北京邮电大学电信工程学院
1
1.5 信号的分解
直流分量和交流分量
偶分量与奇分量
脉冲分量
实部分量与虚部分量
正交分量
利用分形理论描述信号为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和，
分解角度不同，可以分解为不同的分量北京邮电大学电信工程学院
2
(1) 直流分量和交流分量信号的平均值：即信号的直流分量。从原信号中去掉直流分量即得到信号的交流分量。
)()( tfftf
AD
+=
直流分量 交流分量
D
f
t
)(tf
A
a
0
)(tf
t
a
0
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3
假设信号 f(t)为电流信号，则在单位时间间隔 T内流过电阻所产生的平均功率为：
[]
[]
∫
∫
∫∫
+=
++=
+==
2
2
2
2
2
2
2
2
)(
1
)()(2
1
)(
1
)(
1
22
22
2
2
T
T
T
T
T
T
T
T
dttf
T
f
dttftfff
T
dttff
T
dttf
T
P
AD
AADD
AD
一个信号的平均功率等于 直流功率与交流功率之和 。
(1) 直流分量和交流分量
(2) 偶分量和奇分量
)()(
)]()([)]()([
)]()()()([)(
2
1
2
1
2
1
tftf
tftftftf
tftftftftf
oe
+=
+?+=
++=
)]()([
)()(
2
1
tftf
tftf
ee
+=
=
偶分量定义
)]()([
)()(
2
1
tftf
tftf
oo
=
=
奇分量定义信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率北京邮电大学电信工程学院
5
(3) 分解成冲激脉冲分量之和此窄脉冲可表示为
)()( τττ tutu存在区间：
ττ?脉宽：脉高,),(f
)]()()[( ττττ tutuf
)(
1
tf
1
t?
1
t
t
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6
(3) 分解成冲激脉冲分量之和
∫
=
0
0
00
)()()(
t
dttttftf δ
变量置换
tttt →→
10
∫
=
t
dttttftf
0
111
)()()( δ
11
0
1
0
0
)()(lim)(
1
1
ttttftf
t
t
t
=
∑
=
→?
δ
11111
0
1
0
/)]()()[(lim)(
1
1
tttttuttutftf
t
t
t
=
∑
=
→?
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7
（ 5）分解成实部分量和虚部分量实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来研究实信号。
瞬时值为 复数 的信号可分解为实、虚部两部分之和。
)()()( tjftftf
ir
+=
共轭复函数,
)()()( tjftftf
ir
=
即
)]()([
2
1
)( tftftf
r
+=
)]()([
2
1
)( tftftjf
i
=
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8
(6) 利用分形（ fractal）理论描述信号
分形几何理论的创始人是 B.B.Mandelbrot;
分形具有无限精细的结构，比例自相似性，分数维大于其拓扑维数；
分形的应用主要在信号、图像处理领域。例如：图像数据压缩、语音合成、地震信号或石油探井信号分析、雷达信号检测、通信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征，并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述。
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9
(6) 利用分形（ fractal）理论描述信号北京邮电大学电信工程学院
10
(6) 利用分形（ fractal）理论描述信号北京邮电大学电信工程学院
11
1,系统模型系统可以看作是一个过程，在其中输入信号被该系统所变换，或者说系统以某种方式对信号作出响应。
1.6 系统模型及其划分模型是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。
dt
de
Ci
dt
di
RC
dt
id
LC =++
2
2
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12
基本元件
3.标量乘法器（数乘器，比例器）
()
te
()
tr
A
)()( tAetr
=
1.加法器
()
te
1
()
tr ()
te
1
()
te
2
()
tr
() () ()
tetetr
21
+=
∑
)(
2
te
2.乘法器
()
te
1
()
te
2
()
tr
)()()(
21
tetetr ×=
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13
基本元件
4.微分器
()
te
()
tr
dt
d
()
t
te
tr
d
)(d
=
6.延时器
()
te
()
tr
τ
()
te
()
tr
T
() ( )
τ?=
tetr
5.积分器
()
te
()
tr
∫
∫
∞?
=
t
dttetr )()(
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14
解：
例：请用积分器画出如下微分方程所代表系统的系统框图 。
积分 2次，使方程左端只剩下 r(t)项
∫ ∫∫ ∫ ∫∫
++= dttedttedttrdttrtr )()()(3)(5)(
方程左端只保留输出的最高阶导数项
)(
d
)(d
)(3
d
)(d
5
d
)(d
2
2
te
t
te
tr
t
tr
t
tr
++=
)(
d
)(d
)(3
d
)(d
5
d
)(d
2
2
te
t
te
tr
t
tr
t
tr
+=++
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15
系统框图
∫ ∫∫ ∫ ∫∫
++= dttedttedttrdttrtr )()()(3)(5)(
)(tr
∫
∫
5?
3?
)(te
∫ ∫
解：
例：系统如图所示，画出,,
的图形，并注明坐标值。
)(
1
tf )(
3
tf)(
2
tf
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17
2系统分类连续时间系统：系统的输入输出均为连续时间信号。
离散时间系统：系统的输入输出均为离散时间信号。
{
集总参数：由集总参数元件组成的系统。（常微分方程）
分布参数系统：含有分布参数元件的系统。（偏微分方程 )
{
非时变系统：系统参数不随时间变化的系统。
时变系统：系统参数随时间变化的系统。
{
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18
∫
∞?
=
+=
t
dx
C
ty
nxnxny
ττ)(
1
)(
])[][2(][
22
2系统分类即时系统：系统的输出信号只决定于同时刻的激励信号，与过去的工作状态无关。
动态系统：系统的输出不仅取决于同时刻的激励信号，还与过去的工作状态有关。
{
线性系统：满足 叠加性和均匀性 的系统。
非线性系统：不满足叠加性和均匀性的系统。
{
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19
2系统分类
)(5)(
2
txty =
可逆系统：系统在不同激励的作用下产生不同的响应。存在逆系统，如 y(t)=5x(t)。
不可逆系统：系统在不同激励作用下产生相同的响应。不存在逆系统，如
{
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20
1.7 线性时不变系统(LTI)
指具有线性特性的系统。线性系统,
线性,指均匀性，叠加性。
均匀性(齐次性)：
( ) ( ) ( ) ( )tkrtketrte →?→
叠加性：
)()()()(
)()(
)()(
2121
22
11
trtrtete
trte
trte
+→+?
→
→
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21
1.7 线性时不变系统
H
() ()
tete
2211
αα +
() ()
trtr
2211
αα +
( ) ( )[]( )[ ] ( )[ ]tfHCtfHCtfCtfCH
22112211
+=+若则系统 是线性系统,否则是非线性系统,
注意,外加激励与系统非零状态单独处理
][?H
)()()()(
22112211
tttt
rree αααα
+→+
H
)(
1
te
)(
2
te
H
)(
1
tr
)(
2
tr
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22
1.7 线性时不变系统
2,时不变性一个系统，在 零初始条件 下，其输出响应与输入信号施加于系统的时 间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。
电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变
从方程看:系数是否随时间而变北京邮电大学电信工程学院
23
2 时不变性
t
)(
0
tte
0
0
tTt
+
0
t
0
)(
0
ttr
0
t
)(te
tt
T0 0
)(tr
若,则系统 是非时变系统,
否则是时变系统.
()[ ] ( )ττ?=? tytfH [ ]?H
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24
1.7 线性时不变系统线性时不变系统满足微分特性、积分特性利用线性证明，可推广至高阶。
系统
()
te
()
tr
系统
()
dt
tde
()
dt
tdr
系统
∫
∞?
t
dtte )(
∫
∞?
t
dttr )(
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25
1.7 线性时不变系统因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。
因果系统是物理可实现的系统因果性：设给定系统的激励和响应则如 仅与 时刻激励值有关，为因果系统。
)()( trte →
)(
0
tr
0
tt ≤
现在的响应 =现在的激励 +以前的激励
∴ 该系统为因果系统
∴非因果系统未来的激励解：
)3()0()0(0?+== xxyt
)3()0()0(0 xxyt +==
例1：微分方程 代表的系统是否是因果系统.
)3()()(?+= txtxty
例2：微分方程 代表的系统是否是因果系统.
)3()()( ++= txtxty
解：
例：
解：
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28
1.8 系统分析方法模型建立
→?
（控制系统）
响应和系统内部各变量状态变量描述法：提供
（通信系统）
响应于系统的激励输入输出描述法：着眼关系模型求解北京邮电大学电信工程学院
29
内容及要求掌握信号与系统的基本概念。(1.1节)
掌握信号的描述方法，分类方法和基本特性。(1.2节)
掌握信号的基本运算方法。（1.3节）
掌握和理解阶跃信号和冲激信号。（1.4节）
掌握系统的表示方法（1.6节）
掌握系统的特性和分类。（1.7节）
初步理解线性时不变系统的分析方法。（ 1.8节）
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30
重点与难点掌握信号的 概念，描述方法，分类和特性 ；
信号的 基本运算 和常用信号 u(t),δ(t)；
掌握 系统的概念 以及 线性时不变系统 的性质。
1
1.5 信号的分解
直流分量和交流分量
偶分量与奇分量
脉冲分量
实部分量与虚部分量
正交分量
利用分形理论描述信号为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和，
分解角度不同，可以分解为不同的分量北京邮电大学电信工程学院
2
(1) 直流分量和交流分量信号的平均值：即信号的直流分量。从原信号中去掉直流分量即得到信号的交流分量。
)()( tfftf
AD
+=
直流分量 交流分量
D
f
t
)(tf
A
a
0
)(tf
t
a
0
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3
假设信号 f(t)为电流信号，则在单位时间间隔 T内流过电阻所产生的平均功率为：
[]
[]
∫
∫
∫∫
+=
++=
+==
2
2
2
2
2
2
2
2
)(
1
)()(2
1
)(
1
)(
1
22
22
2
2
T
T
T
T
T
T
T
T
dttf
T
f
dttftfff
T
dttff
T
dttf
T
P
AD
AADD
AD
一个信号的平均功率等于 直流功率与交流功率之和 。
(1) 直流分量和交流分量
(2) 偶分量和奇分量
)()(
)]()([)]()([
)]()()()([)(
2
1
2
1
2
1
tftf
tftftftf
tftftftftf
oe
+=
+?+=
++=
)]()([
)()(
2
1
tftf
tftf
ee
+=
=
偶分量定义
)]()([
)()(
2
1
tftf
tftf
oo
=
=
奇分量定义信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率北京邮电大学电信工程学院
5
(3) 分解成冲激脉冲分量之和此窄脉冲可表示为
)()( τττ tutu存在区间：
ττ?脉宽：脉高,),(f
)]()()[( ττττ tutuf
)(
1
tf
1
t?
1
t
t
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6
(3) 分解成冲激脉冲分量之和
∫
=
0
0
00
)()()(
t
dttttftf δ
变量置换
tttt →→
10
∫
=
t
dttttftf
0
111
)()()( δ
11
0
1
0
0
)()(lim)(
1
1
ttttftf
t
t
t
=
∑
=
→?
δ
11111
0
1
0
/)]()()[(lim)(
1
1
tttttuttutftf
t
t
t
=
∑
=
→?
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7
（ 5）分解成实部分量和虚部分量实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来研究实信号。
瞬时值为 复数 的信号可分解为实、虚部两部分之和。
)()()( tjftftf
ir
+=
共轭复函数,
)()()( tjftftf
ir
=
即
)]()([
2
1
)( tftftf
r
+=
)]()([
2
1
)( tftftjf
i
=
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8
(6) 利用分形（ fractal）理论描述信号
分形几何理论的创始人是 B.B.Mandelbrot;
分形具有无限精细的结构，比例自相似性，分数维大于其拓扑维数；
分形的应用主要在信号、图像处理领域。例如：图像数据压缩、语音合成、地震信号或石油探井信号分析、雷达信号检测、通信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征，并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述。
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(6) 利用分形（ fractal）理论描述信号北京邮电大学电信工程学院
10
(6) 利用分形（ fractal）理论描述信号北京邮电大学电信工程学院
11
1,系统模型系统可以看作是一个过程，在其中输入信号被该系统所变换，或者说系统以某种方式对信号作出响应。
1.6 系统模型及其划分模型是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。
dt
de
Ci
dt
di
RC
dt
id
LC =++
2
2
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基本元件
3.标量乘法器（数乘器，比例器）
()
te
()
tr
A
)()( tAetr
=
1.加法器
()
te
1
()
tr ()
te
1
()
te
2
()
tr
() () ()
tetetr
21
+=
∑
)(
2
te
2.乘法器
()
te
1
()
te
2
()
tr
)()()(
21
tetetr ×=
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基本元件
4.微分器
()
te
()
tr
dt
d
()
t
te
tr
d
)(d
=
6.延时器
()
te
()
tr
τ
()
te
()
tr
T
() ( )
τ?=
tetr
5.积分器
()
te
()
tr
∫
∫
∞?
=
t
dttetr )()(
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解：
例：请用积分器画出如下微分方程所代表系统的系统框图 。
积分 2次，使方程左端只剩下 r(t)项
∫ ∫∫ ∫ ∫∫
++= dttedttedttrdttrtr )()()(3)(5)(
方程左端只保留输出的最高阶导数项
)(
d
)(d
)(3
d
)(d
5
d
)(d
2
2
te
t
te
tr
t
tr
t
tr
++=
)(
d
)(d
)(3
d
)(d
5
d
)(d
2
2
te
t
te
tr
t
tr
t
tr
+=++
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系统框图
∫ ∫∫ ∫ ∫∫
++= dttedttedttrdttrtr )()()(3)(5)(
)(tr
∫
∫
5?
3?
)(te
∫ ∫
解：
例：系统如图所示，画出,,
的图形，并注明坐标值。
)(
1
tf )(
3
tf)(
2
tf
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2系统分类连续时间系统：系统的输入输出均为连续时间信号。
离散时间系统：系统的输入输出均为离散时间信号。
{
集总参数：由集总参数元件组成的系统。（常微分方程）
分布参数系统：含有分布参数元件的系统。（偏微分方程 )
{
非时变系统：系统参数不随时间变化的系统。
时变系统：系统参数随时间变化的系统。
{
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∫
∞?
=
+=
t
dx
C
ty
nxnxny
ττ)(
1
)(
])[][2(][
22
2系统分类即时系统：系统的输出信号只决定于同时刻的激励信号，与过去的工作状态无关。
动态系统：系统的输出不仅取决于同时刻的激励信号，还与过去的工作状态有关。
{
线性系统：满足 叠加性和均匀性 的系统。
非线性系统：不满足叠加性和均匀性的系统。
{
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2系统分类
)(5)(
2
txty =
可逆系统：系统在不同激励的作用下产生不同的响应。存在逆系统，如 y(t)=5x(t)。
不可逆系统：系统在不同激励作用下产生相同的响应。不存在逆系统，如
{
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20
1.7 线性时不变系统(LTI)
指具有线性特性的系统。线性系统,
线性,指均匀性，叠加性。
均匀性(齐次性)：
( ) ( ) ( ) ( )tkrtketrte →?→
叠加性：
)()()()(
)()(
)()(
2121
22
11
trtrtete
trte
trte
+→+?
→
→
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1.7 线性时不变系统
H
() ()
tete
2211
αα +
() ()
trtr
2211
αα +
( ) ( )[]( )[ ] ( )[ ]tfHCtfHCtfCtfCH
22112211
+=+若则系统 是线性系统,否则是非线性系统,
注意,外加激励与系统非零状态单独处理
][?H
)()()()(
22112211
tttt
rree αααα
+→+
H
)(
1
te
)(
2
te
H
)(
1
tr
)(
2
tr
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22
1.7 线性时不变系统
2,时不变性一个系统，在 零初始条件 下，其输出响应与输入信号施加于系统的时 间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。
电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变
从方程看:系数是否随时间而变北京邮电大学电信工程学院
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2 时不变性
t
)(
0
tte
0
0
tTt
+
0
t
0
)(
0
ttr
0
t
)(te
tt
T0 0
)(tr
若,则系统 是非时变系统,
否则是时变系统.
()[ ] ( )ττ?=? tytfH [ ]?H
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1.7 线性时不变系统线性时不变系统满足微分特性、积分特性利用线性证明，可推广至高阶。
系统
()
te
()
tr
系统
()
dt
tde
()
dt
tdr
系统
∫
∞?
t
dtte )(
∫
∞?
t
dttr )(
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1.7 线性时不变系统因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。
因果系统是物理可实现的系统因果性：设给定系统的激励和响应则如 仅与 时刻激励值有关，为因果系统。
)()( trte →
)(
0
tr
0
tt ≤
现在的响应 =现在的激励 +以前的激励
∴ 该系统为因果系统
∴非因果系统未来的激励解：
)3()0()0(0?+== xxyt
)3()0()0(0 xxyt +==
例1：微分方程 代表的系统是否是因果系统.
)3()()(?+= txtxty
例2：微分方程 代表的系统是否是因果系统.
)3()()( ++= txtxty
解：
例：
解：
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28
1.8 系统分析方法模型建立
→?
（控制系统）
响应和系统内部各变量状态变量描述法：提供
（通信系统）
响应于系统的激励输入输出描述法：着眼关系模型求解北京邮电大学电信工程学院
29
内容及要求掌握信号与系统的基本概念。(1.1节)
掌握信号的描述方法，分类方法和基本特性。(1.2节)
掌握信号的基本运算方法。（1.3节）
掌握和理解阶跃信号和冲激信号。（1.4节）
掌握系统的表示方法（1.6节）
掌握系统的特性和分类。（1.7节）
初步理解线性时不变系统的分析方法。（ 1.8节）
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30
重点与难点掌握信号的 概念，描述方法，分类和特性 ；
信号的 基本运算 和常用信号 u(t),δ(t)；
掌握 系统的概念 以及 线性时不变系统 的性质。
