北京邮电大学电信工程学院
1
3.8 周期信号的傅立叶变换正余弦信号的傅立叶变换一般周期信号的傅立叶变换
1,正余弦信号的傅立叶变换
)(]).([
100
1
ωω
ω
=FetfFT
tj
)(2]1[)(
0
ωπδω ==FTF
)]()([
)]([][cos
11
2
1
1
11
ωωδωωδπ
ω
ωω
++=
+=
tjtj
eeFTtFT
北京邮电大学电信工程学院
2
)]()([
)]([
][sin
11
2
1
1
11
ωωδωωδπ
ω
ωω
+=
=
j
eeFT
tFT
tjtj
j
1.正余弦信号的傅立叶变换
3.8 周期信号的傅立叶变换北京邮电大学电信工程学院
3
2.一般周期信号的傅立叶变换
∑
∞
∞=
=
n
jn
n
eFtf
1
)(
ω
由傅立叶级数的指数形式出发：
由一些冲激组成离散频谱
位于信号的谐频处
冲激的强度等于 的 倍
),2,,0(
11
Lωω±
n
F
π2
dtetf
T
F
tjn
T
Tn
1
1
1
2
2
1
)(
1
ω?
∫
=
北京邮电大学电信工程学院
4
周期信号不满足绝对可积条件;
引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的;
在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在的;
周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，
即傅立叶变换是一系列冲激.
2.一般周期信号的傅立叶变换北京邮电大学电信工程学院
5
3.周期性脉冲序列的傅立叶级数与单脉冲的傅立叶变换的关系周期信号 f(t)的傅立叶级数为：
tjn
n
n
eFtf
1
)(
ω
∑
∞
∞=
=
∫
=
2
2
1
1
1
1
).(
1
T
T
tjn
n
dtetf
T
F
ω
傅立叶系数为：
取 f(t)的一个周期，其傅立叶变换为：
∫
=
2
1
2
1
).()(
00
T
T
dtetfF
tjω
ω
1
0
1
)(
1
ωω
ω
n
F
T
F
n
=
=∴
周期脉冲序列的傅立叶级数的系数等于单脉冲的傅立叶变换在频率点 的值乘以 1/T 。
1
ωn
例：若单位冲激函数的间隔为，用符号表示周期单位冲激序列，求周期单位冲激序列的傅立叶级数与傅立叶变换。
1
T
)(t
T
δ
∑
∑
∞
∞=
∞
∞=
=
=
n
tjn
n
n
T
eF
nTtt
1
.
)()(
1
ω
δδ
1
1
1
).(
1
2
1
2
1
1
T
dtet
T
F
T
T
tjn
Tn
=
=
∫
ω
δ
∑
∞
∞=
=
n
tjn
T
e
T
t
ω
δ
1
1
)(
)(2)]([
1
ωωδπ nFtfFT
n
n
=
∑
∞
∞=
)()]([)(
21
11
1
1
1
∑
∞
∞=
==∴==
n
Tn
ntFTF
TT
F ωωδωδω
π
ωQ
的频谱密度函数仍然是冲激序列，强度和间隔都是
)(t
T
δ
1
ω
)(tδ
0
t
)(
0
ωF
1
)1(
0
ω
)(t
T
δ
1
T
t
n
F
0
ω
0
ω
)(ωF
1
ω
1
ω?
1
2ω
1
2ω1
ω
1
ω?
1
2ω?
1
ω
1
1
T
FS
FT
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9
单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较：
单脉冲的频谱 是连续谱，它的大小是有限值；
周期信号的谱 是离散谱，它的大小用冲激表示,间隔为 ；
)(
0
ωF
)(ωF
1
ω
3.8 周期信号的傅立叶变换求：周期矩形脉冲序列的傅立叶变换
)
2
()(
1
)(
1
11
0
1
1
τωτ
ωω
ωω
n
Sa
T
E
n
F
T
nF =
=
=
解：
求：周期矩形脉冲序列的傅立叶变换北京邮电大学电信工程学院
12
3.9抽样信号的傅立叶变换时域抽样的傅立叶变换矩形抽样冲激抽样频域抽样
1基本概念
（1）抽样
——从连续时间信号中提取离散样本的过程。
抽样即时间轴上离散化的过程。抽样若按抽样间隔来分，可分为均匀抽样与非均匀抽样。
如何从连续时间信号中提取离散样本？
抽样原理图在没有任何约束的条件下，离散时间样本不能唯一地表示连续时间信号。因为有无限多个信号都可以产生一组给定的样本值。
一个连续时间信号必须在某一种条件下才能由其样本来表示。
（2）抽样的必要性对连续信号而言，随着数字处理技术的发展，越来越迫切地要求连续信号的离散化。
看似连续的信号是可以由其离散的样本值来表征的。
（1）抽样一个样本相同，信号不同的例子。
北京邮电大学电信工程学院
15
（3）理想抽样理想抽样就是以周期性冲激串来对连续时间信号进行抽样。
其原理图如下：
∑
+∞
∞=
==
n
T
nTtttp )()()( δδ
)(tf )(tf
s
T--采样间隔，ω
s
=2π/T为抽样频率。
北京邮电大学电信工程学院
16
∫
=
2/
2/
)(
1 s
s
s
T
T
tjn
s
n
dtetp
T
P
ω
)()()()()(
s
n
ns
L
s
nFPFtptftf ωωω?=?→?=
∑
∞
∞=
则抽样信号
2,时域抽样抽样信号的频谱等效于连续信号的频谱以间隔周期重复，幅度被加权。
)(tf
s
)(ω
s
F
n
P
)(tf
s
ω
)(ωF
)
2
(
1
)(
1
2
2
2
2
τωτ
τ
τ
ω
ω
s
s
tjn
s
T
T
tjn
s
n
n
Sa
T
E
dtEe
T
dtetp
T
P
s
s
s
s
=
=
=
∫
∫
(1) 矩形脉冲抽样
)()
2
()(
s
n
s
s
s
nF
n
Sa
T
E
F ωω
τωτ
ω
ω
=
∑
∞
=
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18
(2) 冲激抽样：抽样脉冲序列p(t)是冲激序列。
)()()(
s
n
T
nTtttp?==
∑
∞
∞=
δδ
)()()( ttftf
Ts
δ=
)(
1
)(
∑
∞
∞=
=
n
s
s
s
nF
T
F ωωω
s
tjn
T
s
n
T
dtet
T
P
Ts
Ts
s
1
).(
1
2
2
=
=
∫
ω
δ
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19
(3) 时域分析
∑
+∞
∞=
=
n
nTttp )()( δ
∑
+∞
∞=
==
n
s
nTttftptftf )()()()()( δ
)()(
∑
+∞
∞=
=
n
nTtnTf δ
)()()( tptftf
s
=
北京邮电大学电信工程学院
20
(4) 频域分析
)
2
(
2
)(
∑
+∞
∞=
=
k
T
k
T
jP
π
ωδ
π
ω
[])()(
2
1
)( ωω
π
ω jPjFjF
s
=
∑
+∞
∞=
=
k
ss
kjF
T
jF ))((
1
)( ωωω
)()( ωjFtf?
北京邮电大学电信工程学院
21
2.时域抽样对连续时间信号在时域理想抽样，就相当于在频域以抽样频率ω
s
为周期进行延拓，
幅值减小1/T。要使频谱不混迭，就必须使信号带限，且
Ms
MMs
ωω
ωωω
2≥
≥?
这就是时域抽样的约束条件。
3,频域抽样
)()(
1
1
ωωδωδ
ω
n
n
=
∑
∞
∞=
连续信号的频谱抽样后对应的信号等效于以周期重复。
)(tf
)(ωF
)(
1
tf
)(tf
1
1
2
ω
π
=T
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23
3.10抽样定理如何从抽样信号中恢复原连续信号，
以及在什么条件下才可以无失真地完成这种恢复作用？
北京邮电大学电信工程学院
24
3.10抽样定理一个频率有限信号,如果频谱只占据的范围，则信号 可以用等间隔的抽样值来唯一地表示。而抽样间隔不大于,（其中 ），或者说最低抽样频率为 。
奈奎斯特频率：
)(tf
mm
ωω +→?
)(tf
m
f2
1
mm
fπω 2=
m
f2
ms
ωω 2=
(1) 时域抽样定理该定理称为奈奎斯特定理,抽样频率称为奈奎斯特频率。
低抽样率时的抽样信号及频谱（混叠）
3.10抽样定理北京邮电大学电信工程学院
26
(2) 信号恢复
>
<
=
m
ms
T
H
ωω
ωω
ω
0
)(
其中，
)()()( ωωω HFF
s
=
抽样频谱 连续信号在满足时域抽样定理条件下使
→?
恢复北京邮电大学电信工程学院
27
重建原信号的必要条件不满足此条件，就要发生频谱混叠现象。
“奈奎斯特抽样间隔”是最大抽样间隔，称为
m
s
f
T
2
1
=
频率”，称为“奈奎斯特抽样是最低允许的抽样频率
ms
ff 2=
3.10抽样定理例：已知带限于100Hz，
带限于400Hz，若对下列信号进行抽样，试求信号的抽样率。
)(
1
tx )(
2
tx
)2/()()(
211
txtxty += )()2()(
212
txtxty +=
)()()(
213
txtxty?=
)()()(
214
txtxty?=
Hzf
s
400≥
Hzf
s
800≥
Hzf
s
1000≥ Hzf
s
200≥
5.9从抽样信号恢复连续时间信号
从冲激抽样信号恢复连续时间信号的时域分析
)()()( thtxtx
pr
=
)()()( ωωω jHjXjX
pr
=
)()()(
∑
+∞
∞=
=
n
p
nTtnTxtx δ
∑
+∞
∞=
=
n
r
nTthnTxtx )()()(
北京邮电大学电信工程学院
30
内插恢复的时域分析取ω
c
=ω
s
/2=π/T
第一个过零点的值＝π/ω
c
=T
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31
5.9从抽样信号恢复连续时间信号
问题的提出在实际电路中，产生时宽窄且幅度大的函数比较困难
δ
采用其它抽样方式
问题的解决北京邮电大学电信工程学院
32
零阶抽样保持零阶保持
)(tx )(
0
tx
)(tp
)(tx
)(tx
p
)(
0
th
T0
)(
0
tx
零阶保持电路脉冲p(t)对f(t)抽样，
保持这一样本值直到下一个抽样瞬间为止北京邮电大学电信工程学院
33
5.9从抽样信号恢复连续时间信号
零阶抽样保持为复原 频谱，在接收端不应利用理想低通滤波器，而是需要引入具有如下补偿特性的低通滤波器。
)(ωF
>
≤
=
)(0
)(
)(
)(
2
2
2
2
s
s
s
s
T
T
j
Sa
e
jH
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
解：
解：
1
3.8 周期信号的傅立叶变换正余弦信号的傅立叶变换一般周期信号的傅立叶变换
1,正余弦信号的傅立叶变换
)(]).([
100
1
ωω
ω
=FetfFT
tj
)(2]1[)(
0
ωπδω ==FTF
)]()([
)]([][cos
11
2
1
1
11
ωωδωωδπ
ω
ωω
++=
+=
tjtj
eeFTtFT
北京邮电大学电信工程学院
2
)]()([
)]([
][sin
11
2
1
1
11
ωωδωωδπ
ω
ωω
+=
=
j
eeFT
tFT
tjtj
j
1.正余弦信号的傅立叶变换
3.8 周期信号的傅立叶变换北京邮电大学电信工程学院
3
2.一般周期信号的傅立叶变换
∑
∞
∞=
=
n
jn
n
eFtf
1
)(
ω
由傅立叶级数的指数形式出发：
由一些冲激组成离散频谱
位于信号的谐频处
冲激的强度等于 的 倍
),2,,0(
11
Lωω±
n
F
π2
dtetf
T
F
tjn
T
Tn
1
1
1
2
2
1
)(
1
ω?
∫
=
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4
周期信号不满足绝对可积条件;
引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的;
在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在的;
周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，
即傅立叶变换是一系列冲激.
2.一般周期信号的傅立叶变换北京邮电大学电信工程学院
5
3.周期性脉冲序列的傅立叶级数与单脉冲的傅立叶变换的关系周期信号 f(t)的傅立叶级数为：
tjn
n
n
eFtf
1
)(
ω
∑
∞
∞=
=
∫
=
2
2
1
1
1
1
).(
1
T
T
tjn
n
dtetf
T
F
ω
傅立叶系数为：
取 f(t)的一个周期，其傅立叶变换为：
∫
=
2
1
2
1
).()(
00
T
T
dtetfF
tjω
ω
1
0
1
)(
1
ωω
ω
n
F
T
F
n
=
=∴
周期脉冲序列的傅立叶级数的系数等于单脉冲的傅立叶变换在频率点 的值乘以 1/T 。
1
ωn
例：若单位冲激函数的间隔为，用符号表示周期单位冲激序列，求周期单位冲激序列的傅立叶级数与傅立叶变换。
1
T
)(t
T
δ
∑
∑
∞
∞=
∞
∞=
=
=
n
tjn
n
n
T
eF
nTtt
1
.
)()(
1
ω
δδ
1
1
1
).(
1
2
1
2
1
1
T
dtet
T
F
T
T
tjn
Tn
=
=
∫
ω
δ
∑
∞
∞=
=
n
tjn
T
e
T
t
ω
δ
1
1
)(
)(2)]([
1
ωωδπ nFtfFT
n
n
=
∑
∞
∞=
)()]([)(
21
11
1
1
1
∑
∞
∞=
==∴==
n
Tn
ntFTF
TT
F ωωδωδω
π
ωQ
的频谱密度函数仍然是冲激序列，强度和间隔都是
)(t
T
δ
1
ω
)(tδ
0
t
)(
0
ωF
1
)1(
0
ω
)(t
T
δ
1
T
t
n
F
0
ω
0
ω
)(ωF
1
ω
1
ω?
1
2ω
1
2ω1
ω
1
ω?
1
2ω?
1
ω
1
1
T
FS
FT
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9
单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较：
单脉冲的频谱 是连续谱，它的大小是有限值；
周期信号的谱 是离散谱，它的大小用冲激表示,间隔为 ；
)(
0
ωF
)(ωF
1
ω
3.8 周期信号的傅立叶变换求：周期矩形脉冲序列的傅立叶变换
)
2
()(
1
)(
1
11
0
1
1
τωτ
ωω
ωω
n
Sa
T
E
n
F
T
nF =
=
=
解：
求：周期矩形脉冲序列的傅立叶变换北京邮电大学电信工程学院
12
3.9抽样信号的傅立叶变换时域抽样的傅立叶变换矩形抽样冲激抽样频域抽样
1基本概念
（1）抽样
——从连续时间信号中提取离散样本的过程。
抽样即时间轴上离散化的过程。抽样若按抽样间隔来分，可分为均匀抽样与非均匀抽样。
如何从连续时间信号中提取离散样本？
抽样原理图在没有任何约束的条件下，离散时间样本不能唯一地表示连续时间信号。因为有无限多个信号都可以产生一组给定的样本值。
一个连续时间信号必须在某一种条件下才能由其样本来表示。
（2）抽样的必要性对连续信号而言，随着数字处理技术的发展，越来越迫切地要求连续信号的离散化。
看似连续的信号是可以由其离散的样本值来表征的。
（1）抽样一个样本相同，信号不同的例子。
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15
（3）理想抽样理想抽样就是以周期性冲激串来对连续时间信号进行抽样。
其原理图如下：
∑
+∞
∞=
==
n
T
nTtttp )()()( δδ
)(tf )(tf
s
T--采样间隔，ω
s
=2π/T为抽样频率。
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16
∫
=
2/
2/
)(
1 s
s
s
T
T
tjn
s
n
dtetp
T
P
ω
)()()()()(
s
n
ns
L
s
nFPFtptftf ωωω?=?→?=
∑
∞
∞=
则抽样信号
2,时域抽样抽样信号的频谱等效于连续信号的频谱以间隔周期重复，幅度被加权。
)(tf
s
)(ω
s
F
n
P
)(tf
s
ω
)(ωF
)
2
(
1
)(
1
2
2
2
2
τωτ
τ
τ
ω
ω
s
s
tjn
s
T
T
tjn
s
n
n
Sa
T
E
dtEe
T
dtetp
T
P
s
s
s
s
=
=
=
∫
∫
(1) 矩形脉冲抽样
)()
2
()(
s
n
s
s
s
nF
n
Sa
T
E
F ωω
τωτ
ω
ω
=
∑
∞
=
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(2) 冲激抽样：抽样脉冲序列p(t)是冲激序列。
)()()(
s
n
T
nTtttp?==
∑
∞
∞=
δδ
)()()( ttftf
Ts
δ=
)(
1
)(
∑
∞
∞=
=
n
s
s
s
nF
T
F ωωω
s
tjn
T
s
n
T
dtet
T
P
Ts
Ts
s
1
).(
1
2
2
=
=
∫
ω
δ
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19
(3) 时域分析
∑
+∞
∞=
=
n
nTttp )()( δ
∑
+∞
∞=
==
n
s
nTttftptftf )()()()()( δ
)()(
∑
+∞
∞=
=
n
nTtnTf δ
)()()( tptftf
s
=
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20
(4) 频域分析
)
2
(
2
)(
∑
+∞
∞=
=
k
T
k
T
jP
π
ωδ
π
ω
[])()(
2
1
)( ωω
π
ω jPjFjF
s
=
∑
+∞
∞=
=
k
ss
kjF
T
jF ))((
1
)( ωωω
)()( ωjFtf?
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2.时域抽样对连续时间信号在时域理想抽样，就相当于在频域以抽样频率ω
s
为周期进行延拓，
幅值减小1/T。要使频谱不混迭，就必须使信号带限，且
Ms
MMs
ωω
ωωω
2≥
≥?
这就是时域抽样的约束条件。
3,频域抽样
)()(
1
1
ωωδωδ
ω
n
n
=
∑
∞
∞=
连续信号的频谱抽样后对应的信号等效于以周期重复。
)(tf
)(ωF
)(
1
tf
)(tf
1
1
2
ω
π
=T
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3.10抽样定理如何从抽样信号中恢复原连续信号，
以及在什么条件下才可以无失真地完成这种恢复作用？
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3.10抽样定理一个频率有限信号,如果频谱只占据的范围，则信号 可以用等间隔的抽样值来唯一地表示。而抽样间隔不大于,（其中 ），或者说最低抽样频率为 。
奈奎斯特频率：
)(tf
mm
ωω +→?
)(tf
m
f2
1
mm
fπω 2=
m
f2
ms
ωω 2=
(1) 时域抽样定理该定理称为奈奎斯特定理,抽样频率称为奈奎斯特频率。
低抽样率时的抽样信号及频谱（混叠）
3.10抽样定理北京邮电大学电信工程学院
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(2) 信号恢复
>
<
=
m
ms
T
H
ωω
ωω
ω
0
)(
其中，
)()()( ωωω HFF
s
=
抽样频谱 连续信号在满足时域抽样定理条件下使
→?
恢复北京邮电大学电信工程学院
27
重建原信号的必要条件不满足此条件，就要发生频谱混叠现象。
“奈奎斯特抽样间隔”是最大抽样间隔，称为
m
s
f
T
2
1
=
频率”，称为“奈奎斯特抽样是最低允许的抽样频率
ms
ff 2=
3.10抽样定理例：已知带限于100Hz，
带限于400Hz，若对下列信号进行抽样，试求信号的抽样率。
)(
1
tx )(
2
tx
)2/()()(
211
txtxty += )()2()(
212
txtxty +=
)()()(
213
txtxty?=
)()()(
214
txtxty?=
Hzf
s
400≥
Hzf
s
800≥
Hzf
s
1000≥ Hzf
s
200≥
5.9从抽样信号恢复连续时间信号
从冲激抽样信号恢复连续时间信号的时域分析
)()()( thtxtx
pr
=
)()()( ωωω jHjXjX
pr
=
)()()(
∑
+∞
∞=
=
n
p
nTtnTxtx δ
∑
+∞
∞=
=
n
r
nTthnTxtx )()()(
北京邮电大学电信工程学院
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内插恢复的时域分析取ω
c
=ω
s
/2=π/T
第一个过零点的值＝π/ω
c
=T
北京邮电大学电信工程学院
31
5.9从抽样信号恢复连续时间信号
问题的提出在实际电路中，产生时宽窄且幅度大的函数比较困难
δ
采用其它抽样方式
问题的解决北京邮电大学电信工程学院
32
零阶抽样保持零阶保持
)(tx )(
0
tx
)(tp
)(tx
)(tx
p
)(
0
th
T0
)(
0
tx
零阶保持电路脉冲p(t)对f(t)抽样，
保持这一样本值直到下一个抽样瞬间为止北京邮电大学电信工程学院
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5.9从抽样信号恢复连续时间信号
零阶抽样保持为复原 频谱，在接收端不应利用理想低通滤波器，而是需要引入具有如下补偿特性的低通滤波器。
)(ωF
>
≤
=
)(0
)(
)(
)(
2
2
2
2
s
s
s
s
T
T
j
Sa
e
jH
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
解：
解：
