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1
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
拉普拉斯变换
系统函数
系统函数的零、极点分布分析
线性系统的稳定性
拉氏变换与傅氏变换的关系北京邮电大学电信工程学院
2
拉氏变换作用？
目前，在连续、线性、
时不变系统分析中，利用拉氏变换建立的系统函数及其零、极点分析的概念仍发挥重要作用。
4.1 引言
2
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3
求解常系数微分方程的步骤得到简化，初始条件被自动计入，应用更加普遍。
将,微分,与,积分,运算转换为,乘法,和,除法,
指数函数等以及有不连续点的函数，经拉氏变换可转换为简单的初等函数
时域中两函数的卷积运算转换为变换域中两函数的乘法运算，建立了系统函数的概念
利用系统函数零、极点分布可以简明描述系统性能拉氏变换优点北京邮电大学电信工程学院
4
4.2 拉氏变换的定义、收敛域不满足狄里赫利条件的几种情况傅氏变换到拉氏变换
)0( >ae
at
t
1
cosω
增长信号周期信号
)(tu
t
etu
σ?
)(
)(,aee
tat
>
σ
σ
te
t
1
cosω
σ?
若乘一衰减因子,
为任意实数，则收敛，满足狄里赫利条件
σ
t
e
σ?
t
etf
σ?
).(
3
傅氏变换,实频率 是振荡频率拉氏变换,复频率 S 是振荡频率,是衰减因子
ω
ω σ
t
etftf
σ?
= )()(
1
)()()(
)(
1
ωσω
ωσ
jFdtetfF
tj
+==
∫
∞
∞?
+?
∫
∞
∞?
= dtetfsF
st
)()(
象函数为复数，具有频率量纲，称为复频率 。ωσ js +=
ωσ js +=
t
etftf
σ?
= )()(
1
dtetfjF
tj
∫
∞
∞?
+?
=+
)(
)()(
ωσ
ωσ
∫
∞
∞?
+= ωωσ
π
ωσ
dejFetf
tjt
)(
2
1
)(
dsesF
j
tf
j
j
st
∫
∞+
∞?
=∴
σ
σ
π
)(
2
1
)(
原函数
∫
∞
∞?
+
+= ωωσ
π
ωσ
dejFtf
tj )(
)(
2
1
)(
ωσ
ωσωσ
jdds
jdddsjs
=
+=+=
为常量，则
，所以已知,
4
对于 系统，相应的单边拉氏变换为：
0
dsesF
j
tf
j
j
st
∫
∞+
∞?
=
σ
σ
π
)(
2
1
)(
∫
∞
∞?
= dtetfsF
st
)()(
拉氏变换拉氏反变换
∫
∞
=
0
)()( dtetfsF
st
单边拉氏变换为
dsesF
j
tf
j
j
st
∫
∞+
∞?
=
σ
σ
π
)(
2
1
)(
∫
∞
=
0
)()( dtetfsF
st
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8
4.2 拉氏变换的定义、收敛域傅氏变换和拉氏变换差别傅氏变换拉氏变换
)()( ωFtf? )()( sFtf?
s 不但能给出重复频率，
还能表示幅度的增长速率或衰减速率只能描述振荡频率
ω
是实数和ωt
是复数是实数st,
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)(0)(lim
0
σσ
σ
>=
∞→
t
t
etf即：
收敛域：使 F(s)存在的 s的区域称为收敛域。
0
σσ=
σ
以为界0
σ
ωj
收敛区收敛轴记为 ROC（ Region of Convergence）,
4.2 拉氏变换的定义、收敛域北京邮电大学电信工程学院
10
有始有终信号和能量有限信号的拉氏变换一定存在
等幅振荡信号和增长信号如 0
0
=σ
或
a=
0
σ
σ
ωj
整个平面
σ
ωj
a=
0
σ
以为界0
σ
拉氏变换的收敛域满足的信号称为指数阶信号,?
)(0)(lim
0
σσ
α
>=
∞→
t
t
etf
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11
不收敛信号 )0(,
22
∞≤≤ttee
tt
是非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
除非
)0( Tt ≤≤
也称为指数阶信号。),0(0
lim
>=?
∞→
σ
σtn
t
et
一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围拉氏变换的收敛域北京邮电大学电信工程学院
12
一些常用函数的拉氏变换阶跃函数 u(t)
ss
e
dtetuL
st
st
1
0
)]([
0
=
∞
==
∞+
∫
)(
1
0
][
)(
0
a
sasa
e
dteeeL
tsa
statat
>
+
=
∞
+
==
+?
∞+
∫
σ
)0(
!
][
1
0
>==
+
+∞
∫
n
s
n
dtettL
n
stnn
指数函数
at
e
增长函数
n
t
7
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冲激函数
1)()]([
0
==
∫
+∞
dtettL
st
δδ
0
0
00
)()]([
stst
edtettttL
+∞
=?=?
∫
δδ
一些常用函数的拉氏变换北京邮电大学电信工程学院
14
4.3 拉氏变换的基本性质
(1) 线性例,求单边正弦、余弦信号的拉氏变换。
)
2
)((cos)()(
tjtj
ee
tuttutf
ωω
ω
+
==
22
2
1
)
11
()(
ωωω +
=
+
+
=∴
S
S
jSjS
SF
sa
eL
at
+
=
1
][
22
2
1
)
11
(]sin)([:
ω
ω
ωω +
=
+
=
SjjSjS
ttuL同理解,
8
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15
(2) 时域平移性
∫
+∞
=
0
0000
)]()([)]()([ dtettuttfttuttfL
st
证明：
∫
+∞
=
0
)(
0
t
st
dtettf
)()(
00
0
sFedeef
stsst?
+∞
∫
== ττ
τ
4.3 拉氏变换的基本性质例,已知 f(t)=tu(t-1)，求 f(t) 的拉氏变换。
)]1()1()1[()]1([)(?+=?= tututLttuLSF
s
e
ss
+= )
11
(
2
例,已知,求 f(t) 的拉氏变换。
)()
4
cos(2)( tuttf
π
+=
)()sin(cos)()
4
sinsin2
4
coscos2()( tutttutttf?=?=
ππ
222
1
1
)
1
1
1
()(
s
s
ss
s
sF
+
=
+
+
=∴
解,
解,
9
(3) 时域微分性拉氏变换已考虑了初始条件证明：
∫∫
∞
∞+
∞
==
00
'
])([
0
)()(]
)(
[ dtetsfetfdtetf
dt
tdf
L
ststst
)0()(
= fssF
可推广至：
)0()(
)(
)(
1
0
1
=
∑
→?
r
n
r
rnn
n
n
fssFs
dt
tfd
L
)0()(
)(
)()(
→?
→?
fssF
dt
tdf
sFtf
L
L
则若北京邮电大学电信工程学院
18
电感的s域模型故电路等效为：
电感的 s域模型
)(ti
L
+?)(tU
L
L
)()]([),()]([ sUtULsItiL
LLLL
==设
)0()()]0()([)(
=?=∴
LLLLL
LissLIissILsU
dt
tdi
LtU
L
L
)(
)( =
10
(4) 时域积分性证明：
s
sF )(
=
s
f
s
sF
df
sFtf
t
)0()(
)(
)()(
)1(?
∞?
+?→?
→?
∫
L
L
ττ则若北京邮电大学电信工程学院
20
电容器的s域模型
C
+?)(tv
C
)(ti
C
+?
)(sI
C
SC
1
)(SV
C
)0(
1
CS
v
电容器的
S 域模型电路等效为
)()]([),()]([ sVtvLsItiL
CcCc
==设
∫
∞?
=
t
cc
i
C
tv ττ d)(
1
)(
)0(
1
)(
1
]
)0()(
[
1
)(
)1(
+=+=∴
cc
cc
c
v
s
sI
sCs
i
s
sI
C
sV
11
例：求图示函数的拉氏变换。
解,
方法一：利用叠加性和时延性方法二：利用微分、积分定理
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23
(5) 尺度变换性
)0,0()(
1
)( >>→?
bae
a
s
F
a
batf
a
b
s
例,已知函数,求 的拉氏变换。
)4()()(= tAutAutf )22(?tf
解,
)1()]([
44 ss
e
s
A
e
s
A
s
A
tfL
=?=
sss
ee
s
A
e
s
FtfL
==? )1(
2
2
1
)
2
(
2
1
)]22([
2
)0()(
1
)(
)()(
>?→?
→?
a
a
s
F
a
atf
sFtf
L
L
则若北京邮电大学电信工程学院
24
（6）s域平移性例,求 的拉氏变换。
)cos()( tetf
at
ω
=
22
)][cos(
s
s
tL
+
=
ω
ωQ
解,
22
)(
)]cos([
as
as
teLs
at
++
+
=∴
ω
ω域平移性得由
)()(
)()(
asFetf
sFtf
at
+?→?
→?
L
L
则若
13
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25
（7）s域微分性
)(
)(
)1()(为正整数n
ds
sdF
tft
n
n
nn
→
（8）s域积分性
∫
∞
→
→
s
dssF
t
tf
sFtf
)(
)(
),()(
则若
4.3 拉氏变换的基本性质
ds
ssdF
ttf
sFtf
)(
)(
)()(
→
→?
L
L
则若北京邮电大学电信工程学院
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(9)卷积
4.3 拉氏变换的基本性质
)()()()(
)()(
2
1
)()(
)()(),()(
2121
2121
2211
sFsFtftf
sFsF
i
tftf
sFtfsFtf
→?
→
→→?
π
L
LL
则若
14
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27
(10) 极值性证明,由原函数微分定理知
∫
+∞
=
0
'
)( dtetf
st
]
)(
[)0()(
dt
tdf
LfssF =?
4.3 拉氏变换的基本性质
)]([lim)(lim
)]([lim)0(
]
)(
[
)(
),()(
0
11
ssFtf
ssFf
dt
tdf
dt
tdf
sFtf
st
s
→∞→
∞→
→→?
＝终值
＝则初值若
＋
L
LL
∫
∫∫
∞+
+
+∞
+
+
+
+?=
+=
0
'
0
'
0
0
'
)()0()0(
)()(
dtetfff
dtetfdtetf
st
stst
dte
dt
tdf
fssF
st
∫
∞
+
+
+=∴
0
)(
)0()(
0]lim[
)(
]
)(
lim[
00
==
∞→
∫∫
∞
∞→
∞
∞→
++
dte
dt
tdf
dte
dt
tdf
s
st
s
st
s
极限为时，上式右端第二项的当
)0()(lim
+
∞→
=∴ fssF
s
)0()(lim)0(
)(
lim)0()(lim
000
+
∞→
+
∞
→
+
→
+=+=∴
∫
+
ftffdte
dt
tdf
fssF
t
st
ss
)(lim)(lim
0
ssFtf
st →∞→
=∴
初值定理终值定理
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29
注意
2,终值定理仅当 sF(s)在 s平面的虚轴上及其右边都没有极点 时，才可应用。
1)(lim)(lim)0(
0
===
∞→→
+
+
ssFtff
st
解,
例,已知,求 。
)0(
+
f
s
sF
1
)( =
ksFsF?= )()(
1
F(s) 中有常数项，说明 f(t) 中有 项。
)(tδ
1,初值定理中要求 是真分式。
)(
1
sF
)]([lim])([lim)0(
1
ssFksssFf
ss ∞→∞→
+
=?=
例,已知,求 。 )(sF
)0(
+
f
解,
16
例,求图示信号的拉氏变换。
解,
周期性矩形信号的第一个周期的信号可以表示为：
)()()(
1
τ= tututf
)()()()()()()(
111
nTtunTtfTtuTtftutftf
T
++= L
)1(
111
)()]([
11
ττ ss
e
s
e
ss
sFtfL
=?==
sT
s
T
es
e
tfL
=∴
1
11
)]([
τ
周期化因子
sT
T
e
tL
=
1
1
)]([δ
∑
∞
=
=++=
0
1111
)()()()()]([
n
nsTsnTsT
T
esFesFesFsFtfL L
sT
e
sF
=
1
1
)(
1
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33
4.4 拉普拉斯逆变换
1.部分分式分解法采用部分分式分解的方法，
把 F(s)分解为若干简单函数之和，逐个求得逆变换。
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34
1.部分分式分解
4.4 拉普拉斯逆变换
18
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35
1.部分分式分解 （极点为实数，无重根,m<n）
))()((
)(
321
)(
pspsps
sA
sF
=
3
3
2
2
1
1
)(
ps
K
ps
K
ps
K
sF
++=
tptptp
eKeKeKtf
321
321
)( ++=
需要确定
i
psii
sFpsK
=
= |)()(
1
K
2
K
3
K
4.4 拉普拉斯逆变换北京邮电大学电信工程学院
36
1.部分分式分解
（包含共轭复数极点）
]))[((
)(
22
)(
βα ++
=
ssD
sA
sF
))((
1
1))((
1
)(
)(
)(
βαβαβαβα jsjsjsjssD
sA
sF
++?+++?+
×=×=
++=
++?+ )()(
21
βαβα js
K
js
K
4.4 拉普拉斯逆变换
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37
将 F(s)中与共轭复数极点有关部分的逆变换用 表示
)(tf
c
β
βα
βα
βα
j
jF
sFjsK
js
2
)(
|)()(
1
1
+?
=?+=
+?=
=
12
KK
jBAK +=
1
令
)]sin()cos([2)(
][)(
11
211
tBtAeeKeKe
js
K
js
K
Ltf
ttjtjt
c
ββ
βαβα
αββα
=+=
++
+
+
=
1.部分分式分解
（包含共轭复数极点）
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38
1,部分分式分解 （有多重极点）
)()(
)(
1
)(
sDps
sA
k
sF
=
)(
)(
)()()(
1
1
1
1
12
1
11
sD
sE
ps
K
ps
K
ps
K
k
kk
++++=
k
sD
sEk
k
pspsKpsKKsF )()()()(
1)(
)(1
11112111
+?++?+=
1
1
1
|)(
1)!1(
1
1 ps
ds
d
ii
sFK
i
i
=?
=
ki,,2,1=
1
|)()(
111 ps
k
sFpsK
=
=
欲确定 )()()(
11
sFpssF
k
=
令求得：
4.4 拉普拉斯逆变换
20
已知,求其逆变换 。
)3)(1(
)5)(2(10
)(
++
++
=
sss
ss
sF
)3(3
10
1
20
3
100
)(
+
+
=∴
sss
sF
)()
3
10
20
3
100
()(
3
tueetf
tt
=∴
21
例 2,已知,求其逆变换 。
)2)(52(
3
)(
2
2
+++
+
=
sss
s
sF
[ ]{ } )()2sin()2cos(2)(
2
5
7
5
2
5
1
tuettesF
tt
++?=∴
22
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43
2,用留数定理求逆变换
4.4 拉普拉斯逆变换北京邮电大学电信工程学院
44
1
|])()([
1
1
)!1(
1
ps
stk
i
k
k
ki
esFps
ds
d
r
=
=
2,用留数定理求逆变换
23
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45
3,两种特殊情况
(1) 非真分式 ——化为真分式＋多项式
(2) 的有理分式
s
e
项不参加部分分式运算，
求解时利用时移性质。
s
e
4.4 拉普拉斯逆变换北京邮电大学电信工程学院
46
例 1：求 的逆变换 。
23
795
)(
2
23
++
+++
=
ss
sss
sF
解,作长除法
)(2
)2)(1(
3
2)(
1
sFs
ss
s
ssF
++=
++
+
++=∴
2
1
1
2
)(
1
+
+
=
ss
sF
)()(2)(2)()(
2'
tuetuetttf
tt
++= δδ
24
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47
例 2：求 的逆变换。
23
)(
2
5
++
=
ss
e
sF
s
解：
s
s
esF
ss
e
sF
5
1
2
5
)(
23
)(
=
++
=
2
1
1
1
)(
1
+
+
=
ss
sF
)()()]([)(
2
1
1
1
tueesFLtf
tt
==∴
)5()()5()(
)5(2)5(
1
=?=∴
tueetftf
tt
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48
逆变换小结当 F(s)为有理分式时，可用部分分式分解和查表求得逆变换当 F(s)为无理分式时，需利用留数定理求逆变换
4.4 拉普拉斯逆变换
25
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49
4.5 用拉氏变换分析电路、s域元件模型用拉氏变换分析电路的两个途径
1.微分方程的拉氏变换
2.利用元件的s域模型分析电路
1.列s域方程；
(1)列时域微分方程,用微积分性质求拉氏变换
(2)直接按电路的s域模型建立代数方程步骤：
2.求解s域方程；
3,得到时域解答。
)()( tfsF →
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50
微分方程的拉氏变换采用 系统求解瞬态电路,简便起见，只要知道起始状态,就可以利用元件值和元件的起始状态，求出元件的 s域模型 。
0
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51
s域元件模型电阻元件的
s
域模型北京邮电大学电信工程学院
52
电感的s域模型利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型
dt
tdi
LtU
L
L
)(
)( =
)0()()(
=∴
LLL
LissLIsU
)0(
1)(
)(
+=
L
L
L
i
sLs
sU
sI
27
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53
电容器的s域模型
+?
)(sI
C
SC
1
)(SV
C
)0(
1
CS
v
电流源形式的s域模型：
∫
∞?
=
t
cc
i
C
tv ττ d)(
1
)(
)0(
1
)(
1
)(
+=∴
ccc
v
s
sI
sC
sV
)0()()(
=
ccc
CvssCVsI
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54
s域元件模型求解响应的步骤
28
解：
例,求
)()( tVtV
RC
、
)(tV
C
求
(3)等式两边取拉氏变换得：
s
E
sVVssVRC
CCC
=+?
)()]0()([
(4) 求拉氏反变换
29
)(.2 tV
R
求系统采用
－
0
30
系统采用
+
0
原方程取拉氏变换解：
31
系统的微分方程为：
方法二：用 s域模型
)()()0(
1
)(
1
sEsRIv
s
sI
sC
C
=++
1
10
)(
+
=
s
s
sI
t
etti
= 11)()( δ
32
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63
4.6 系统函数 H(s)
系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比叫做系统函数，记做 H(s)
系统函数？
)(
)(
)(
sE
sR
sH =
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64
系统函数可以是阻抗、导纳，也可以是数值比（电流比电流或电压比电压）。若激励与响应是同一端口，则系统函数称为,策动点函数,，若激励与响应不在同一端口，称为
“转移函数,或,传输函数,。
系统函数说明
4.6 系统函数 H(s)
33
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65
求系统函数的方法
)()()1( sHth →
(2) 微分方程两端取拉氏变换
)(
)(
)(
sE
sR
sH =
(3) 利用网络的 s域模型，列 s域方程应用：求系统响应
)(
)(
)(
sE
sR
sH =
解：
34
35
36
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71
LTIS互联的系统函数
1,串联的系统函数
2,并联的系统函数
)()()(
21
ththth?=时域,)()()(
21
sHsHsH?=频域：
)()()(
21
ththth +=时域：
)()()(
21
sHsHsH +=频域：
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72
(3) 反馈连接的系统函数
)()(1
)(
)(
)(
)(
21
1
sHsH
sH
sE
sR
sH
+
==∴
+
+
-
R(s)E(s)
)(
1
sH
)(
2
sH
)(
1
sE
)(
2
sE
37
例,求如下系统的系统函数和微分方程。
解：
s
s
sHsH
sH
sE
sR
sH
5
1
1
)()(1
)(
)(
)(
)(
21
1
+
=
+
==
5
1
)(
+
=
s
sH
)()(5)( sEsRssR =+∴
)()(5
)(
tetr
dt
tdr
=+时域方程为：
+ 1/s
5
+
-
R(s)E(s)
解：
例：
38
因此,( ) )(4)(2
3
tuetutx
t?
+=
例：设系统在 激励下的零状态响应为：
)()2sin
2
1
2cos(
5
2
)(
1
tuttety
t
+?=
)(2sin)(
1
tuttf =
求系统在 激励下的零状态响应。
)()(
2
tuetf
t?
=
解：
4
2
)(
2
1
+
=
s
sF
)4)(1(
2
)
4
2
2
1
41
1
(
5
2
)(
222
1
++
=
+
+
+
+
=
ssss
s
s
sY
1
1
)(
)(
)(
1
1
+
==∴
ssF
sY
sH
1
1
)(
2
+
=
s
sFQ
2
22
)1(
1
)()()(
+
==∴
s
sFsHsY
)()(
2
tUtety
t?
=∴
39
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77
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性在s域的分析中，借助系统函数在s
平面零点和极点分布的研究，可以简明、
直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中的以其系统函数的零、极点分布表现出来。
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78
何谓零点、极点？
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
∏
∏
=
=
=
n
i
i
m
j
j
ps
zsk
sH
1
1
)(
)(
)(
使分子为零的参数是该系统函数的零点使分母为零的参数是该系统函数的极点
40
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79
系统函数零点、极点的分布
∏
∏
=
=
=
n
i
i
m
j
j
ps
zsk
sH
1
1
)(
)(
)(
ωj
σ
0
z
1
z
2
z
0
p
1
p
2
p
注：p是极点，z是零点
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性北京邮电大学电信工程学院
80
H(s)零、极点分布与 h(t)波形特征的对应由于系统函数 H(s) 与冲激响应 h(t)是一对拉氏变换，因此，只要知道 H(s) 在 s
平面中零、极点的分布情况，就可预言该系统在时域方面 h(t) 波形的特征。
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
41
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81
∏
∏
=
=
=
n
i
i
m
j
j
ps
zsk
sH
1
1
)(
)(
)(
反变换
∑∑
∑
==
=
==
=
n
i
i
n
i
tp
i
n
i
i
i
thek
ps
k
Lth
i
11
1
1
)(
)(
第 i个极点决定总特性
Ki与零点分布有关
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性北京邮电大学电信工程学院
82
几种典型情况（单极点，极点位于原点）
ωj
σ
1
p
S
sH
1
)( =
t
)(th
)()( tuth =
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
42
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83
α+
=
S
sH
1
)(
t
eth
α?
=)(
t
)(th
t
e
α?
σ
ωj
α?
0
1
p
几种典型情况（单极点，极点位于负实轴）
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性北京邮电大学电信工程学院
84
α?
=
S
sH
1
)(
t
eth
α
=)(
)(th
t
0
t
e
α
ωj
σ
0
α
1
p
几种典型情况（单极点，极点位于正实轴）
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
43
几种典型情况（一阶共 轭极点在虚轴上 ）
2
1
2
1
)(
ω
ω
+
=
S
sH
)(.sin)(
1
tutth ω=
t
)(th
0
ωj
σ
0
1
ωj
1
ωj?
1
p
2
p
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
ωj
σ
0
1
ωj
1
ωj?
2
1
2
)(
ω+
=
S
S
sH
)(.cos)(
1
tutth ω=
t
)(th
0
1
p
2
p
几种典型情况
（ 共轭极点在虚轴上，原点有一零点 ）
44
几种典型情况
（ 共轭极点在左半平面 ）
)(.sin)(
1
tuteth
t
ω
α?
=
t
)(th
0
ωj
σ
0
1
ωj
1
ωj?
2
1
2
1
)(
)(
ωα
ω
++
=
S
sH
2
p
1
p
α?
ωj
σ
0
1
ωj
1
ωj?
2
1
2
1
)(
)(
ωα
ω
+?
=
S
sH
)(.sin)(
1
tuteth
t
ω
α
=
α
t
)(th
0
1
p
2
p
几种典型情况
（ 共轭极点在右半平面 ）
45
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89
ωj
σ
2
1
)(
S
sH =
)(th
t
0
tth =)(
几种典型情况（原点有两重极点）
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性北京邮电大学电信工程学院
90
ωj
σ
2
)(
1
)(
α+
=
S
sH
)(th
t0
t
teth
α?
=)(
几种典型情况（负实轴上有两重极点）
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
46
ωj
σ
22
1
2
)(
2
)(
ω
ω
+
=
S
S
sH
)(th
t0
ttth
1
sin)( ω=
几种典型情况（虚轴上有两重极点）
ωj
σ
22
1
2
])[(
)(2
)(
ωα
αω
++
+
=
S
S
sH
)(th
t
0
tteth
t
1
sin)( ω
α?
=
1
ωj
1
ωj?
几种典型情况（ 左半平面有二重共轭极点 ）
47
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93
极点落在左半平面 — h(t) 呈衰减趋势
极点落在右半平面 — h(t)呈增长趋势
极点落在虚轴上只有一阶极点 — h(t) 等幅振荡，不能有重极点
极点落在原点 — h(t)等于 u(t)
极点小结
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性北京邮电大学电信工程学院
94
22
1
)(
)(
ω++
+
=
as
as
sH
22
2
)(
)(
ω++
=
as
s
sH
0
z
teth
at
ωcos)(
=
)]sin()[cos()( t
a
teth
at
ω
ω
ω?=
0
z
零点移动到原点零点小结
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
48
零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率
teth
at
ωcos)(
=
)(
)cos(1
)]sin()[cos()(
1
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
a
tg
t
a
e
t
a
teth
at
at
=
+=
=
幅度多了一个因子多了相移北京邮电大学电信工程学院
96
自由响应与强迫响应
∏
∏
=
=
=
n
i
i
m
j
j
ps
zsk
sH
1
1
)(
)(
)(
∏
∏
=
=
=
v
k
k
u
l
l
ps
zsk
sE
1
1
)(
)(
)(
激励,)()( sEte →
系统函数：
)()( sHth →
响应：
)()()()( sEsHsRtr?=→
49
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97
自由响应与强迫响应
∑∑
==
+=
n
i
v
k
ps
K
ps
K
k
k
i
i
sR
11
)(
系统函数极点激励信号极点
∑∑
==
+==
n
i
v
k
tp
k
tp
i
ki
eKeKsRLtr
11
1
)]([)(
自由相应强迫相应
∏
∏
∏
∏
=
=
=
=
=
v
k
k
u
l
l
n
i
i
m
j
j
ps
zsk
ps
zsk
sR
1
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
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98
小结
H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率，
与激励无关
自由响应的幅度和相位与 H(s)和 E(s)的零点有关，即零点影响 K i,K k 系数
E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率，
与 H(s) 无关
用 H(s)只能研究零状态响应,H(s)中零极点相消将使某些固有频率丢失 。
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
50
解：
如图所示电路，已知,
求输出,并指出其自由响应与强迫响应。
)()4cos(10)(
1
tuttu =
)(
2
tu
)
1
1
)(()(
12
+
=
sRC
susu
1
1
1
1
)(
)(
)(
1
2
+
=
+
==
ssRCsu
su
sH
)()4cos(10)(
1
tuttu =Q
16
10
)(
2
1
+
=∴
s
s
su
R=2
C=0.5F
+
-
+
-
)(
2
tu
)(
1
tu
)1)(16(
10
)()()(
2
12
++
==
ss
s
susHsu
jk
17
20
17
5
1
=
144
17
10
21
+
+
+
+
=
sjs
k
js
k
t
etttu
+=∴
17
10
4sin
17
40
4cos
17
10
)(
2
强迫响应 自由响应强迫响应由的极点决定
)(
1
su
自由响应由的极点决定
)(sH
51
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101
4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性频响特性？
系统在正弦信号激励下，稳态响应随信号频率变化的情况分为：
幅度随频率的响应相位随频率的响应
H(s)和频响特性的关系设系统函数为 H(s)，激励
)sin()(
0
tEte
m
ω=
2
0
2
0
)(
ω
ω
+
=
s
E
m
sE
系统响应
∑
=
+
+
+
=
=
n
i
i
i
jj
ps
k
js
k
js
k
sHsEsR
1
00
00
)()()(
ωω
ωω
H(s)的极点部分分式分解各项系数由正弦激励的极点决定的稳态响应如系统是稳定的，
该项最后衰减为零
52
其中：
00
0000
)()(
φφ
ωω
jj
eHjHeHjH
=?=
j
eHE
j
jHE
sRjsk
j
mm
jsj
22
)(
)()(
0
00
0
0
00
=
=+=
=?
φ
ωω
ω
ωω
ω
j
eHE
j
jHE
sRjsk
j
mm
jsj
22
)(
)()(
0
00
0
0
00
φ
ωω
ω
ωω
ω
=
==?=
∑
=
+
+
+
=
=
n
i
i
im
ps
k
js
e
js
e
j
HE
sHsEsR
jj
1
00
0
)(
2
)()()(
00
ωω
φφ
tp
n
tptp
m
n
ekekektHEtr L++++=
21
21000
)sin()( φω
响应为：
其中：
0
00
0
)()(
φ
ω
ω
j
js
eHjHsH ==
=
)sin()(
000
ω += tHEtr
m
系统的稳态响应为：
)(
)()()(
ω?
ω
ωω
j
js
ejHjHsH ==
=
系统频率特性幅频特性相位特性
53
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105
几种常见的滤波器的频率响应北京邮电大学电信工程学院
106
∑∑
=
=
==
=
=
∏
∏
n
l
l
m
i
i
j
n
m
n
i
i
m
j
j
e
MMM
NNN
k
pj
zjk
jH
11
)(
21
21
1
1
)(
)(
)(
θφ
ω
ω
ω
L
L
σ
ωj
1
p
1
z
1
11
ω
j
eNzj =?
1
11
θ
ω
j
eMpj =?
2
p
4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性用几何法求系统频率特性
54
例：已知 试求当时的幅频和相位
122
1
)(
23
+++
=
sss
sH
1=ω
1
M
1
θ
1j
0
1
45
414.1
=
=
θ
M
)
2
31
)(
2
31
)(1(
1
)(
j
s
j
ss
sH
+
+
=
2
M
1j
2
θ 0
2
2
15
517.0
=
=
θ
M
3
M
3
θ
1j
0
3
3
75
932.1
=
=
θ
M
()
0000
321
135)751545(1
2
11
)1(
=++?=
==
j
MMM
jH
θ
解：
例：已知系统的传输函数为，
试求当激励时系统的稳态响应 。
)54)(1(
13
)(
2
+++
=
sss
sH
解：
3.146
135
13
j
e
=
55
极点为：
零极点如图示：
)3.1462cos(72.0)(
o
= tty
zs
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110
4.9 全通函数与最小相移函数的零、极点分布全通函数？
一个系统函数的极点位于左半平面，
零点位于右半平面，而且零点与极点对于 jw轴互为镜像，这个系统函数称为全通函数。该系统称为全通系统。
56
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111
全通系统网络的幅频特征为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。
4.9 全通函数与最小相移函数的零、极点分布北京邮电大学电信工程学院
112
全通网络 s平面零、极点分布全通网络函数不影响传输信号的幅频特性，
只改变信号的相频特性
4.9 全通函数与最小相移函数的零、极点分布
57
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113
最小相移函数？
零点仅位于左半平面或 jw轴的网络函数，称为最小相移函数非最小相移函数＝最小相移函数×全通函数
4.9 全通函数与最小相移函数的零、极点分布北京邮电大学电信工程学院
114
4.10 线性系统的稳定性系统的因果性因果系统,系统的零状态响应不出现在激励之前的系统。
连续因果系统的充要条件是：冲激响应
h(t)=0,t<0
或者：系统函数的收敛域为即：收敛域为收敛坐标以右的半平面，也即 H(s) 的极点都在收敛轴的左边。
0
]Re[ σ>s
58
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115
为有界正值MMdtth
∫
∞
∞?
≤)(
稳定系统的定义北京邮电大学电信工程学院
116
稳定系统
H(s)全部极点落入 s平面左半平面
（不包括虚轴），则可满足：
4.10 线性系统的稳定性因果系统稳定性的 3种情况：
59
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117
4.10 线性系统的稳定性不稳定系统
H(s)的极点落入 s平面右半平面，
或在虚轴上具有二阶以上极点临界稳定系统
H(s)的极点落入 s平面虚轴上，
且只有一阶北京邮电大学电信工程学院
118
系统稳定性的判定时域：
∫
∞
∞?
∞<dtth )(
频域：要求 H(s)
(1) 右半平面不能有极点（稳定）
(2) 虚轴上的极点是单阶的（临界稳定）
4.10 线性系统的稳定性
60
例：如图所示的反馈系统，子系统的系统函数为：
当常数 K满足什么条件时，
系统是稳定的？
)1)(2(
1
)(
++
=
ss
sG
∑
)(sG
)(sF )(sY
K
+
+
)(sX
加法器输出端的信号为：
)()()( sFsKYsX +=
输出信号为：
)()()()()()()( sFsGsYsKGsXsGsY +==
解：
KsssF
sY
sH
++
==
23
1
)(
)(
)(
2
系统函数为：
其极点为：
Kp +?±?= 2)
2
3
(
2
3
2
2,1
为使极点均在左半平面，必须：
22
)
2
3
(2)
2
3
( <+? K
2<∴K
即 K<2时，系统是稳定的。
61
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121
4.11 拉氏变换和傅氏变换的关系
ωσ
σ
js
t
sFtuetfFtfL
+=
== )()]()([)]([
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122
4.11 拉氏变换和傅氏变换的关系
0=σ
62
∫
∞
∞?
dtetf
tjω
)(
因果
()
∫
∞
0
乘衰减因子
t
e
σ?
dtetf
tj
∫
∞
+?
0
)(
)(
ωσ
ωσ js +=
∫
∞
0
)( dtetf
st
∫
∞
∞?
dtetf
st
)(
ωσ js +=
dtetf
tj
∫
∞
∞?
+? )(
)(
ωσ
0=σ
0)(
0
=
<
tf
t
124
0)(
0
=
<
tf
t
)(tue
at
t
)(tf
0)1(
0
>σ
as
sF
=
1
)(
傅氏变换不存在，拉氏变换存在
a
a>σ
σ
ωj
从单边拉氏变换到傅氏变换 —有始信号收敛域位于 s右半平面
63
125
从单边拉氏变换到傅氏变换 —有始信号
0)(
0
=
<
tf
t
0)2(
0
<σ
)(tf
t
)(tue
at?
a?
a?>σ
ωj
σ
as
sF
+
=
1
)(
aj
jF
+
=
ω
ω
1
)(
ωjs =
从单边拉氏变换到傅氏变换 —有始信号
0)(
0
=
<
tf
t
0)3(
0
=σ
)(tu
s
sF
1
)( =
∑
+=
=
n
nnjs
ksFjF )()()( ωωδπω
ω
存在傅氏变换，但收敛于虚轴，不能简单用,要包含奇异函数项。
)(
1
)( ωπδ
ω
ω +=
j
jF
ωjs =
64
由 单边拉氏变换求它的傅氏变换
)(.sin
0
tutω
)(.sin)(
0
tuttf ω=
LT
2
0
2
0
)(
ω
ω
+
=
s
sF
[])()(
2
)(
00
22
0
0
ωωδωωδ
π
ωω
ω
ω++
= jjF
∑
+=
=
n
nnjs
ksFjF )()()( ωωδπω
ω 2
0
2
0
)(
)(
ωω
ω
ω
+
=
j
jF
00
2
0
2
0 22
)(
ωωω
ω
js
j
js
j
s
sF
+
=
+
=
K2
K1
128
总结对于因果信号，求单边拉氏变换中，一般是 t>0的信号,所以收敛域在收敛轴的右边。对 F(s)分解因式，找出极点，最右边的极点为收敛坐标。
和 的关系
)(sF )( ωjF
收敛轴位于 s平面的右半平面，则 不存在 )(ωF
0
0
>σ
收敛轴位于 s平面的左半平面，则
ω
ω
js
sFF
=
= )()(
0
0
<σ
)()()(
n
n
njs
ksFF ωωδπω
ω
+=
∑=
则收敛轴位于虚轴
0
0
=σ
65
例：已知解：
0
11
)(
jss
sF
+
==Q
极点位于虚轴上，所以：
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1
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
拉普拉斯变换
系统函数
系统函数的零、极点分布分析
线性系统的稳定性
拉氏变换与傅氏变换的关系北京邮电大学电信工程学院
2
拉氏变换作用？
目前，在连续、线性、
时不变系统分析中，利用拉氏变换建立的系统函数及其零、极点分析的概念仍发挥重要作用。
4.1 引言
2
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3
求解常系数微分方程的步骤得到简化，初始条件被自动计入，应用更加普遍。
将,微分,与,积分,运算转换为,乘法,和,除法,
指数函数等以及有不连续点的函数，经拉氏变换可转换为简单的初等函数
时域中两函数的卷积运算转换为变换域中两函数的乘法运算，建立了系统函数的概念
利用系统函数零、极点分布可以简明描述系统性能拉氏变换优点北京邮电大学电信工程学院
4
4.2 拉氏变换的定义、收敛域不满足狄里赫利条件的几种情况傅氏变换到拉氏变换
)0( >ae
at
t
1
cosω
增长信号周期信号
)(tu
t
etu
σ?
)(
)(,aee
tat
>
σ
σ
te
t
1
cosω
σ?
若乘一衰减因子,
为任意实数，则收敛，满足狄里赫利条件
σ
t
e
σ?
t
etf
σ?
).(
3
傅氏变换,实频率 是振荡频率拉氏变换,复频率 S 是振荡频率,是衰减因子
ω
ω σ
t
etftf
σ?
= )()(
1
)()()(
)(
1
ωσω
ωσ
jFdtetfF
tj
+==
∫
∞
∞?
+?
∫
∞
∞?
= dtetfsF
st
)()(
象函数为复数，具有频率量纲，称为复频率 。ωσ js +=
ωσ js +=
t
etftf
σ?
= )()(
1
dtetfjF
tj
∫
∞
∞?
+?
=+
)(
)()(
ωσ
ωσ
∫
∞
∞?
+= ωωσ
π
ωσ
dejFetf
tjt
)(
2
1
)(
dsesF
j
tf
j
j
st
∫
∞+
∞?
=∴
σ
σ
π
)(
2
1
)(
原函数
∫
∞
∞?
+
+= ωωσ
π
ωσ
dejFtf
tj )(
)(
2
1
)(
ωσ
ωσωσ
jdds
jdddsjs
=
+=+=
为常量，则
，所以已知,
4
对于 系统，相应的单边拉氏变换为：
0
dsesF
j
tf
j
j
st
∫
∞+
∞?
=
σ
σ
π
)(
2
1
)(
∫
∞
∞?
= dtetfsF
st
)()(
拉氏变换拉氏反变换
∫
∞
=
0
)()( dtetfsF
st
单边拉氏变换为
dsesF
j
tf
j
j
st
∫
∞+
∞?
=
σ
σ
π
)(
2
1
)(
∫
∞
=
0
)()( dtetfsF
st
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8
4.2 拉氏变换的定义、收敛域傅氏变换和拉氏变换差别傅氏变换拉氏变换
)()( ωFtf? )()( sFtf?
s 不但能给出重复频率，
还能表示幅度的增长速率或衰减速率只能描述振荡频率
ω
是实数和ωt
是复数是实数st,
5
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9
)(0)(lim
0
σσ
σ
>=
∞→
t
t
etf即：
收敛域：使 F(s)存在的 s的区域称为收敛域。
0
σσ=
σ
以为界0
σ
ωj
收敛区收敛轴记为 ROC（ Region of Convergence）,
4.2 拉氏变换的定义、收敛域北京邮电大学电信工程学院
10
有始有终信号和能量有限信号的拉氏变换一定存在
等幅振荡信号和增长信号如 0
0
=σ
或
a=
0
σ
σ
ωj
整个平面
σ
ωj
a=
0
σ
以为界0
σ
拉氏变换的收敛域满足的信号称为指数阶信号,?
)(0)(lim
0
σσ
α
>=
∞→
t
t
etf
6
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11
不收敛信号 )0(,
22
∞≤≤ttee
tt
是非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
除非
)0( Tt ≤≤
也称为指数阶信号。),0(0
lim
>=?
∞→
σ
σtn
t
et
一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围拉氏变换的收敛域北京邮电大学电信工程学院
12
一些常用函数的拉氏变换阶跃函数 u(t)
ss
e
dtetuL
st
st
1
0
)]([
0
=
∞
==
∞+
∫
)(
1
0
][
)(
0
a
sasa
e
dteeeL
tsa
statat
>
+
=
∞
+
==
+?
∞+
∫
σ
)0(
!
][
1
0
>==
+
+∞
∫
n
s
n
dtettL
n
stnn
指数函数
at
e
增长函数
n
t
7
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13
冲激函数
1)()]([
0
==
∫
+∞
dtettL
st
δδ
0
0
00
)()]([
stst
edtettttL
+∞
=?=?
∫
δδ
一些常用函数的拉氏变换北京邮电大学电信工程学院
14
4.3 拉氏变换的基本性质
(1) 线性例,求单边正弦、余弦信号的拉氏变换。
)
2
)((cos)()(
tjtj
ee
tuttutf
ωω
ω
+
==
22
2
1
)
11
()(
ωωω +
=
+
+
=∴
S
S
jSjS
SF
sa
eL
at
+
=
1
][
22
2
1
)
11
(]sin)([:
ω
ω
ωω +
=
+
=
SjjSjS
ttuL同理解,
8
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15
(2) 时域平移性
∫
+∞
=
0
0000
)]()([)]()([ dtettuttfttuttfL
st
证明：
∫
+∞
=
0
)(
0
t
st
dtettf
)()(
00
0
sFedeef
stsst?
+∞
∫
== ττ
τ
4.3 拉氏变换的基本性质例,已知 f(t)=tu(t-1)，求 f(t) 的拉氏变换。
)]1()1()1[()]1([)(?+=?= tututLttuLSF
s
e
ss
+= )
11
(
2
例,已知,求 f(t) 的拉氏变换。
)()
4
cos(2)( tuttf
π
+=
)()sin(cos)()
4
sinsin2
4
coscos2()( tutttutttf?=?=
ππ
222
1
1
)
1
1
1
()(
s
s
ss
s
sF
+
=
+
+
=∴
解,
解,
9
(3) 时域微分性拉氏变换已考虑了初始条件证明：
∫∫
∞
∞+
∞
==
00
'
])([
0
)()(]
)(
[ dtetsfetfdtetf
dt
tdf
L
ststst
)0()(
= fssF
可推广至：
)0()(
)(
)(
1
0
1
=
∑
→?
r
n
r
rnn
n
n
fssFs
dt
tfd
L
)0()(
)(
)()(
→?
→?
fssF
dt
tdf
sFtf
L
L
则若北京邮电大学电信工程学院
18
电感的s域模型故电路等效为：
电感的 s域模型
)(ti
L
+?)(tU
L
L
)()]([),()]([ sUtULsItiL
LLLL
==设
)0()()]0()([)(
=?=∴
LLLLL
LissLIissILsU
dt
tdi
LtU
L
L
)(
)( =
10
(4) 时域积分性证明：
s
sF )(
=
s
f
s
sF
df
sFtf
t
)0()(
)(
)()(
)1(?
∞?
+?→?
→?
∫
L
L
ττ则若北京邮电大学电信工程学院
20
电容器的s域模型
C
+?)(tv
C
)(ti
C
+?
)(sI
C
SC
1
)(SV
C
)0(
1
CS
v
电容器的
S 域模型电路等效为
)()]([),()]([ sVtvLsItiL
CcCc
==设
∫
∞?
=
t
cc
i
C
tv ττ d)(
1
)(
)0(
1
)(
1
]
)0()(
[
1
)(
)1(
+=+=∴
cc
cc
c
v
s
sI
sCs
i
s
sI
C
sV
11
例：求图示函数的拉氏变换。
解,
方法一：利用叠加性和时延性方法二：利用微分、积分定理
12
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23
(5) 尺度变换性
)0,0()(
1
)( >>→?
bae
a
s
F
a
batf
a
b
s
例,已知函数,求 的拉氏变换。
)4()()(= tAutAutf )22(?tf
解,
)1()]([
44 ss
e
s
A
e
s
A
s
A
tfL
=?=
sss
ee
s
A
e
s
FtfL
==? )1(
2
2
1
)
2
(
2
1
)]22([
2
)0()(
1
)(
)()(
>?→?
→?
a
a
s
F
a
atf
sFtf
L
L
则若北京邮电大学电信工程学院
24
（6）s域平移性例,求 的拉氏变换。
)cos()( tetf
at
ω
=
22
)][cos(
s
s
tL
+
=
ω
ωQ
解,
22
)(
)]cos([
as
as
teLs
at
++
+
=∴
ω
ω域平移性得由
)()(
)()(
asFetf
sFtf
at
+?→?
→?
L
L
则若
13
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25
（7）s域微分性
)(
)(
)1()(为正整数n
ds
sdF
tft
n
n
nn
→
（8）s域积分性
∫
∞
→
→
s
dssF
t
tf
sFtf
)(
)(
),()(
则若
4.3 拉氏变换的基本性质
ds
ssdF
ttf
sFtf
)(
)(
)()(
→
→?
L
L
则若北京邮电大学电信工程学院
26
(9)卷积
4.3 拉氏变换的基本性质
)()()()(
)()(
2
1
)()(
)()(),()(
2121
2121
2211
sFsFtftf
sFsF
i
tftf
sFtfsFtf
→?
→
→→?
π
L
LL
则若
14
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27
(10) 极值性证明,由原函数微分定理知
∫
+∞
=
0
'
)( dtetf
st
]
)(
[)0()(
dt
tdf
LfssF =?
4.3 拉氏变换的基本性质
)]([lim)(lim
)]([lim)0(
]
)(
[
)(
),()(
0
11
ssFtf
ssFf
dt
tdf
dt
tdf
sFtf
st
s
→∞→
∞→
→→?
＝终值
＝则初值若
＋
L
LL
∫
∫∫
∞+
+
+∞
+
+
+
+?=
+=
0
'
0
'
0
0
'
)()0()0(
)()(
dtetfff
dtetfdtetf
st
stst
dte
dt
tdf
fssF
st
∫
∞
+
+
+=∴
0
)(
)0()(
0]lim[
)(
]
)(
lim[
00
==
∞→
∫∫
∞
∞→
∞
∞→
++
dte
dt
tdf
dte
dt
tdf
s
st
s
st
s
极限为时，上式右端第二项的当
)0()(lim
+
∞→
=∴ fssF
s
)0()(lim)0(
)(
lim)0()(lim
000
+
∞→
+
∞
→
+
→
+=+=∴
∫
+
ftffdte
dt
tdf
fssF
t
st
ss
)(lim)(lim
0
ssFtf
st →∞→
=∴
初值定理终值定理
15
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29
注意
2,终值定理仅当 sF(s)在 s平面的虚轴上及其右边都没有极点 时，才可应用。
1)(lim)(lim)0(
0
===
∞→→
+
+
ssFtff
st
解,
例,已知,求 。
)0(
+
f
s
sF
1
)( =
ksFsF?= )()(
1
F(s) 中有常数项，说明 f(t) 中有 项。
)(tδ
1,初值定理中要求 是真分式。
)(
1
sF
)]([lim])([lim)0(
1
ssFksssFf
ss ∞→∞→
+
=?=
例,已知,求 。 )(sF
)0(
+
f
解,
16
例,求图示信号的拉氏变换。
解,
周期性矩形信号的第一个周期的信号可以表示为：
)()()(
1
τ= tututf
)()()()()()()(
111
nTtunTtfTtuTtftutftf
T
++= L
)1(
111
)()]([
11
ττ ss
e
s
e
ss
sFtfL
=?==
sT
s
T
es
e
tfL
=∴
1
11
)]([
τ
周期化因子
sT
T
e
tL
=
1
1
)]([δ
∑
∞
=
=++=
0
1111
)()()()()]([
n
nsTsnTsT
T
esFesFesFsFtfL L
sT
e
sF
=
1
1
)(
1
17
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33
4.4 拉普拉斯逆变换
1.部分分式分解法采用部分分式分解的方法，
把 F(s)分解为若干简单函数之和，逐个求得逆变换。
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34
1.部分分式分解
4.4 拉普拉斯逆变换
18
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35
1.部分分式分解 （极点为实数，无重根,m<n）
))()((
)(
321
)(
pspsps
sA
sF
=
3
3
2
2
1
1
)(
ps
K
ps
K
ps
K
sF
++=
tptptp
eKeKeKtf
321
321
)( ++=
需要确定
i
psii
sFpsK
=
= |)()(
1
K
2
K
3
K
4.4 拉普拉斯逆变换北京邮电大学电信工程学院
36
1.部分分式分解
（包含共轭复数极点）
]))[((
)(
22
)(
βα ++
=
ssD
sA
sF
))((
1
1))((
1
)(
)(
)(
βαβαβαβα jsjsjsjssD
sA
sF
++?+++?+
×=×=
++=
++?+ )()(
21
βαβα js
K
js
K
4.4 拉普拉斯逆变换
19
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37
将 F(s)中与共轭复数极点有关部分的逆变换用 表示
)(tf
c
β
βα
βα
βα
j
jF
sFjsK
js
2
)(
|)()(
1
1
+?
=?+=
+?=
=
12
KK
jBAK +=
1
令
)]sin()cos([2)(
][)(
11
211
tBtAeeKeKe
js
K
js
K
Ltf
ttjtjt
c
ββ
βαβα
αββα
=+=
++
+
+
=
1.部分分式分解
（包含共轭复数极点）
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38
1,部分分式分解 （有多重极点）
)()(
)(
1
)(
sDps
sA
k
sF
=
)(
)(
)()()(
1
1
1
1
12
1
11
sD
sE
ps
K
ps
K
ps
K
k
kk
++++=
k
sD
sEk
k
pspsKpsKKsF )()()()(
1)(
)(1
11112111
+?++?+=
1
1
1
|)(
1)!1(
1
1 ps
ds
d
ii
sFK
i
i
=?
=
ki,,2,1=
1
|)()(
111 ps
k
sFpsK
=
=
欲确定 )()()(
11
sFpssF
k
=
令求得：
4.4 拉普拉斯逆变换
20
已知,求其逆变换 。
)3)(1(
)5)(2(10
)(
++
++
=
sss
ss
sF
)3(3
10
1
20
3
100
)(
+
+
=∴
sss
sF
)()
3
10
20
3
100
()(
3
tueetf
tt
=∴
21
例 2,已知,求其逆变换 。
)2)(52(
3
)(
2
2
+++
+
=
sss
s
sF
[ ]{ } )()2sin()2cos(2)(
2
5
7
5
2
5
1
tuettesF
tt
++?=∴
22
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43
2,用留数定理求逆变换
4.4 拉普拉斯逆变换北京邮电大学电信工程学院
44
1
|])()([
1
1
)!1(
1
ps
stk
i
k
k
ki
esFps
ds
d
r
=
=
2,用留数定理求逆变换
23
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45
3,两种特殊情况
(1) 非真分式 ——化为真分式＋多项式
(2) 的有理分式
s
e
项不参加部分分式运算，
求解时利用时移性质。
s
e
4.4 拉普拉斯逆变换北京邮电大学电信工程学院
46
例 1：求 的逆变换 。
23
795
)(
2
23
++
+++
=
ss
sss
sF
解,作长除法
)(2
)2)(1(
3
2)(
1
sFs
ss
s
ssF
++=
++
+
++=∴
2
1
1
2
)(
1
+
+
=
ss
sF
)()(2)(2)()(
2'
tuetuetttf
tt
++= δδ
24
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47
例 2：求 的逆变换。
23
)(
2
5
++
=
ss
e
sF
s
解：
s
s
esF
ss
e
sF
5
1
2
5
)(
23
)(
=
++
=
2
1
1
1
)(
1
+
+
=
ss
sF
)()()]([)(
2
1
1
1
tueesFLtf
tt
==∴
)5()()5()(
)5(2)5(
1
=?=∴
tueetftf
tt
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48
逆变换小结当 F(s)为有理分式时，可用部分分式分解和查表求得逆变换当 F(s)为无理分式时，需利用留数定理求逆变换
4.4 拉普拉斯逆变换
25
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49
4.5 用拉氏变换分析电路、s域元件模型用拉氏变换分析电路的两个途径
1.微分方程的拉氏变换
2.利用元件的s域模型分析电路
1.列s域方程；
(1)列时域微分方程,用微积分性质求拉氏变换
(2)直接按电路的s域模型建立代数方程步骤：
2.求解s域方程；
3,得到时域解答。
)()( tfsF →
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50
微分方程的拉氏变换采用 系统求解瞬态电路,简便起见，只要知道起始状态,就可以利用元件值和元件的起始状态，求出元件的 s域模型 。
0
26
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51
s域元件模型电阻元件的
s
域模型北京邮电大学电信工程学院
52
电感的s域模型利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型
dt
tdi
LtU
L
L
)(
)( =
)0()()(
=∴
LLL
LissLIsU
)0(
1)(
)(
+=
L
L
L
i
sLs
sU
sI
27
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53
电容器的s域模型
+?
)(sI
C
SC
1
)(SV
C
)0(
1
CS
v
电流源形式的s域模型：
∫
∞?
=
t
cc
i
C
tv ττ d)(
1
)(
)0(
1
)(
1
)(
+=∴
ccc
v
s
sI
sC
sV
)0()()(
=
ccc
CvssCVsI
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54
s域元件模型求解响应的步骤
28
解：
例,求
)()( tVtV
RC
、
)(tV
C
求
(3)等式两边取拉氏变换得：
s
E
sVVssVRC
CCC
=+?
)()]0()([
(4) 求拉氏反变换
29
)(.2 tV
R
求系统采用
－
0
30
系统采用
+
0
原方程取拉氏变换解：
31
系统的微分方程为：
方法二：用 s域模型
)()()0(
1
)(
1
sEsRIv
s
sI
sC
C
=++
1
10
)(
+
=
s
s
sI
t
etti
= 11)()( δ
32
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63
4.6 系统函数 H(s)
系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比叫做系统函数，记做 H(s)
系统函数？
)(
)(
)(
sE
sR
sH =
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64
系统函数可以是阻抗、导纳，也可以是数值比（电流比电流或电压比电压）。若激励与响应是同一端口，则系统函数称为,策动点函数,，若激励与响应不在同一端口，称为
“转移函数,或,传输函数,。
系统函数说明
4.6 系统函数 H(s)
33
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65
求系统函数的方法
)()()1( sHth →
(2) 微分方程两端取拉氏变换
)(
)(
)(
sE
sR
sH =
(3) 利用网络的 s域模型，列 s域方程应用：求系统响应
)(
)(
)(
sE
sR
sH =
解：
34
35
36
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71
LTIS互联的系统函数
1,串联的系统函数
2,并联的系统函数
)()()(
21
ththth?=时域,)()()(
21
sHsHsH?=频域：
)()()(
21
ththth +=时域：
)()()(
21
sHsHsH +=频域：
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72
(3) 反馈连接的系统函数
)()(1
)(
)(
)(
)(
21
1
sHsH
sH
sE
sR
sH
+
==∴
+
+
-
R(s)E(s)
)(
1
sH
)(
2
sH
)(
1
sE
)(
2
sE
37
例,求如下系统的系统函数和微分方程。
解：
s
s
sHsH
sH
sE
sR
sH
5
1
1
)()(1
)(
)(
)(
)(
21
1
+
=
+
==
5
1
)(
+
=
s
sH
)()(5)( sEsRssR =+∴
)()(5
)(
tetr
dt
tdr
=+时域方程为：
+ 1/s
5
+
-
R(s)E(s)
解：
例：
38
因此,( ) )(4)(2
3
tuetutx
t?
+=
例：设系统在 激励下的零状态响应为：
)()2sin
2
1
2cos(
5
2
)(
1
tuttety
t
+?=
)(2sin)(
1
tuttf =
求系统在 激励下的零状态响应。
)()(
2
tuetf
t?
=
解：
4
2
)(
2
1
+
=
s
sF
)4)(1(
2
)
4
2
2
1
41
1
(
5
2
)(
222
1
++
=
+
+
+
+
=
ssss
s
s
sY
1
1
)(
)(
)(
1
1
+
==∴
ssF
sY
sH
1
1
)(
2
+
=
s
sFQ
2
22
)1(
1
)()()(
+
==∴
s
sFsHsY
)()(
2
tUtety
t?
=∴
39
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77
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性在s域的分析中，借助系统函数在s
平面零点和极点分布的研究，可以简明、
直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中的以其系统函数的零、极点分布表现出来。
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78
何谓零点、极点？
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
∏
∏
=
=
=
n
i
i
m
j
j
ps
zsk
sH
1
1
)(
)(
)(
使分子为零的参数是该系统函数的零点使分母为零的参数是该系统函数的极点
40
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79
系统函数零点、极点的分布
∏
∏
=
=
=
n
i
i
m
j
j
ps
zsk
sH
1
1
)(
)(
)(
ωj
σ
0
z
1
z
2
z
0
p
1
p
2
p
注：p是极点，z是零点
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性北京邮电大学电信工程学院
80
H(s)零、极点分布与 h(t)波形特征的对应由于系统函数 H(s) 与冲激响应 h(t)是一对拉氏变换，因此，只要知道 H(s) 在 s
平面中零、极点的分布情况，就可预言该系统在时域方面 h(t) 波形的特征。
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
41
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81
∏
∏
=
=
=
n
i
i
m
j
j
ps
zsk
sH
1
1
)(
)(
)(
反变换
∑∑
∑
==
=
==
=
n
i
i
n
i
tp
i
n
i
i
i
thek
ps
k
Lth
i
11
1
1
)(
)(
第 i个极点决定总特性
Ki与零点分布有关
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性北京邮电大学电信工程学院
82
几种典型情况（单极点，极点位于原点）
ωj
σ
1
p
S
sH
1
)( =
t
)(th
)()( tuth =
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
42
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83
α+
=
S
sH
1
)(
t
eth
α?
=)(
t
)(th
t
e
α?
σ
ωj
α?
0
1
p
几种典型情况（单极点，极点位于负实轴）
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性北京邮电大学电信工程学院
84
α?
=
S
sH
1
)(
t
eth
α
=)(
)(th
t
0
t
e
α
ωj
σ
0
α
1
p
几种典型情况（单极点，极点位于正实轴）
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
43
几种典型情况（一阶共 轭极点在虚轴上 ）
2
1
2
1
)(
ω
ω
+
=
S
sH
)(.sin)(
1
tutth ω=
t
)(th
0
ωj
σ
0
1
ωj
1
ωj?
1
p
2
p
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
ωj
σ
0
1
ωj
1
ωj?
2
1
2
)(
ω+
=
S
S
sH
)(.cos)(
1
tutth ω=
t
)(th
0
1
p
2
p
几种典型情况
（ 共轭极点在虚轴上，原点有一零点 ）
44
几种典型情况
（ 共轭极点在左半平面 ）
)(.sin)(
1
tuteth
t
ω
α?
=
t
)(th
0
ωj
σ
0
1
ωj
1
ωj?
2
1
2
1
)(
)(
ωα
ω
++
=
S
sH
2
p
1
p
α?
ωj
σ
0
1
ωj
1
ωj?
2
1
2
1
)(
)(
ωα
ω
+?
=
S
sH
)(.sin)(
1
tuteth
t
ω
α
=
α
t
)(th
0
1
p
2
p
几种典型情况
（ 共轭极点在右半平面 ）
45
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89
ωj
σ
2
1
)(
S
sH =
)(th
t
0
tth =)(
几种典型情况（原点有两重极点）
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性北京邮电大学电信工程学院
90
ωj
σ
2
)(
1
)(
α+
=
S
sH
)(th
t0
t
teth
α?
=)(
几种典型情况（负实轴上有两重极点）
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
46
ωj
σ
22
1
2
)(
2
)(
ω
ω
+
=
S
S
sH
)(th
t0
ttth
1
sin)( ω=
几种典型情况（虚轴上有两重极点）
ωj
σ
22
1
2
])[(
)(2
)(
ωα
αω
++
+
=
S
S
sH
)(th
t
0
tteth
t
1
sin)( ω
α?
=
1
ωj
1
ωj?
几种典型情况（ 左半平面有二重共轭极点 ）
47
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93
极点落在左半平面 — h(t) 呈衰减趋势
极点落在右半平面 — h(t)呈增长趋势
极点落在虚轴上只有一阶极点 — h(t) 等幅振荡，不能有重极点
极点落在原点 — h(t)等于 u(t)
极点小结
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性北京邮电大学电信工程学院
94
22
1
)(
)(
ω++
+
=
as
as
sH
22
2
)(
)(
ω++
=
as
s
sH
0
z
teth
at
ωcos)(
=
)]sin()[cos()( t
a
teth
at
ω
ω
ω?=
0
z
零点移动到原点零点小结
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
48
零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率
teth
at
ωcos)(
=
)(
)cos(1
)]sin()[cos()(
1
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
a
tg
t
a
e
t
a
teth
at
at
=
+=
=
幅度多了一个因子多了相移北京邮电大学电信工程学院
96
自由响应与强迫响应
∏
∏
=
=
=
n
i
i
m
j
j
ps
zsk
sH
1
1
)(
)(
)(
∏
∏
=
=
=
v
k
k
u
l
l
ps
zsk
sE
1
1
)(
)(
)(
激励,)()( sEte →
系统函数：
)()( sHth →
响应：
)()()()( sEsHsRtr?=→
49
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97
自由响应与强迫响应
∑∑
==
+=
n
i
v
k
ps
K
ps
K
k
k
i
i
sR
11
)(
系统函数极点激励信号极点
∑∑
==
+==
n
i
v
k
tp
k
tp
i
ki
eKeKsRLtr
11
1
)]([)(
自由相应强迫相应
∏
∏
∏
∏
=
=
=
=
=
v
k
k
u
l
l
n
i
i
m
j
j
ps
zsk
ps
zsk
sR
1
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
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98
小结
H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率，
与激励无关
自由响应的幅度和相位与 H(s)和 E(s)的零点有关，即零点影响 K i,K k 系数
E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率，
与 H(s) 无关
用 H(s)只能研究零状态响应,H(s)中零极点相消将使某些固有频率丢失 。
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
50
解：
如图所示电路，已知,
求输出,并指出其自由响应与强迫响应。
)()4cos(10)(
1
tuttu =
)(
2
tu
)
1
1
)(()(
12
+
=
sRC
susu
1
1
1
1
)(
)(
)(
1
2
+
=
+
==
ssRCsu
su
sH
)()4cos(10)(
1
tuttu =Q
16
10
)(
2
1
+
=∴
s
s
su
R=2
C=0.5F
+
-
+
-
)(
2
tu
)(
1
tu
)1)(16(
10
)()()(
2
12
++
==
ss
s
susHsu
jk
17
20
17
5
1
=
144
17
10
21
+
+
+
+
=
sjs
k
js
k
t
etttu
+=∴
17
10
4sin
17
40
4cos
17
10
)(
2
强迫响应 自由响应强迫响应由的极点决定
)(
1
su
自由响应由的极点决定
)(sH
51
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101
4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性频响特性？
系统在正弦信号激励下，稳态响应随信号频率变化的情况分为：
幅度随频率的响应相位随频率的响应
H(s)和频响特性的关系设系统函数为 H(s)，激励
)sin()(
0
tEte
m
ω=
2
0
2
0
)(
ω
ω
+
=
s
E
m
sE
系统响应
∑
=
+
+
+
=
=
n
i
i
i
jj
ps
k
js
k
js
k
sHsEsR
1
00
00
)()()(
ωω
ωω
H(s)的极点部分分式分解各项系数由正弦激励的极点决定的稳态响应如系统是稳定的，
该项最后衰减为零
52
其中：
00
0000
)()(
φφ
ωω
jj
eHjHeHjH
=?=
j
eHE
j
jHE
sRjsk
j
mm
jsj
22
)(
)()(
0
00
0
0
00
=
=+=
=?
φ
ωω
ω
ωω
ω
j
eHE
j
jHE
sRjsk
j
mm
jsj
22
)(
)()(
0
00
0
0
00
φ
ωω
ω
ωω
ω
=
==?=
∑
=
+
+
+
=
=
n
i
i
im
ps
k
js
e
js
e
j
HE
sHsEsR
jj
1
00
0
)(
2
)()()(
00
ωω
φφ
tp
n
tptp
m
n
ekekektHEtr L++++=
21
21000
)sin()( φω
响应为：
其中：
0
00
0
)()(
φ
ω
ω
j
js
eHjHsH ==
=
)sin()(
000
ω += tHEtr
m
系统的稳态响应为：
)(
)()()(
ω?
ω
ωω
j
js
ejHjHsH ==
=
系统频率特性幅频特性相位特性
53
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105
几种常见的滤波器的频率响应北京邮电大学电信工程学院
106
∑∑
=
=
==
=
=
∏
∏
n
l
l
m
i
i
j
n
m
n
i
i
m
j
j
e
MMM
NNN
k
pj
zjk
jH
11
)(
21
21
1
1
)(
)(
)(
θφ
ω
ω
ω
L
L
σ
ωj
1
p
1
z
1
11
ω
j
eNzj =?
1
11
θ
ω
j
eMpj =?
2
p
4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性用几何法求系统频率特性
54
例：已知 试求当时的幅频和相位
122
1
)(
23
+++
=
sss
sH
1=ω
1
M
1
θ
1j
0
1
45
414.1
=
=
θ
M
)
2
31
)(
2
31
)(1(
1
)(
j
s
j
ss
sH
+
+
=
2
M
1j
2
θ 0
2
2
15
517.0
=
=
θ
M
3
M
3
θ
1j
0
3
3
75
932.1
=
=
θ
M
()
0000
321
135)751545(1
2
11
)1(
=++?=
==
j
MMM
jH
θ
解：
例：已知系统的传输函数为，
试求当激励时系统的稳态响应 。
)54)(1(
13
)(
2
+++
=
sss
sH
解：
3.146
135
13
j
e
=
55
极点为：
零极点如图示：
)3.1462cos(72.0)(
o
= tty
zs
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110
4.9 全通函数与最小相移函数的零、极点分布全通函数？
一个系统函数的极点位于左半平面，
零点位于右半平面，而且零点与极点对于 jw轴互为镜像，这个系统函数称为全通函数。该系统称为全通系统。
56
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111
全通系统网络的幅频特征为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。
4.9 全通函数与最小相移函数的零、极点分布北京邮电大学电信工程学院
112
全通网络 s平面零、极点分布全通网络函数不影响传输信号的幅频特性，
只改变信号的相频特性
4.9 全通函数与最小相移函数的零、极点分布
57
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113
最小相移函数？
零点仅位于左半平面或 jw轴的网络函数，称为最小相移函数非最小相移函数＝最小相移函数×全通函数
4.9 全通函数与最小相移函数的零、极点分布北京邮电大学电信工程学院
114
4.10 线性系统的稳定性系统的因果性因果系统,系统的零状态响应不出现在激励之前的系统。
连续因果系统的充要条件是：冲激响应
h(t)=0,t<0
或者：系统函数的收敛域为即：收敛域为收敛坐标以右的半平面，也即 H(s) 的极点都在收敛轴的左边。
0
]Re[ σ>s
58
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115
为有界正值MMdtth
∫
∞
∞?
≤)(
稳定系统的定义北京邮电大学电信工程学院
116
稳定系统
H(s)全部极点落入 s平面左半平面
（不包括虚轴），则可满足：
4.10 线性系统的稳定性因果系统稳定性的 3种情况：
59
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117
4.10 线性系统的稳定性不稳定系统
H(s)的极点落入 s平面右半平面，
或在虚轴上具有二阶以上极点临界稳定系统
H(s)的极点落入 s平面虚轴上，
且只有一阶北京邮电大学电信工程学院
118
系统稳定性的判定时域：
∫
∞
∞?
∞<dtth )(
频域：要求 H(s)
(1) 右半平面不能有极点（稳定）
(2) 虚轴上的极点是单阶的（临界稳定）
4.10 线性系统的稳定性
60
例：如图所示的反馈系统，子系统的系统函数为：
当常数 K满足什么条件时，
系统是稳定的？
)1)(2(
1
)(
++
=
ss
sG
∑
)(sG
)(sF )(sY
K
+
+
)(sX
加法器输出端的信号为：
)()()( sFsKYsX +=
输出信号为：
)()()()()()()( sFsGsYsKGsXsGsY +==
解：
KsssF
sY
sH
++
==
23
1
)(
)(
)(
2
系统函数为：
其极点为：
Kp +?±?= 2)
2
3
(
2
3
2
2,1
为使极点均在左半平面，必须：
22
)
2
3
(2)
2
3
( <+? K
2<∴K
即 K<2时，系统是稳定的。
61
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121
4.11 拉氏变换和傅氏变换的关系
ωσ
σ
js
t
sFtuetfFtfL
+=
== )()]()([)]([
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122
4.11 拉氏变换和傅氏变换的关系
0=σ
62
∫
∞
∞?
dtetf
tjω
)(
因果
()
∫
∞
0
乘衰减因子
t
e
σ?
dtetf
tj
∫
∞
+?
0
)(
)(
ωσ
ωσ js +=
∫
∞
0
)( dtetf
st
∫
∞
∞?
dtetf
st
)(
ωσ js +=
dtetf
tj
∫
∞
∞?
+? )(
)(
ωσ
0=σ
0)(
0
=
<
tf
t
124
0)(
0
=
<
tf
t
)(tue
at
t
)(tf
0)1(
0
>σ
as
sF
=
1
)(
傅氏变换不存在，拉氏变换存在
a
a>σ
σ
ωj
从单边拉氏变换到傅氏变换 —有始信号收敛域位于 s右半平面
63
125
从单边拉氏变换到傅氏变换 —有始信号
0)(
0
=
<
tf
t
0)2(
0
<σ
)(tf
t
)(tue
at?
a?
a?>σ
ωj
σ
as
sF
+
=
1
)(
aj
jF
+
=
ω
ω
1
)(
ωjs =
从单边拉氏变换到傅氏变换 —有始信号
0)(
0
=
<
tf
t
0)3(
0
=σ
)(tu
s
sF
1
)( =
∑
+=
=
n
nnjs
ksFjF )()()( ωωδπω
ω
存在傅氏变换，但收敛于虚轴，不能简单用,要包含奇异函数项。
)(
1
)( ωπδ
ω
ω +=
j
jF
ωjs =
64
由 单边拉氏变换求它的傅氏变换
)(.sin
0
tutω
)(.sin)(
0
tuttf ω=
LT
2
0
2
0
)(
ω
ω
+
=
s
sF
[])()(
2
)(
00
22
0
0
ωωδωωδ
π
ωω
ω
ω++
= jjF
∑
+=
=
n
nnjs
ksFjF )()()( ωωδπω
ω 2
0
2
0
)(
)(
ωω
ω
ω
+
=
j
jF
00
2
0
2
0 22
)(
ωωω
ω
js
j
js
j
s
sF
+
=
+
=
K2
K1
128
总结对于因果信号，求单边拉氏变换中，一般是 t>0的信号,所以收敛域在收敛轴的右边。对 F(s)分解因式，找出极点，最右边的极点为收敛坐标。
和 的关系
)(sF )( ωjF
收敛轴位于 s平面的右半平面，则 不存在 )(ωF
0
0
>σ
收敛轴位于 s平面的左半平面，则
ω
ω
js
sFF
=
= )()(
0
0
<σ
)()()(
n
n
njs
ksFF ωωδπω
ω
+=
∑=
则收敛轴位于虚轴
0
0
=σ
65
例：已知解：
0
11
)(
jss
sF
+
==Q
极点位于虚轴上，所以：
