytaytx
da
dε
∫
∞
∞?
= dttaytx
22
)]()([ε
归一化为相对误差能量
2
2
2
min
1
)(
xy
dttx
ρ
ε
=
∫
∞
∞?
相关系数为
2
1
22
)(.)(
)()(
=
∫∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
dttydttx
dttytx
xy
ρ
1≤
xy
ρ
相关系数 从信号能量误差的角度描述了信号的相关特性，利用矢量空间的内积运算给出了定量说明
xy
ρ
)()( tytx、
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29
6.6 相关
f
1
(t)与 f
2
(t)是能量有限信号
f
1
(t)与 f
2
(t)是功率有限信号分如下几种情况讨论：
(1)f
1
(t)与f
2
(t)是能量有限信号
① f
1
(t)与 f
2
(t)为实函数,
相关函数定义,
ttftfR d)()()(
2112
∫
∞
∞?
= ττ ttftf d)()(
21
∫
∞
∞?
+= τ
ttftfR d)()()(
2121
∫
∞
∞?
= ττ
ttftf d)()(
21
∫
∞
∞?
+= τ
可以证明：
)()(
2112
ττ?= RR
ttftfR d)()()(
∫
∞
∞?
= ττ ttftf d)()(
∫
∞
∞?
+= τ
)()( ττ?= RR
τ 的偶函数时，自相关函数为当)()()(
21
tftftf ==
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31
相关函数：
ttftfR d)()()(
*
2112
∫
∞
∞?
= ττ ttftf d)()(
*
21
∫
∞
∞?
+= τ
ttftfR d)()()(
2
*
121
∫
∞
∞?
= ττ ttftf d)()(
2
*
1
∫
∞
∞?
+= τ
ttftfR d)()()(
*
∫
∞
∞?
= ττ ttftf d)()(
*
∫
∞
∞?
+= τ
同时具有性质：
)()(
*
2112
ττ?= RR
)()(
*
ττ?= RR
② f
1
(t)与 f
2
(t)为复函数,
(1)f
1
(t)与f
2
(t)是能量有限信号北京邮电大学电信工程学院
32
相关函数：
=
∫
∞→
2
2
2112
d)()(
1
lim)(
T
T
T
ttftf
T
R ττ
=
∫
∞→
2
2
1221
d)()(
1
lim)(
T
T
T
ttftf
T
R ττ
自相关函数,
=
∫
∞→
2
2
d)()(
1
lim)(
T
T
T
ttftf
T
R ττ
是功率有限信号与)()()2(
21
tftf
是实信号与)()(
21
tftf?
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33
相关函数,
=
∫
∞→
2
2
*
2112
d)()(
1
lim)(
T
T
T
ttftf
T
R ττ
=
∫
∞→
2
2
1
*
221
d)()(
1
lim)(
T
T
T
ttftf
T
R ττ
自相关函数,
=
∫
∞→
2
2
*
d)()(
1
lim)(
T
T
T
ttftf
T
R ττ
是功率有限信号与)()()2(
21
tftf
是复信号与)()(
21
tftf?
3,相关与卷积的关系
∫
∞
∞?
= τττ dthxthtx )()()(*)(
∫
∞
∞?
= dtthtxR
xh
)()()( ττ
∫
∞
∞?
= τττ dthxtR
xh
)()()(
变量互换
h (t)
h (-t)
)(*)()( thtxtR
xh
=
没有反摺两者的关系
)(*)()(
2112
tftftR?=
即,
)(
1
tf )(
2
tf
与 为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。
)(
2
tf
反褶与
)(
1
tf
之卷积即得
)(
1
tf )(
2
tf
与 的相关函数
)(
12
tR
τττ d)()()(*)(
2121
=
∫
∞
∞?
tfftftf
ttftftR d)()()(
2112
∫
∞
∞?
= τ
3,相关与卷积的关系卷积表达式：
与
)(
1
tf )(
2
tf
相关函数表达式,与
)(
1
tf )(
2
tf
位移相乘
M
)(τx
)(τh
l
M
l
l
Ml +
积分
M?
l
反摺
M?
不反摺卷积 相关北京邮电大学电信工程学院
37
总结
( ) ;0,,0)1( 最大相关性最强时自相关在 Rt =
() ( ) ;,)2(
21
则卷积与相关完全相同为实偶函数与若 tftf
(3) 相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶．
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38
例：
解：
( ) ( )的自相关函数。求周期余弦信号tEtf
1
cos ω=
() () ()
() ( )[]
()()() ()()
() ()
()τω
ωτω
τωωτωωω
τωω
ττ
1
1
2
1
11111
11
cos
dcoscos
dsinsincoscoscos
dcoscos
d
2
lim
lim
lim
1
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
E
tt
T
E
tttt
T
E
ttt
T
E
ttftf
T
R
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
=
=
+=
=
=
∫
∫
∫
∫
∞→
∞→
∞→
∞→
1
6.3信号的正交函数分解
正交矢量
正交函数
正交函数集北京邮电大学电信工程学院
2
信号分解的目的将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。
简化系统分析与运算,总响应 =单元响应之和。
() ()
∑
=
=
n
i
i
tete
0
( )te
i
H
( )tr
i
() ()[] () ()
∑∑
==
=
==
n
i
i
n
i
i
trteHteHtr
00
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3
矢量：V1和V2参加如下运算，是它们的差，如下式：
e
VVcV =?
2121
1
V
1
V
2
V
2
V
e
V
e
V
1
V
2
V
e
V
212
Vc
212
Vc
212
Vc
e
V
6.3正交函数——正交矢量
2
21
2
21
1212
.cos
cos
V
VV
V
VV
VVc ===
θ
θ
2
2
21
12
.
V
VV
c =
表示和互相接近的程度。
1
V
2
V
12
c
当，完全重合，。随夹角增大，
减小；当，和相互垂直。
1
V
2
V
1,0
12
== cθ
12
c
0,90
12
== c
o
θ
1
V
2
V
2
VV
e
vv
⊥怎样分解，能得到最小的误差分量？
1
V
2
V
e
V
212
Vc
6.3正交函数——正交矢量北京邮电大学电信工程学院
5
yx
VVV +=
zyx
VVVV ++=
V
x
V
y
V
V
x
V
z
V
y
V
二维正交集 三维正交集
6.3正交函数——正交矢量北京邮电大学电信工程学院
6
)()()(
212121
ttttfctf <<≈
dttfctf
tt
t
t
2
2121
21
2
)]()([
)(
1 2
1
=
∫
ε
6.3正交函数——正交函数
0})]()([
1
{
2
2121
1212
2
1
=?
∫
dttfctf
ttdc
d t
t
令则误差能量最小。
0
12
2
=
dc
dε
2
ε
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7
dttftfdttf
dc
d
tt
t
t
t
t
)()(2)([
1
21
2
1
1212
2
1
2
1
∫∫
∫
=+
2
1
0])(2
2
212
t
t
dttfc
解得
∫
∫
=
2
1
2
1
)(
)()(
2
2
21
12
t
t
t
t
dttf
dttftf
c
6.3正交函数——正交函数北京邮电大学电信工程学院
8
正交条件
0
12
=c
若，则不包含的分量，
则称正交。
)(
1
tf
)(
2
tf
0)()(
2
1
21
=
∫
t
t
dttftf
正交的条件：
6.3正交函数——正交函数例1：
<<?
<<+
=
)2(1
)0(1
)(
ππ
π
t
t
tf
试用sint 在区间（0，2 ）来近似。
π
)(tf
π
4
1
π
π2
t
0
-
1
π
4
北京邮电大学电信工程学院
10
解：
dtt
dtttf
c
∫
∫
=
π
π
2
0
2
2
0
12
sin
sin)(
∫∫
+=
π
π
π
π
2
0
)sin(sin[
1
dtttdt
π
4
=
ttf sin
4
)(
π
≈
所以：
例2：
即：余弦函数 cost不包含正弦信号 sint分量解：
也即：余弦函数 cost与正弦信号 sint正交
( )
。函数之间内来近似表示余弦在区间试用正弦函数
t
t
cos
sin π2,0
由于
0dsincos
2
0
=
∫
π
ttt
所以
0
12
=c
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12
n个函数构成一函数集，
如在区间内满足正交特性，即则此函数集称为正交函数集。
)(),(),(
21
tgtgtg
n
K
),(
21
tt
)(0)()(
2
1
jidttgtg
t
t
ji
≠=
∫
∫
=
2
1
)(
2
t
t
ii
Kdttg
6.3正交函数——正交函数集北京邮电大学电信工程学院
13
)(
)()()()(
1
2211
tgc
tgctgctgctf
n
r
rr
nn
∑
=
=
+++≈ L
i
c
由最小均方误差准则，要求系数满足
∫
∫
∫
==
2
1
2
1
2
1
)()(
1
)(
)()(
2
t
t
t
i
i
t
t
i
t
i
i
dttgtf
K
dttg
dttgtf
c
任一函数由n个互相正交的函数线性组合近似
6.3正交函数——正交函数集基底函数北京邮电大学电信工程学院
14
6.3正交函数——正交函数集
∫
=
2
1
1)(
2
t
t
i
dttg
dttgtfc
t
t
ii
)()(
2
1
∫
=
]
=
∫
∑
=
2
1
1
2
2
12
2
)(
1
t
t
n
r
r
cdttf
tt
ε
归一化正交函数集：
]
=
∫
∑
=
2
1
1
2
2
12
2
)(
1
t
t
r
n
r
r
Kcdttf
tt
ε
在最佳逼近时的误差能量：
r
t
t
r
t
t
r
t
t
r
r
K
ttgtf
ttg
ttgtf
c
∫
∫
∫
==
2
1
2
1
2
1
d)()(
d)(
d)()(
2
正交函数集规定：
所有函数应两两正交。
不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函数集是正交函数。
是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。
n
ccc L,,
21
此公式是个通式，适合于任何正交函数集。
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16
∫
∫
=
2
1
2
1
)()(
)()(
*
22
*
21
12
t
t
t
t
dttftf
dttftf
c
)()(
2121
tfctf ≈
0)()()()(
2
1
2
1
2
*
1
*
21
==
∫∫
t
t
t
t
dttftfdttftf
两复变函数正交的条件是：
6.3正交函数——复变函数的正交特性北京邮电大学电信工程学院
17
6.4 用完备正交集表示信号
)()(
1
tgctf
r
r
r∑
∞
=
=
]
=
∫
∑
=
2
1
)()(
1
1
2
2
12
2
t
t
r
n
r
r
tgcdttf
tt
ε
0lim
2
=
∞→
ε
n
如果用正交函数集 在区间近似表示函数 f(t)：
)(),(),(
21
tgtgtg
n
K
),(
21
tt
则此函数集称为完备正交函数集。
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18
帕塞瓦尔定理信号的能量基底信号的能量各信号分量的能量
∑
∫
∞
=
=
1
22
)(
2
1
r
r
t
t
cdttf
∑
∫
∞
=
=
1
22
2
1
)(
r
rr
t
t
r
Kcdttg
若,应满足以下关系：
0
2
=ε
() () []
∑
∫
∑
∫∫
∞
=
∞
=
==
1
2
1
222
2
1
2
1
2
1
d)(dd
r
t
t
rr
r
t
t
rr
t
t
ttgCttgCttf
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19
对于完备正交函数应满足帕赛瓦尔方程，这一约束规律称为帕赛瓦尔定理。
物理意义,一信号所含有的功率恒等于此信号在完备正交函数集中各分量功率之总和。
6.4 用完备正交集表示信号北京邮电大学电信工程学院
20
另一种定义：在正交集 之外再没有一有限能量的x(t)满足以下条件：
{})(tg
i
∫
=
2
1
0)()(
t
t
i
dttgtx
{ }
∞→n
tjn
e
1
ω
复指数函数集
{ }
∞→n
tn
1
cos ω
{ }
∞→n
tn
1
sin ω
三角函数集
6.4 用完备正交集表示信号北京邮电大学电信工程学院
21
6.6相关
能量信号与功率信号
相关系数与相关函数
相关与卷积的比较
相关定理北京邮电大学电信工程学院
22
在一个周期内,R消耗的能量
∫∫
==
2
2
2
2
2
0
0
0
0
d)(d)(
T
T
T
T
ttiRttpE
∫
=
2
2
2
0
0
d)(
1
T
T
ttv
R
E或平均功率可表示为
∫
=
2
2
2
0
0
0
d)(
1
T
T
ttiR
T
P
∫
=
2
2
2
0
0
0
d)(
11
T
T
ttv
RT
P或设 i(t)为流过电阻 R的电流,v(t)为 R 上的电压
R
)(ti
+
)(tv
Rtitp )()(
2
=
瞬时功率为能量信号与功率信号北京邮电大学电信工程学院
23
∫
∞
∞?
= dttfE
2
)(
能量有限的信号称为能量信号。
信号的归一化能量定义为信号电压
（电流）加到 电阻上所消耗的能量。
1
能量信号与功率信号北京邮电大学电信工程学院
24
∫
=
2
1
2
21
)(
1
T
T
dttf
TT
P
信号功率有限的信号称为功率信号。
=
∫
∞→
2/
2/
2
)(
1
lim
T
T
T
dttf
T
P
能量信号与功率信号
信号平均功率定义为信号电压（电流）在电阻上所消耗的功率。
1
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25
例：判断下面的信号是功率信号还是能量信号 。
为功率信号)(
1
tf∴
()
2
d
2
12cos2
dcos
2
d)(
2
1
2
4
4
2
4
4
2
4
4
2
A
t
t
A
T
ttA
T
ttf
T
P
T
T
T
T
T
T
=
+
=
=
=
∫
∫
∫
ω
ω
=
T
π
ω
2
LL
t
A
O
4
π
4
π
)(tf
∞===∞<<
∞→∞→
T
AT
PEP
TT
42
0
2
limlim
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26
一般规律
c一般周期信号为功率信号 ；
d非周期信号，在有限区间有值，为能量信号；
e还有一些非周期信号，也是非能量信号，
如 u(t)是功率信号；
而 tu(t)为非功率非能量信号;
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
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27
2.相关系数与相关函数
dt
dtty
dttytx
tytx
2
2
2
min
]
)(
)()(
)()([
∫
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
=ε
若用 来近似,设有误差能量使最小即 时误差能量最小。
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
dtty
dttytx
a
)(
)()(
2
2
ε
)(tay
)(tx
0)]()][()([2
2
==
∫
∞
∞?
dttytaytx
da
dε
∫
∞
∞?
= dttaytx
22
)]()([ε
归一化为相对误差能量
2
2
2
min
1
)(
xy
dttx
ρ
ε
=
∫
∞
∞?
相关系数为
2
1
22
)(.)(
)()(
=
∫∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
dttydttx
dttytx
xy
ρ
1≤
xy
ρ
相关系数 从信号能量误差的角度描述了信号的相关特性，利用矢量空间的内积运算给出了定量说明
xy
ρ
)()( tytx、
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29
6.6 相关
f
1
(t)与 f
2
(t)是能量有限信号
f
1
(t)与 f
2
(t)是功率有限信号分如下几种情况讨论：
(1)f
1
(t)与f
2
(t)是能量有限信号
① f
1
(t)与 f
2
(t)为实函数,
相关函数定义,
ttftfR d)()()(
2112
∫
∞
∞?
= ττ ttftf d)()(
21
∫
∞
∞?
+= τ
ttftfR d)()()(
2121
∫
∞
∞?
= ττ
ttftf d)()(
21
∫
∞
∞?
+= τ
可以证明：
)()(
2112
ττ?= RR
ttftfR d)()()(
∫
∞
∞?
= ττ ttftf d)()(
∫
∞
∞?
+= τ
)()( ττ?= RR
τ 的偶函数时，自相关函数为当)()()(
21
tftftf ==
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31
相关函数：
ttftfR d)()()(
*
2112
∫
∞
∞?
= ττ ttftf d)()(
*
21
∫
∞
∞?
+= τ
ttftfR d)()()(
2
*
121
∫
∞
∞?
= ττ ttftf d)()(
2
*
1
∫
∞
∞?
+= τ
ttftfR d)()()(
*
∫
∞
∞?
= ττ ttftf d)()(
*
∫
∞
∞?
+= τ
同时具有性质：
)()(
*
2112
ττ?= RR
)()(
*
ττ?= RR
② f
1
(t)与 f
2
(t)为复函数,
(1)f
1
(t)与f
2
(t)是能量有限信号北京邮电大学电信工程学院
32
相关函数：
=
∫
∞→
2
2
2112
d)()(
1
lim)(
T
T
T
ttftf
T
R ττ
=
∫
∞→
2
2
1221
d)()(
1
lim)(
T
T
T
ttftf
T
R ττ
自相关函数,
=
∫
∞→
2
2
d)()(
1
lim)(
T
T
T
ttftf
T
R ττ
是功率有限信号与)()()2(
21
tftf
是实信号与)()(
21
tftf?
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33
相关函数,
=
∫
∞→
2
2
*
2112
d)()(
1
lim)(
T
T
T
ttftf
T
R ττ
=
∫
∞→
2
2
1
*
221
d)()(
1
lim)(
T
T
T
ttftf
T
R ττ
自相关函数,
=
∫
∞→
2
2
*
d)()(
1
lim)(
T
T
T
ttftf
T
R ττ
是功率有限信号与)()()2(
21
tftf
是复信号与)()(
21
tftf?
3,相关与卷积的关系
∫
∞
∞?
= τττ dthxthtx )()()(*)(
∫
∞
∞?
= dtthtxR
xh
)()()( ττ
∫
∞
∞?
= τττ dthxtR
xh
)()()(
变量互换
h (t)
h (-t)
)(*)()( thtxtR
xh
=
没有反摺两者的关系
)(*)()(
2112
tftftR?=
即,
)(
1
tf )(
2
tf
与 为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。
)(
2
tf
反褶与
)(
1
tf
之卷积即得
)(
1
tf )(
2
tf
与 的相关函数
)(
12
tR
τττ d)()()(*)(
2121
=
∫
∞
∞?
tfftftf
ttftftR d)()()(
2112
∫
∞
∞?
= τ
3,相关与卷积的关系卷积表达式：
与
)(
1
tf )(
2
tf
相关函数表达式,与
)(
1
tf )(
2
tf
位移相乘
M
)(τx
)(τh
l
M
l
l
Ml +
积分
M?
l
反摺
M?
不反摺卷积 相关北京邮电大学电信工程学院
37
总结
( ) ;0,,0)1( 最大相关性最强时自相关在 Rt =
() ( ) ;,)2(
21
则卷积与相关完全相同为实偶函数与若 tftf
(3) 相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶．
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38
例：
解：
( ) ( )的自相关函数。求周期余弦信号tEtf
1
cos ω=
() () ()
() ( )[]
()()() ()()
() ()
()τω
ωτω
τωωτωωω
τωω
ττ
1
1
2
1
11111
11
cos
dcoscos
dsinsincoscoscos
dcoscos
d
2
lim
lim
lim
1
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
E
tt
T
E
tttt
T
E
ttt
T
E
ttftf
T
R
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
=
=
+=
=
=
∫
∫
∫
∫
∞→
∞→
∞→
∞→
