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1
第三章 傅里叶变换
傅里叶级数及其性质
傅里叶变换及性质
周期信号和非周期信号的频谱分析
卷积定理
调制与解调
抽样信号的傅里叶变换
抽样定理北京邮电大学电信工程学院
2
第三章 傅里叶变换
能量谱和功率谱
利用系统函数求响应
无失真传输
理想低通滤波器
频分复用与时分复用北京邮电大学电信工程学院
3
傅立叶的两个最主要的贡献
,周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和” ——傅里叶的第一个主要论点
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
4
3.1 周期信号的傅立叶级数分析一,三角函数的傅里叶级数是一个完备的正交函数集
t在一个周期内，
{ }tntn
11
sin,cos ωω
∞= L1,0n
0sincos
1
2
2
1
=?
∫
dttmtn
T
T
ωω
≠
=
=?
∫
nm
nm
T
dttmtn
T
T
,0
,
2
coscos
1
2
2
1
ωω
≠
=
=?
∫
nm
nm
T
dttmtn
T
T
,0
,
2
sinsin
1
2
2
1
ωω
由积分可知
3.1 周期信号的傅立叶级数分析一,三角函数的傅里叶级数直流分量基波分量
n =1
谐波分量
n>1
1
1
2
T
π
ω =
1
ωn
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6
∫
+
=
10
0
)(
1
1
0
Tt
t
dttf
T
a
直流系数
∫
+
=
10
0
1
1
cos)(
2
Tt
t
n
tdtntf
T
a ω
余弦分量系数
tdtntf
T
b
Tt
t
n
∫
+
=
10
0
1
1
sin)(
2
ω
正弦分量系数一,三角函数的傅里叶级数北京邮电大学电信工程学院
7
狄利赫利条件在一个周期内只有有限个间断点；
在一个周期内有有限个极值点；
在一个周期内函数绝对可积，即一般周期信号都满足这些条件.
∞<
∫
+
dttf
Tt
t
10
0
)(
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8
)cos()(
01
1
0
φω ++=
∑
∞
=
tnCCtf
n
n
周期信号的另一种三角函数正交集表示
)sin()(
1
10 n
n
n
tnddtf θω ++=
∑
∞
=
或：
)sincos()(
11
1
0
tnbtnaatf
nn
n
ωω ++=
∑
∞
=
由前知：
一,三角函数的傅里叶级数北京邮电大学电信工程学院
9
000
dCa ==
22
nnnn
badC +==
nnnnn
dCa θφ sincos ==
nnnnn
dCb θφ cossin =?=
n
n
n
b
a
tg =θ
n
n
n
a
b
tg?=φ
系数的关系一,三角函数的傅里叶级数
)cos()(
01
1
0
φω ++=
∑
∞
=
tnCCtf
n
n
一,三角函数的傅里叶级数北京邮电大学电信工程学院
11
周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的频移。
(a) 幅度谱 (b) 相位谱一,三角函数的傅里叶级数北京邮电大学电信工程学院
12
二,指数形式的傅立叶级数
)sincos()(
11
1
01
tnbtnaatf
nn
n
ωω ++=
∑
∞
=
由前知：
)
22
()(
11
1
0
tjn
nn
tjn
n
nn
e
jba
e
jba
atf
ωω?
∞
=
+
+
+=
∑
由欧拉公式得：
)(
2
1
)(
1 nn
jbanF?=ω
)(
2
1
)(
1 nn
jbanF +=? ω
0
)0( aF =
引入了负频率令：
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13
二,指数形式的傅立叶级数的整 数是从 ),()(
1 10
0
1
1
+∞?∞=
∫
+
ndtetf
T
F
Tt
t
tjn
n
ω
得到 f(t) 的指数形式的傅立叶级数系数 （或简写作 ） 等于：
tjn
n
enFtf
1
)()(
1
ω
ω
∑
∞
∞=
=
)(
1
ωnF
n
F
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14
0000
adcF ===
)(
2
1
nn
j
nn
jbaeFF
n
==
)(
2
1
nn
j
nn
jbaeFF
n
+==
22
2
1
2
1
2
1
nnnnnn
badcFF +====
两种傅氏级数的系数间的关系二,指数形式的傅立叶级数北京邮电大学电信工程学院
15
nnn
cFF =+
nnn
aFF =+
nnn
bFFj =?
)(
nnnnnn
FFbadc
=+== 4
2222
两种傅氏级数的系数间的关系二,指数形式的傅立叶级数二,指数形式的傅立叶级数周期复指数信号的频谱图
n
n
F
n
F
1
ω
1
ω
1
ω
1
ωn
1
ωn
1
ωn
00
0
二,指数形式的傅立叶级数北京邮电大学电信工程学院
18
周期复指数信号的频谱图的特点：
引入了负频率变量，没有物理意义，只是数 学推导；
Cn 是实函数，Fn 一般是复函数；
当 Fn 是实函数时，可用Fn的正负表示0
和π相位，幅度谱和相位谱合一；
二,指数形式的傅立叶级数北京邮电大学电信工程学院
19
周期信号的功率特性：
∫
+
==
10
0
)(
1
)(
2
1
2
Tt
t
dttf
T
tfP
P为周期信号的平均功率
∑
∞
∞=
=
n
n
FP
2
符合帕塞瓦尔定理二,指数形式的傅立叶级数周期信号的平均功率等于傅立叶级数展开各谐波分量有效值的平方和 ——时域和频域的能量守恒。
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20
三,函数的对称性与傅里叶系数关系三种对称：
偶函数,f (t )=f (-t)
奇函数,f (t )= - f (-t)
奇谐函数,半周期对称任意周期函数有：
偶函数项 奇函数项
)
2
()(
1
nT
tftf ±?=
)sincos()(
11
1
01
tnbtnaatf
nn
n
ωω ++=
∑
∞
=
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21
1,偶函数的傅立叶级数
tnaatf
n
n 1
1
0
cos)( ω
∑
∞
=
+=
周期偶函数的傅立叶级数中只含直流和余弦项
∫
+
=
10
0
.cos)(
2
1
1
Tt
t
n
dttntf
T
a ω
2
n
nn
a
FF ==
其中a 是实数
bn=0
Fn是实数
tdtntf
T
b
Tt
t
n
∫
+
=
10
0
1
1
sin)(
2
ω
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22
偶函数举例
.....)5cos
25
1
3cos
9
1
(cos
4
2
)(
111
2
++++= ttt
EE
tf ωωω
π
E
f(t)
T1/2
-T1/2
t
1,偶函数的傅立叶级数北京邮电大学电信工程学院
23
2,奇函数的傅立叶级数
tnbtf
n
n
1
1
sin)( ω
∑
∞
=
=
周期奇函数的傅立叶级数中只含正弦项
∫
=
2/
0
1
1
1
.sin).(
4
T
n
dttntf
T
b ω
00
0
==
n
aa
j
b
FF
n
nn
2
=?=
a=0
bn
Fn是虚数北京邮电大学电信工程学院
24
周期锯齿波 ——奇函数举例
)()(
22
1
11
TT
tt
T
A
tf <<?=
f(t)
0
A
-A
T1/2-T1/2 t
2,奇函数的傅立叶级数北京邮电大学电信工程学院
25
....)3sin
3
1
2sin
2
1
(sin)(
111
+?= ttt
A
tf ωωω
π
2,奇函数的傅立叶级数
00
0
==
n
aa
L3,2,1)1(sin
2
1
1
2
2
1
1
1
=?==
+
∫
n
n
A
dtnt
T
A
T
b
n
T
Tn
π
ω
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26
3,奇谐函数的傅立叶级数
)
2
()(
1
T
tftf ±?=
奇谐函数：沿时间轴移半个周期并相对该轴上下反转，此时波形并不发生变化
0
)(tf
2
1
T
2
1
T
t
奇谐函数波形北京邮电大学电信工程学院
27
奇谐函数的偶次谐波的系数为 0
3,奇谐函数的傅立叶级数
dttntf
T
a
T
n
)cos()(
4
2
0
1
1
1
∫
= ω
dttntf
T
b
T
n
)sin()(
4
2
0
1
1
1
∫
= ω
n 为奇数
0
0
=
=
n
n
b
a
n 为偶数北京邮电大学电信工程学院
28
4,傅里叶有限级数与最小均方误差如果完全逼近，则 n=∞;
实际中 n=N,N是有限整数。
如果 N愈接近∞,则其均方误差愈小若用前 2N＋ 1项逼近，则
)sincos()(
11
1
0
tbtaatS
n
N
n
nN
ωω ++=
∑
=
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29
)()()( tStft
NN
=ε
)](
2
1
[)(
)(
1
)(
2
1
22
0
2
2
1
2
10
0
n
N
n
n
Tt
t
NNN
baatf
dtt
T
tE
++?=
==
∑
∫
=
+
εε
4,傅里叶有限级数与最小均方误差误差函数：
均方误差：
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30
以方波为例，因其为偶函数、奇谐函数，只有奇次谐波的余弦项。
2
sin
2 π
π
n
n
E
a
n
=
E/2
-E/2
T1/4-T1/4
t
4,傅里叶有限级数与最小均方误差
)5cos3cos(cos)(
1
5
1
1
3
1
1
2
L?+?= ttttf
E
ωωω
π
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
)(cos
2
11
t
E
S ω
π
=
2
1
05.0 EE ≈
(1) 取基波时
)3cos
3
1
(cos
2
112
tt
E
S ωω
π
=
2
2
02.0 EE =
(2) 取基波和三次谐波时
)5cos
5
1
3cos
3
1
(cos
2
1113
ttt
E
S ωωω
π
+?=
2
3
01.0 EE =
(3) 取基波、三次、五次谐波时
4,傅里叶有限级数与最小均方误差北京邮电大学电信工程学院
32
N越大，越接近方波信号的高频分量，主要影响跳变沿；
信号的低频分量，主要影响顶部；
任一分量的幅度或相位发生相对变化时，
波形将会失真有吉伯斯现象发生
)(lim tfS
N
N
=
∞→
4,傅里叶有限级数与最小均方误差结论：
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33
3.2 典型周期信号的傅立叶级数周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波脉冲信号周期全波脉冲信号北京邮电大学电信工程学院
34
一,周期矩形脉冲信号在一个周期内的表达式为：
[ ])()()(
22
ττ
+= tutuEtf
3.2 典型周期信号的傅立叶级数
1
T
1
T
0
2
τ
2
τ
E
)(tf
t
>
≤
=
)
2
(0
)
2
(
)(
τ
τ
t
tE
tf
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35
=
=
=
∫
2
)
2
sin(
)(
)(
1
1
1
1
2/2/
11
2
21
11
1
τω
τω
τ
ω
τωτω
τ
τ
ω
n
n
T
E
ee
jnT
E
dtEe
T
F
jnjn
tjn
n
)
2
(
1
τωn
Sa
因其为偶函数，
展开成指数形式的傅立叶级数，则：
3.2 典型周期信号的傅立叶级数北京邮电大学电信工程学院
36
周期矩形信号的傅立叶级数为：
3.2 典型周期信号的傅立叶级数
离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。
各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，
与周期成反比。
各谱线的幅度按包络线变化。过零点为
)(
1
T
n
Sa
πτ
τ
π
ω
m2
=
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38
频带宽度在满足一定失真的条件下，信号可以用某频率范围的信号来表示。此频率范围称为频带宽度。
对于一般周期信号，将幅度下降为 的频率区间定义为频带宽度
max
1
)(
10
1
ωnF
一般把第一个零点作为信号的频带宽度，记为：
带宽与脉宽成反比，或
ττ
π
ω
12
==
f
BB
系统的通频带大于信号的频带宽度，才能不失真。
周期矩形信号的频谱变化规律若τ不变，改变 T的情况下频谱的变化若 T不变，改变τ的情况下频谱的变化北京邮电大学电信工程学院
40
对称方波是周期矩形的特例
T1
T1/4
-T1/4
)(tx
实偶实偶函数函数
)(
11
T
n
Sa
T
E
F
n
πττ
=
∑
∞
∞=
=
n
tjn
n
eFtf
1
)(
ω
周期周期矩形矩形
+?=,...5cos
5
1
3cos
3
1
cos
2
)(
111
ttt
E
tf ωωω
π
对称方波对称方波奇次余弦奇次余弦解：
<<?
<≤
=
)0(0
)0(
2
)(
2
2
t
tt
T
tf
T
T
在一个周期内的函数表达式为
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44
当周期信号的周期T 0无限大时,就演变成了非周期的单脉冲信号
∞→
0
T
离散谱变成了连续谱
3.3 傅立叶变换
0)(
1
)(
2
2
1
1
1
1
1
→=
∫
T
T
tjn
dtetf
T
nF
ω
ω谱系数
0
2
1
1
→=
T
π
ω谱线间隔再用 表示频谱就不合适了，引入频谱密度的概念,
)(
1
ωnF
11
1
1
0
)(lim
)(2
lim)(
11
TnF
nF
F
T
ω
ω
ωπ
ω
ω ∞→→
==
从周期信号离散傅立叶级数推导 非周期信号 的傅立叶变换
∑
∞
=
=
ω
ω
ω
n
tjn
enFtf
1
).()(
1
dtetf
T
nF
T
T
tjn
∫
=
2
1
2
1
1
).(
1
)(
1
1
ω
ω
dtetfF
T
T
tjn
T
∫
∞→
=
2/
2/
1
1
1
1
)(lim)(
ω
ω
dtetfF
tj
∫
∞
∞?
=
ω
ω ).()(
频谱函数频谱函数傅立叶变换
dtetf
nF
nFT
T
T
tjn
∫
==
2
1
2
1
1
).(
)(2
)(
1
1
11
ω
ω
ωπ
ω
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46
傅立叶逆变换的推导
ωωωωωωωω dnnTFnF →?=→→∞→→ )(,,0),()(
111111
ωω
π
ω
deFtf
tj
.)(
2
1
)(
∫
∞
∞?
=
傅立叶傅立叶逆变换逆变换
1
1
1
1
11
)(
).()( ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω tjn
nn
tjn
e
nF
enFtf
∑∑
∞
∞=
∞
=
==
π
ω
ω
ωω
2
)(
lim
)(lim)(
1
1
11
1
1
nF
nFTF
T
T
∞→
∞→
=
=Q
π
ω
ω
ω
2
)()(
lim
1
1
1
FnF
T
=∴
∞→
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47
F(ω )表示单位频带的频谱值，是 f(t) 的频谱密度函数，简称频谱函数,F(ω )是一个连续谱。
傅立叶变换一般为复函数
)(
)()(
ω?
ωω
j
eFF =
3.3 傅立叶变换北京邮电大学电信工程学院
48
∫∫
∞
∞?
+
∞
∞?
== ωω
π
ωω
π
ω?ωω
deFdeFtf
tjtj ))((
)(
2
1
)(
2
1
)(
dtetfF
tj
∫
∞
∞?
=
ω
ω ).()(
傅立叶变换对：
简写为：
)()( ωFtf?
3.3 傅立叶变换北京邮电大学电信工程学院
49
∞<
∫
∞
∞?
dttf )(
傅立叶变换存在的充分条件用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，
因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换。
3.3 傅立叶变换即 绝对可积所有能量信号均满足此条件。
)(tf
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50
tdttfjtdttf
dttjttftf
dtetfF
oe
oe
tj
ωω
ωω
ω
ω
sin)(2cos)(2
]sin)][cos()([
)()(
00
∫∫
∫
∫
∞+∞+
∞+
∞?
+∞
∞?
=
+=
=
)()()()(
)(
ωωωω
ωφ
jXReFF
j
+==
实部 虚部
3.3 傅立叶变换
)()()( tftftf
oe
+=
实信号 偶分量 奇分量北京邮电大学电信工程学院
51
3.3 傅立叶变换为实 函数，只有,相位
)(ωF?
)(ωR π±
)(tf
偶 函数
（ 奇 分量为 零 ）
)(tf
奇 函数
（ 偶 分量为 零 ）
2
π
±
)(ωX
为虚 函数，只有,相位
)(ωF?
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52
傅立叶变换的物理意义非周期信号也可以分解成许多频率不同的正、余弦分量；
由于非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率成分。
实函数
ωω
π
ωω
π
ωωφω
deeFdeFtf
tjjtj
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
==
)(
)(
2
1
)(
2
1
)(
ωωφωω
π
ωωφωω
π
dtFj
dtF
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
++
+=
)](sin[)(
2
1
)](cos[)(
2
1
ωωφωω
π
dtF
∫
∞
+=
0
)](cos[)(
1
积分为零北京邮电大学电信工程学院
53
(a) F(ω )是一个 密度函数 的概念
(b) F(ω )是一个 连续谱
(c) F(ω )包含了 从零到无限高频的所有频率分量
(d) 各频率分量的频率 不成谐波 关系傅立叶变换的物理意义北京邮电大学电信工程学院
54
单边指数信号双边指数信号矩形脉冲信号钟形脉冲信号符号函数
3.4 典型非周期信号的频谱北京邮电大学电信工程学院
55
1,单边指数信号信号表达式
<
≥
=
)0(0
)0(
)(
t
te
tf
tα
)0(
1
)()( >
+
==
∫
∞
∞?
α
ωα
ω
ω
j
dtetfF
tj
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56
22
1
)(
ωα
ω
+
=F
)()(
α
ω
ω? arctg?=
幅度? 相位
1,单边指数信号北京邮电大学电信工程学院
57
2,双边指数信号
)()( +∞<<?∞=
tetf
tα
22
2
)(
ωα
α
ω
+
=F
0)( =ω?
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58
3,矩形脉冲信号
)(
)sin(
)sin(
2
)(
2
2
2
2
2/
2/
ωτ
ωτ
ωτ
ωτ
τ
τ
ω
ττ
ω
ω
SaEE
E
dtEeF
tj
=
==
=
∫
)()(
2
ωτ
τω SaEF =
>
≤
=
)(0
)(
)(
2
2
τ
τ
t
tE
tf
E
t
)(tf
2
τ
2
τ
北京邮电大学电信工程学院
59
频谱图
ττ
π
ωτ
τω
ω
12
)
2
()(
≈≈
=
f
BB
SaEF
或频宽：
北京邮电大学电信工程学院
60
4,钟形脉冲信号
2
)(
)(
τ
t
Eetf
= 0)()(
2
)
2
(
==
ωφτπω
ωτ
eEF
2
)
2
(
)(
ωτ
τπω
= eEF
北京邮电大学电信工程学院
61
5,直流信号
)(
)(
+∞<<?∞
=
t
Etf
不满足绝对可积的条件，
不能直接用定义来求
0
E
t
E
t
)(tf
τ? τ
)(
1
tf
∞→τ
)(2
sin
lim2
sin2
lim
lim
lim
lim)(
ωδπ
ωτ
ωτ
π
τ
π
ω
ωτ
ω
ω
ω
τ
τ
ωτωτ
τ
τ
τ
ω
τ
τ
τ
ω
τ
E
E
E
j
ee
E
j
e
E
dtEeF
jj
tj
tj
=
=
=
=
=
=
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
∫
5,直流信号
0
Eπ2
ω
)(ωF
窄时域无限宽，频带无限
)(2 ωδπEE?
北京邮电大学电信工程学院
63
6,符号函数
<?
=
>+
==
)0(1
)0(0
)0(1
)sgn()(
t
t
t
ttf
]).[sgn(lim
)(lim)(
0
1
0
ta
a
a
et
tftf
→
→
=
=
不满足绝对可积的条件，不能直接用定义来求处理方法：做一个双边函数
，求求极限得到 。
t
ettf
α?
= )sgn()(
1
)(
1
ωF
)(ωF
北京邮电大学电信工程学院
64
22
0
0
1
2
)()(
ωα
ω
ω
ωα
ωα
+
=+
=
∫
∫
∞+
∞?
j
dtee
dteeF
tjt
tjt
22
2
)(
αω
ω
ω
+
=F
<+
>?
=
)0(
)0(
)(
2
2
ω
ω
ω?
π
π
ω
ω
ω
ωω
j
a
j
FF
a
a
2
2
lim
)(lim)(
22
0
1
0
=
+
=
=
→
→
ω
ω
2
)( =F
<+
>?
=
)0(
)0(
)(
2
2
ω
ω
ω?
π
π
6,符号函数北京邮电大学电信工程学院
65
6,符号函数
）是奇函数（
是偶函数
ωφ
ω)(F
矩形脉冲频谱
7,升余弦脉冲信号
)0(
)cos(1
2
)(
τ
τ
π
≤≤
+=
t
tE
tf
其频谱比矩形脉冲更集中北京邮电大学电信工程学院
67
3.5 冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换
∫
∞
∞?
== 1)()( dtetF
tjω
δω
π
ωωδ
π
ωδ
ω
2
1
)(
2
1
)]([
1
==
∫
∞
∞?
de
FT
tj
1
0
)(ωF
ω
t
)(tδ
0
1.冲激函数的傅立叶变换及逆变换北京邮电大学电信工程学院
68
2.冲激偶的傅立叶变换
3.5 冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换
n
n
n
jt
dt
d
F )()( ωδ =
ωω
δδ
δ
ω
ω
jj
e
dtettF
fdtttf
t
tj
tj
==
=
=∴
=
=
∞
∞?
∞
∞?
∫
∫
)(
][
)()]([
)0()()(
0
'
''
''
Q
北京邮电大学电信工程学院
69
2.阶跃函数的傅立叶变换
)sgn()(
2
1
2
1
ttu +=
0
π
ω
0
ω
0
ω
π
)(ωF
0
2
1
t
0
0
)(tu
t
t
)sgn(
2
1
t
2
1
2
1
1
)(
2
1
ωπδ?
ωj
t
1
)sgn(
2
1
ω
ωπδ
j
tu
1
)()( +?∴
1
第三章 傅里叶变换
傅里叶级数及其性质
傅里叶变换及性质
周期信号和非周期信号的频谱分析
卷积定理
调制与解调
抽样信号的傅里叶变换
抽样定理北京邮电大学电信工程学院
2
第三章 傅里叶变换
能量谱和功率谱
利用系统函数求响应
无失真传输
理想低通滤波器
频分复用与时分复用北京邮电大学电信工程学院
3
傅立叶的两个最主要的贡献
,周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和” ——傅里叶的第一个主要论点
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
4
3.1 周期信号的傅立叶级数分析一,三角函数的傅里叶级数是一个完备的正交函数集
t在一个周期内，
{ }tntn
11
sin,cos ωω
∞= L1,0n
0sincos
1
2
2
1
=?
∫
dttmtn
T
T
ωω
≠
=
=?
∫
nm
nm
T
dttmtn
T
T
,0
,
2
coscos
1
2
2
1
ωω
≠
=
=?
∫
nm
nm
T
dttmtn
T
T
,0
,
2
sinsin
1
2
2
1
ωω
由积分可知
3.1 周期信号的傅立叶级数分析一,三角函数的傅里叶级数直流分量基波分量
n =1
谐波分量
n>1
1
1
2
T
π
ω =
1
ωn
北京邮电大学电信工程学院
6
∫
+
=
10
0
)(
1
1
0
Tt
t
dttf
T
a
直流系数
∫
+
=
10
0
1
1
cos)(
2
Tt
t
n
tdtntf
T
a ω
余弦分量系数
tdtntf
T
b
Tt
t
n
∫
+
=
10
0
1
1
sin)(
2
ω
正弦分量系数一,三角函数的傅里叶级数北京邮电大学电信工程学院
7
狄利赫利条件在一个周期内只有有限个间断点；
在一个周期内有有限个极值点；
在一个周期内函数绝对可积，即一般周期信号都满足这些条件.
∞<
∫
+
dttf
Tt
t
10
0
)(
北京邮电大学电信工程学院
8
)cos()(
01
1
0
φω ++=
∑
∞
=
tnCCtf
n
n
周期信号的另一种三角函数正交集表示
)sin()(
1
10 n
n
n
tnddtf θω ++=
∑
∞
=
或：
)sincos()(
11
1
0
tnbtnaatf
nn
n
ωω ++=
∑
∞
=
由前知：
一,三角函数的傅里叶级数北京邮电大学电信工程学院
9
000
dCa ==
22
nnnn
badC +==
nnnnn
dCa θφ sincos ==
nnnnn
dCb θφ cossin =?=
n
n
n
b
a
tg =θ
n
n
n
a
b
tg?=φ
系数的关系一,三角函数的傅里叶级数
)cos()(
01
1
0
φω ++=
∑
∞
=
tnCCtf
n
n
一,三角函数的傅里叶级数北京邮电大学电信工程学院
11
周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的频移。
(a) 幅度谱 (b) 相位谱一,三角函数的傅里叶级数北京邮电大学电信工程学院
12
二,指数形式的傅立叶级数
)sincos()(
11
1
01
tnbtnaatf
nn
n
ωω ++=
∑
∞
=
由前知：
)
22
()(
11
1
0
tjn
nn
tjn
n
nn
e
jba
e
jba
atf
ωω?
∞
=
+
+
+=
∑
由欧拉公式得：
)(
2
1
)(
1 nn
jbanF?=ω
)(
2
1
)(
1 nn
jbanF +=? ω
0
)0( aF =
引入了负频率令：
北京邮电大学电信工程学院
13
二,指数形式的傅立叶级数的整 数是从 ),()(
1 10
0
1
1
+∞?∞=
∫
+
ndtetf
T
F
Tt
t
tjn
n
ω
得到 f(t) 的指数形式的傅立叶级数系数 （或简写作 ） 等于：
tjn
n
enFtf
1
)()(
1
ω
ω
∑
∞
∞=
=
)(
1
ωnF
n
F
北京邮电大学电信工程学院
14
0000
adcF ===
)(
2
1
nn
j
nn
jbaeFF
n
==
)(
2
1
nn
j
nn
jbaeFF
n
+==
22
2
1
2
1
2
1
nnnnnn
badcFF +====
两种傅氏级数的系数间的关系二,指数形式的傅立叶级数北京邮电大学电信工程学院
15
nnn
cFF =+
nnn
aFF =+
nnn
bFFj =?
)(
nnnnnn
FFbadc
=+== 4
2222
两种傅氏级数的系数间的关系二,指数形式的傅立叶级数二,指数形式的傅立叶级数周期复指数信号的频谱图
n
n
F
n
F
1
ω
1
ω
1
ω
1
ωn
1
ωn
1
ωn
00
0
二,指数形式的傅立叶级数北京邮电大学电信工程学院
18
周期复指数信号的频谱图的特点：
引入了负频率变量，没有物理意义，只是数 学推导；
Cn 是实函数，Fn 一般是复函数；
当 Fn 是实函数时，可用Fn的正负表示0
和π相位，幅度谱和相位谱合一；
二,指数形式的傅立叶级数北京邮电大学电信工程学院
19
周期信号的功率特性：
∫
+
==
10
0
)(
1
)(
2
1
2
Tt
t
dttf
T
tfP
P为周期信号的平均功率
∑
∞
∞=
=
n
n
FP
2
符合帕塞瓦尔定理二,指数形式的傅立叶级数周期信号的平均功率等于傅立叶级数展开各谐波分量有效值的平方和 ——时域和频域的能量守恒。
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20
三,函数的对称性与傅里叶系数关系三种对称：
偶函数,f (t )=f (-t)
奇函数,f (t )= - f (-t)
奇谐函数,半周期对称任意周期函数有：
偶函数项 奇函数项
)
2
()(
1
nT
tftf ±?=
)sincos()(
11
1
01
tnbtnaatf
nn
n
ωω ++=
∑
∞
=
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21
1,偶函数的傅立叶级数
tnaatf
n
n 1
1
0
cos)( ω
∑
∞
=
+=
周期偶函数的傅立叶级数中只含直流和余弦项
∫
+
=
10
0
.cos)(
2
1
1
Tt
t
n
dttntf
T
a ω
2
n
nn
a
FF ==
其中a 是实数
bn=0
Fn是实数
tdtntf
T
b
Tt
t
n
∫
+
=
10
0
1
1
sin)(
2
ω
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22
偶函数举例
.....)5cos
25
1
3cos
9
1
(cos
4
2
)(
111
2
++++= ttt
EE
tf ωωω
π
E
f(t)
T1/2
-T1/2
t
1,偶函数的傅立叶级数北京邮电大学电信工程学院
23
2,奇函数的傅立叶级数
tnbtf
n
n
1
1
sin)( ω
∑
∞
=
=
周期奇函数的傅立叶级数中只含正弦项
∫
=
2/
0
1
1
1
.sin).(
4
T
n
dttntf
T
b ω
00
0
==
n
aa
j
b
FF
n
nn
2
=?=
a=0
bn
Fn是虚数北京邮电大学电信工程学院
24
周期锯齿波 ——奇函数举例
)()(
22
1
11
TT
tt
T
A
tf <<?=
f(t)
0
A
-A
T1/2-T1/2 t
2,奇函数的傅立叶级数北京邮电大学电信工程学院
25
....)3sin
3
1
2sin
2
1
(sin)(
111
+?= ttt
A
tf ωωω
π
2,奇函数的傅立叶级数
00
0
==
n
aa
L3,2,1)1(sin
2
1
1
2
2
1
1
1
=?==
+
∫
n
n
A
dtnt
T
A
T
b
n
T
Tn
π
ω
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26
3,奇谐函数的傅立叶级数
)
2
()(
1
T
tftf ±?=
奇谐函数：沿时间轴移半个周期并相对该轴上下反转，此时波形并不发生变化
0
)(tf
2
1
T
2
1
T
t
奇谐函数波形北京邮电大学电信工程学院
27
奇谐函数的偶次谐波的系数为 0
3,奇谐函数的傅立叶级数
dttntf
T
a
T
n
)cos()(
4
2
0
1
1
1
∫
= ω
dttntf
T
b
T
n
)sin()(
4
2
0
1
1
1
∫
= ω
n 为奇数
0
0
=
=
n
n
b
a
n 为偶数北京邮电大学电信工程学院
28
4,傅里叶有限级数与最小均方误差如果完全逼近，则 n=∞;
实际中 n=N,N是有限整数。
如果 N愈接近∞,则其均方误差愈小若用前 2N＋ 1项逼近，则
)sincos()(
11
1
0
tbtaatS
n
N
n
nN
ωω ++=
∑
=
北京邮电大学电信工程学院
29
)()()( tStft
NN
=ε
)](
2
1
[)(
)(
1
)(
2
1
22
0
2
2
1
2
10
0
n
N
n
n
Tt
t
NNN
baatf
dtt
T
tE
++?=
==
∑
∫
=
+
εε
4,傅里叶有限级数与最小均方误差误差函数：
均方误差：
北京邮电大学电信工程学院
30
以方波为例，因其为偶函数、奇谐函数，只有奇次谐波的余弦项。
2
sin
2 π
π
n
n
E
a
n
=
E/2
-E/2
T1/4-T1/4
t
4,傅里叶有限级数与最小均方误差
)5cos3cos(cos)(
1
5
1
1
3
1
1
2
L?+?= ttttf
E
ωωω
π
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
)(cos
2
11
t
E
S ω
π
=
2
1
05.0 EE ≈
(1) 取基波时
)3cos
3
1
(cos
2
112
tt
E
S ωω
π
=
2
2
02.0 EE =
(2) 取基波和三次谐波时
)5cos
5
1
3cos
3
1
(cos
2
1113
ttt
E
S ωωω
π
+?=
2
3
01.0 EE =
(3) 取基波、三次、五次谐波时
4,傅里叶有限级数与最小均方误差北京邮电大学电信工程学院
32
N越大，越接近方波信号的高频分量，主要影响跳变沿；
信号的低频分量，主要影响顶部；
任一分量的幅度或相位发生相对变化时，
波形将会失真有吉伯斯现象发生
)(lim tfS
N
N
=
∞→
4,傅里叶有限级数与最小均方误差结论：
北京邮电大学电信工程学院
33
3.2 典型周期信号的傅立叶级数周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波脉冲信号周期全波脉冲信号北京邮电大学电信工程学院
34
一,周期矩形脉冲信号在一个周期内的表达式为：
[ ])()()(
22
ττ
+= tutuEtf
3.2 典型周期信号的傅立叶级数
1
T
1
T
0
2
τ
2
τ
E
)(tf
t
>
≤
=
)
2
(0
)
2
(
)(
τ
τ
t
tE
tf
北京邮电大学电信工程学院
35
=
=
=
∫
2
)
2
sin(
)(
)(
1
1
1
1
2/2/
11
2
21
11
1
τω
τω
τ
ω
τωτω
τ
τ
ω
n
n
T
E
ee
jnT
E
dtEe
T
F
jnjn
tjn
n
)
2
(
1
τωn
Sa
因其为偶函数，
展开成指数形式的傅立叶级数，则：
3.2 典型周期信号的傅立叶级数北京邮电大学电信工程学院
36
周期矩形信号的傅立叶级数为：
3.2 典型周期信号的傅立叶级数
离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。
各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，
与周期成反比。
各谱线的幅度按包络线变化。过零点为
)(
1
T
n
Sa
πτ
τ
π
ω
m2
=
北京邮电大学电信工程学院
38
频带宽度在满足一定失真的条件下，信号可以用某频率范围的信号来表示。此频率范围称为频带宽度。
对于一般周期信号，将幅度下降为 的频率区间定义为频带宽度
max
1
)(
10
1
ωnF
一般把第一个零点作为信号的频带宽度，记为：
带宽与脉宽成反比，或
ττ
π
ω
12
==
f
BB
系统的通频带大于信号的频带宽度，才能不失真。
周期矩形信号的频谱变化规律若τ不变，改变 T的情况下频谱的变化若 T不变，改变τ的情况下频谱的变化北京邮电大学电信工程学院
40
对称方波是周期矩形的特例
T1
T1/4
-T1/4
)(tx
实偶实偶函数函数
)(
11
T
n
Sa
T
E
F
n
πττ
=
∑
∞
∞=
=
n
tjn
n
eFtf
1
)(
ω
周期周期矩形矩形
+?=,...5cos
5
1
3cos
3
1
cos
2
)(
111
ttt
E
tf ωωω
π
对称方波对称方波奇次余弦奇次余弦解：
<<?
<≤
=
)0(0
)0(
2
)(
2
2
t
tt
T
tf
T
T
在一个周期内的函数表达式为
北京邮电大学电信工程学院
44
当周期信号的周期T 0无限大时,就演变成了非周期的单脉冲信号
∞→
0
T
离散谱变成了连续谱
3.3 傅立叶变换
0)(
1
)(
2
2
1
1
1
1
1
→=
∫
T
T
tjn
dtetf
T
nF
ω
ω谱系数
0
2
1
1
→=
T
π
ω谱线间隔再用 表示频谱就不合适了，引入频谱密度的概念,
)(
1
ωnF
11
1
1
0
)(lim
)(2
lim)(
11
TnF
nF
F
T
ω
ω
ωπ
ω
ω ∞→→
==
从周期信号离散傅立叶级数推导 非周期信号 的傅立叶变换
∑
∞
=
=
ω
ω
ω
n
tjn
enFtf
1
).()(
1
dtetf
T
nF
T
T
tjn
∫
=
2
1
2
1
1
).(
1
)(
1
1
ω
ω
dtetfF
T
T
tjn
T
∫
∞→
=
2/
2/
1
1
1
1
)(lim)(
ω
ω
dtetfF
tj
∫
∞
∞?
=
ω
ω ).()(
频谱函数频谱函数傅立叶变换
dtetf
nF
nFT
T
T
tjn
∫
==
2
1
2
1
1
).(
)(2
)(
1
1
11
ω
ω
ωπ
ω
北京邮电大学电信工程学院
46
傅立叶逆变换的推导
ωωωωωωωω dnnTFnF →?=→→∞→→ )(,,0),()(
111111
ωω
π
ω
deFtf
tj
.)(
2
1
)(
∫
∞
∞?
=
傅立叶傅立叶逆变换逆变换
1
1
1
1
11
)(
).()( ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω tjn
nn
tjn
e
nF
enFtf
∑∑
∞
∞=
∞
=
==
π
ω
ω
ωω
2
)(
lim
)(lim)(
1
1
11
1
1
nF
nFTF
T
T
∞→
∞→
=
=Q
π
ω
ω
ω
2
)()(
lim
1
1
1
FnF
T
=∴
∞→
北京邮电大学电信工程学院
47
F(ω )表示单位频带的频谱值，是 f(t) 的频谱密度函数，简称频谱函数,F(ω )是一个连续谱。
傅立叶变换一般为复函数
)(
)()(
ω?
ωω
j
eFF =
3.3 傅立叶变换北京邮电大学电信工程学院
48
∫∫
∞
∞?
+
∞
∞?
== ωω
π
ωω
π
ω?ωω
deFdeFtf
tjtj ))((
)(
2
1
)(
2
1
)(
dtetfF
tj
∫
∞
∞?
=
ω
ω ).()(
傅立叶变换对：
简写为：
)()( ωFtf?
3.3 傅立叶变换北京邮电大学电信工程学院
49
∞<
∫
∞
∞?
dttf )(
傅立叶变换存在的充分条件用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，
因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换。
3.3 傅立叶变换即 绝对可积所有能量信号均满足此条件。
)(tf
北京邮电大学电信工程学院
50
tdttfjtdttf
dttjttftf
dtetfF
oe
oe
tj
ωω
ωω
ω
ω
sin)(2cos)(2
]sin)][cos()([
)()(
00
∫∫
∫
∫
∞+∞+
∞+
∞?
+∞
∞?
=
+=
=
)()()()(
)(
ωωωω
ωφ
jXReFF
j
+==
实部 虚部
3.3 傅立叶变换
)()()( tftftf
oe
+=
实信号 偶分量 奇分量北京邮电大学电信工程学院
51
3.3 傅立叶变换为实 函数，只有,相位
)(ωF?
)(ωR π±
)(tf
偶 函数
（ 奇 分量为 零 ）
)(tf
奇 函数
（ 偶 分量为 零 ）
2
π
±
)(ωX
为虚 函数，只有,相位
)(ωF?
北京邮电大学电信工程学院
52
傅立叶变换的物理意义非周期信号也可以分解成许多频率不同的正、余弦分量；
由于非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率成分。
实函数
ωω
π
ωω
π
ωωφω
deeFdeFtf
tjjtj
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
==
)(
)(
2
1
)(
2
1
)(
ωωφωω
π
ωωφωω
π
dtFj
dtF
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
++
+=
)](sin[)(
2
1
)](cos[)(
2
1
ωωφωω
π
dtF
∫
∞
+=
0
)](cos[)(
1
积分为零北京邮电大学电信工程学院
53
(a) F(ω )是一个 密度函数 的概念
(b) F(ω )是一个 连续谱
(c) F(ω )包含了 从零到无限高频的所有频率分量
(d) 各频率分量的频率 不成谐波 关系傅立叶变换的物理意义北京邮电大学电信工程学院
54
单边指数信号双边指数信号矩形脉冲信号钟形脉冲信号符号函数
3.4 典型非周期信号的频谱北京邮电大学电信工程学院
55
1,单边指数信号信号表达式
<
≥
=
)0(0
)0(
)(
t
te
tf
tα
)0(
1
)()( >
+
==
∫
∞
∞?
α
ωα
ω
ω
j
dtetfF
tj
北京邮电大学电信工程学院
56
22
1
)(
ωα
ω
+
=F
)()(
α
ω
ω? arctg?=
幅度? 相位
1,单边指数信号北京邮电大学电信工程学院
57
2,双边指数信号
)()( +∞<<?∞=
tetf
tα
22
2
)(
ωα
α
ω
+
=F
0)( =ω?
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58
3,矩形脉冲信号
)(
)sin(
)sin(
2
)(
2
2
2
2
2/
2/
ωτ
ωτ
ωτ
ωτ
τ
τ
ω
ττ
ω
ω
SaEE
E
dtEeF
tj
=
==
=
∫
)()(
2
ωτ
τω SaEF =
>
≤
=
)(0
)(
)(
2
2
τ
τ
t
tE
tf
E
t
)(tf
2
τ
2
τ
北京邮电大学电信工程学院
59
频谱图
ττ
π
ωτ
τω
ω
12
)
2
()(
≈≈
=
f
BB
SaEF
或频宽：
北京邮电大学电信工程学院
60
4,钟形脉冲信号
2
)(
)(
τ
t
Eetf
= 0)()(
2
)
2
(
==
ωφτπω
ωτ
eEF
2
)
2
(
)(
ωτ
τπω
= eEF
北京邮电大学电信工程学院
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5,直流信号
)(
)(
+∞<<?∞
=
t
Etf
不满足绝对可积的条件，
不能直接用定义来求
0
E
t
E
t
)(tf
τ? τ
)(
1
tf
∞→τ
)(2
sin
lim2
sin2
lim
lim
lim
lim)(
ωδπ
ωτ
ωτ
π
τ
π
ω
ωτ
ω
ω
ω
τ
τ
ωτωτ
τ
τ
τ
ω
τ
τ
τ
ω
τ
E
E
E
j
ee
E
j
e
E
dtEeF
jj
tj
tj
=
=
=
=
=
=
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
∫
5,直流信号
0
Eπ2
ω
)(ωF
窄时域无限宽，频带无限
)(2 ωδπEE?
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63
6,符号函数
<?
=
>+
==
)0(1
)0(0
)0(1
)sgn()(
t
t
t
ttf
]).[sgn(lim
)(lim)(
0
1
0
ta
a
a
et
tftf
→
→
=
=
不满足绝对可积的条件，不能直接用定义来求处理方法：做一个双边函数
，求求极限得到 。
t
ettf
α?
= )sgn()(
1
)(
1
ωF
)(ωF
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64
22
0
0
1
2
)()(
ωα
ω
ω
ωα
ωα
+
=+
=
∫
∫
∞+
∞?
j
dtee
dteeF
tjt
tjt
22
2
)(
αω
ω
ω
+
=F
<+
>?
=
)0(
)0(
)(
2
2
ω
ω
ω?
π
π
ω
ω
ω
ωω
j
a
j
FF
a
a
2
2
lim
)(lim)(
22
0
1
0
=
+
=
=
→
→
ω
ω
2
)( =F
<+
>?
=
)0(
)0(
)(
2
2
ω
ω
ω?
π
π
6,符号函数北京邮电大学电信工程学院
65
6,符号函数
）是奇函数（
是偶函数
ωφ
ω)(F
矩形脉冲频谱
7,升余弦脉冲信号
)0(
)cos(1
2
)(
τ
τ
π
≤≤
+=
t
tE
tf
其频谱比矩形脉冲更集中北京邮电大学电信工程学院
67
3.5 冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换
∫
∞
∞?
== 1)()( dtetF
tjω
δω
π
ωωδ
π
ωδ
ω
2
1
)(
2
1
)]([
1
==
∫
∞
∞?
de
FT
tj
1
0
)(ωF
ω
t
)(tδ
0
1.冲激函数的傅立叶变换及逆变换北京邮电大学电信工程学院
68
2.冲激偶的傅立叶变换
3.5 冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换
n
n
n
jt
dt
d
F )()( ωδ =
ωω
δδ
δ
ω
ω
jj
e
dtettF
fdtttf
t
tj
tj
==
=
=∴
=
=
∞
∞?
∞
∞?
∫
∫
)(
][
)()]([
)0()()(
0
'
''
''
Q
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69
2.阶跃函数的傅立叶变换
)sgn()(
2
1
2
1
ttu +=
0
π
ω
0
ω
0
ω
π
)(ωF
0
2
1
t
0
0
)(tu
t
t
)sgn(
2
1
t
2
1
2
1
1
)(
2
1
ωπδ?
ωj
t
1
)sgn(
2
1
ω
ωπδ
j
tu
1
)()( +?∴
