3.2 固定化酶、细胞的内扩散效应
3.2.1 在固定化载体内的底物浓度的分布
酶、细胞的反应速度与底物浓度是密切相关的
载体内的底物浓度存在着分布不均的问题
沿着传质的方向有底物、产物的浓度的分布
反应速率因底物浓度的分布而在变化
? 由于底物在载体内的扩散作用以及酶、细胞的反应
假设条件：
? 载体为多孔的球体或其他几何形体。
? 酶或细胞在载体内是均布的。
? 载体的几何尺寸上的温度梯度不足以影响酶促
反应或细胞反应的速率。
? 固定化酶的催化活力、细胞的生理活性不变。
? 仅以扩散的形式进行传质，在载体内没有反应
液相的对流。
? 底物、产物的浓度在扩散的方向上变化。
? 扩散模型以 Fick定律表述，且扩散系数 De在载
体内的任意位置均为常数。
Fick定律为 j组分的扩散通量为
式中 Nj—— j组分的扩散通量
De—— 扩散系数
Cj—— j组分的浓度
r—— 扩散距离
dr
dC
DN jej ?
在某一微体积元 dV中的反应对任意组分的完
整的质量平衡关系为
对底物有：
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
的质量
内消耗
的质量
内生成
的质量
离开
的质量
进入
积的质量
内累
dVdV
dVdVdV
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
耗的质量
内消
的质量
离开
的质量
进入
积的质量
内累 dVdVdVdV
在球形载体中，取一个直径为 r，厚度为 Δr
的壳层为反应体系，
底物在载体内的扩散和反应处于稳定状态,
此时微体积元内的底物累积质量为 0。
以球形载体的为例, 在微体积元内的底物质
量平衡为：
S
rr
S
e
rrr
S
e
Vrr
dr
dC
Dr
dr
dC
Drr
???
???
????
2
22
4
4)(4
?
??
当 时，有
略去 dr2项，整理得
0?? r
S
S
e
SS
e
Vdrr
dr
dC
Dr
dr
dr
dC
dr
d
dr
dC
Ddrr
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
22
2
44
)(4
??
?
S
SS
e Vdr
dC
rdr
Cd
D ???
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
对酶促反应，有
令
无因次半径
无因次浓度
无因次反应级数参比量
类 M-M反应 Thiele模数
Sm
S
S CK
CV
V
?
?
? m a x
em
m DK
VR m a x
3
??
mS KC /0??
0/ SSS CCC ?
Rrr /?
代入有
其边界条件为：
球形载体的中心处
球形载体的表面处
S
S
m
SS
C
C
rd
Cd
rrd
Cd
?
?
?
??
1
9
1
2
2
0
0
?
?r
S
rd
Cd
11 ??rSC
该微分方程可用数值法求解
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
r = r / R
C
S
/C
S
0
T h i e l e 模数 = 0, 2
T h i e l e 模数 =1
T h i e l e 模数 =2
T h i e l e 模数 =5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
r / R
C
S
/
C
S
0
T h i e l e 模数 = 0, 2
T h i e l e 模数 =1
T h i e l e 模数 =2
T h i e l e 模数 =5
3.2.2 由内扩散的效率因子求反应速率
定义内扩散的效率因子：
则在载体内的实际酶促反应速率为：
当无外扩散影响时,CSi= CS0，即
Si
S
V
V
??
率无内扩散影响的反应速
率有内扩散影响的反应速?
Sim
Si
SiS CK
CV
VV
?
?
?? m a x??
0
0m a x
Sm
S
S CK
CV
V
?
?
? ?
由于酶促反应的级数是介于 0～ 1之间的，因
而分别讨论一级反应和零级反应的有效因子的计
算
（ 1）一级反应的有效因子 ?1
对一级反应，当无外扩散效应时，在一球形
载体上的总本征反应的速率为
式中 R—— 载体直径
k1—— 一级反应速率常数
01
3
0 3
4
SS Ck
RV ??
对酶促反应
在稳定的状态下, 其有效的总反应速率应等
于由表面向内部的底物扩散速率, 载体表面的总
扩散速率为：
则
mKVk /m a x1 ?
Rr
S
eS dr
dCDRV
?
? 24 ?
Rr
S
S
e
dr
dC
Ck
D
R ?
?
01
1
3
?
① 的求解：
由
Rr
S
dr
dC
?
SS
SS
e CkVdr
dC
rdr
Cd
D 1
2
2 2
????
?
?
?
?
?
?
?
令：
无因次半径
无因次浓度
无因次反应级数参比量
一级反应的 Thiele模数
eD
kR 1
1 3??
mS KC /0??
0/ SSS CCC ?
Rrr /?
其边界条件为
球形载体的中心处
球形载体的表面处
解得
或
0
0
?
?r
S
rd
Cd
11 ??rSC
)3(sh
)3(sh
1
1
?
?
r
rC
S ?
)3(sh
)/3(sh
1
1
0 ?
? Rr
r
RCC
SS ?
② 一级反应的有效因子 ?1的解析式为：
?
?
?
?
?
?
??
? 11
01
3
1
)3(th
13
??
?
R
C
dr
dC S
Rr
S
?
?
?
?
?
?
??
?
?
111
01
1
3
1
)3(th
11
3
???
?
Rr
S
S
e
dr
dC
Ck
D
R
（ 2）零级反应的有效因子
对零级反应，当无外扩散效应时，在一球形
载体上的总本征反应的速率为：
式中 k0—— 零级反应速率常数，对酶促反应
此时
0
3
0 3
4 kRV
S
??
m a x0 Vk ?
10 ??
如果引内扩散的影响使得底物在载体的 RC处有
则在球形载体内的实际反应速率为：
0??
CRrS
C
0
33 )(
3
4 kRRV
CS ??
?
3
0
3
0
33
0
1
3
4
)(
3
4
?
?
?
?
?
?
??
?
?
R
R
k
R
kRR
C
C
?
?
?
① 由 求 ?0
边界条件：
球形载体的中心处
球形载体的表面处
解得
02
2 2
kV
dr
dC
rdr
Cd
D SSSe ????
?
?
?
?
?
?
?
0
0
?
?r
S
dr
dC
0SRrS CC ??
??
?
?
??
?
?
??? 1
6 2
2
20
0
R
r
R
D
k
CC
e
SS
应该指出的是
当 时，
，有
0??
CRrS
C 01
6 2
2
20
0 ??
?
?
?
?
?
?
?
??
R
R
R
D
k
C C
e
S
2
0
061
Rk
DC
R
R eSC
??
为了保证固定化酶的充分有效的利用，使得
，
固定化载体的最大直径
00 00 ?? ?? rSrS CC,且
0
0
m a x
6
k
CD
R Se?
2
3
2
0
0
0
6
11 ??
?
?
?
?
?
?
???
Rk
DC eS
?
② 由 ?0求 ?0
令
零级反应的 Thiele模数
注意在这里，
0＜ ?0≤0.577，
?0＞ 0.577，
0
0
0
23 Se CD
kR
??
3
0 3
4
c o s
2
1
1 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???? ???
10 ??
其中
（ 3）用 Kobayashi公式求 M-M反应的有效因
子
对球形载体
?
?
?
?
?
?
?
?
?? 1
3
2
a r c c o s
2
0?
?
8.0
0
1
8.0
0
0
6.21
6.2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
S
m
S
m
m
C
K
C
K
??
?
（小林）
0,1
1,0
0,1 1,0 10,0
?
?
0, 5
0, 5
5
一级反应 零级反应
（ 4） Thiele模数的讨论及其计算
Thiele模数的意义
对任意的反应动力学，有
内扩散速率
表面浓度下的反应速率??
2
1
0
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
Si
Si
C
SSe
CS
dCVD
V
载体的表面积
载体的体积
?
则
球形载体的一级反应的 Thiele模数为
球形载体的零级反应的 Thiele模数为
eD
kR 1
1 3??
0
0
0
23 Se CD
kR
??
球形载体的 M-M反应的 Thiele模数为
2
1
m a x
1
1
ln
1
1
1
23
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
a
CD
V
a
R
Sie
m
例：蔗糖酶固定在直径为 1mm的球形离交树脂上，
固定化酶量为 0.05g/L，在一个柱形反应器中装有
20ml固定化颗粒，浓度为 16mmol/L的 75ml蔗糖溶
液快速流过固定化酶载体床层，对比试验为定量
的游离酶与同体积的蔗糖溶液相混合，已知
Km=8.8mmol/L,k+2=2.4mmol/g· s，蔗糖在离交树
脂中的扩散系数 De=2 × 10-6cm2/s。
试求（ 1）游离酶的反应速率
（ 2）固定化酶的反应速率
解：该酶反应为
蔗糖 +H2O 葡萄糖 +果糖
已知,Km=8.8mmol/L，
k+2=2.4mmol/g· s，
De=2 × 10-6cm2/s
R=0.5mm=5 × 10-3m
当溶液快速流过固定化酶载体床层时，认为
无外扩散的影响。 CS i= CS0 =16mmol/L
总酶量为 0.001g
（ 1）游离酶的反应速率
总酶浓度为：
该酶的最大的酶促反应速率为
该酶在游离状态下的酶促反应速率为
g / L1033.1
075.0
001.0 2
0
????
EC
sm m o l / L1019.3
1033.14.2
2
2
02m a x
???
????
?
?
? ECkV
游离酶促反应的反应器内的反应速率
Sm m o l / L1006.2
Sm m o l / L16Sm m o l / L8.8
Sm m o l / L16Sm m o l / L1019.3
2
2
0
0m a x
0
???
???
????
?
?
?
?
?
Sm
S
S
CK
CV
V
m m o l / s1055.1
L1075Sm m o l / L1006.2
3
32
?
??
??
?????
? RS VVV
游离
（ 2）固定化酶促反应速率
固定化酶促反应速率应以固定化载体的体积
为准，已知固定化酶量为 0.05g/L，则
求 ?m 值
载体
固定化固定化
Lm m o l / s12.0
0, 0 5 g / Ls2, 4 m m o l / g
,02m a x,
??
???
?? ?
E
CkV
72.0
1 6 m m o l / L/sdm10 2
Lm m o l / s12.0
23
dm105
23
23
28-
3
0
m a x,
0
0
0
?
??
??
?
?
?
?
载体
固定化
Se
Se
CD
VR
CD
kR
?
28.11
3
1
a r c c o s
2
0
???
?
?
?
?
?
?
??
?
?
94.0
3
428.1
c o s
2
1
1
3
4
c o s
2
1
1
3
3
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
???
?
??
?
55.0
38.13
1
)38.13(th
1
38.1
1
3
1
)3(th
11
111
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
38.1
/sdm10 28, 8 m m o l / L
Lm m o l / s12.0
3
dm105
33
28-
3
m a x,1
1
?
??
??
?
??
?
载体
固定化
eme
DK
VR
D
kR
?
69.0
16
8.8
6.21
55.0
16
8.8
6.294.0
6.21
6.2
8.0
8.0
8.0
0
1
8.0
0
0
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
S
m
S
m
m
C
K
C
K
??
?
固定化酶促反应速率
m m o l / s1007.1
m m o l / s1055.169.0
3
3
?
?
??
???? 游离固定化 VV m?
3.2.1 在固定化载体内的底物浓度的分布
酶、细胞的反应速度与底物浓度是密切相关的
载体内的底物浓度存在着分布不均的问题
沿着传质的方向有底物、产物的浓度的分布
反应速率因底物浓度的分布而在变化
? 由于底物在载体内的扩散作用以及酶、细胞的反应
假设条件：
? 载体为多孔的球体或其他几何形体。
? 酶或细胞在载体内是均布的。
? 载体的几何尺寸上的温度梯度不足以影响酶促
反应或细胞反应的速率。
? 固定化酶的催化活力、细胞的生理活性不变。
? 仅以扩散的形式进行传质，在载体内没有反应
液相的对流。
? 底物、产物的浓度在扩散的方向上变化。
? 扩散模型以 Fick定律表述，且扩散系数 De在载
体内的任意位置均为常数。
Fick定律为 j组分的扩散通量为
式中 Nj—— j组分的扩散通量
De—— 扩散系数
Cj—— j组分的浓度
r—— 扩散距离
dr
dC
DN jej ?
在某一微体积元 dV中的反应对任意组分的完
整的质量平衡关系为
对底物有：
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
的质量
内消耗
的质量
内生成
的质量
离开
的质量
进入
积的质量
内累
dVdV
dVdVdV
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
耗的质量
内消
的质量
离开
的质量
进入
积的质量
内累 dVdVdVdV
在球形载体中，取一个直径为 r，厚度为 Δr
的壳层为反应体系，
底物在载体内的扩散和反应处于稳定状态,
此时微体积元内的底物累积质量为 0。
以球形载体的为例, 在微体积元内的底物质
量平衡为：
S
rr
S
e
rrr
S
e
Vrr
dr
dC
Dr
dr
dC
Drr
???
???
????
2
22
4
4)(4
?
??
当 时，有
略去 dr2项，整理得
0?? r
S
S
e
SS
e
Vdrr
dr
dC
Dr
dr
dr
dC
dr
d
dr
dC
Ddrr
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
22
2
44
)(4
??
?
S
SS
e Vdr
dC
rdr
Cd
D ???
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
对酶促反应，有
令
无因次半径
无因次浓度
无因次反应级数参比量
类 M-M反应 Thiele模数
Sm
S
S CK
CV
V
?
?
? m a x
em
m DK
VR m a x
3
??
mS KC /0??
0/ SSS CCC ?
Rrr /?
代入有
其边界条件为：
球形载体的中心处
球形载体的表面处
S
S
m
SS
C
C
rd
Cd
rrd
Cd
?
?
?
??
1
9
1
2
2
0
0
?
?r
S
rd
Cd
11 ??rSC
该微分方程可用数值法求解
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
r = r / R
C
S
/C
S
0
T h i e l e 模数 = 0, 2
T h i e l e 模数 =1
T h i e l e 模数 =2
T h i e l e 模数 =5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
r / R
C
S
/
C
S
0
T h i e l e 模数 = 0, 2
T h i e l e 模数 =1
T h i e l e 模数 =2
T h i e l e 模数 =5
3.2.2 由内扩散的效率因子求反应速率
定义内扩散的效率因子：
则在载体内的实际酶促反应速率为：
当无外扩散影响时,CSi= CS0，即
Si
S
V
V
??
率无内扩散影响的反应速
率有内扩散影响的反应速?
Sim
Si
SiS CK
CV
VV
?
?
?? m a x??
0
0m a x
Sm
S
S CK
CV
V
?
?
? ?
由于酶促反应的级数是介于 0～ 1之间的，因
而分别讨论一级反应和零级反应的有效因子的计
算
（ 1）一级反应的有效因子 ?1
对一级反应，当无外扩散效应时，在一球形
载体上的总本征反应的速率为
式中 R—— 载体直径
k1—— 一级反应速率常数
01
3
0 3
4
SS Ck
RV ??
对酶促反应
在稳定的状态下, 其有效的总反应速率应等
于由表面向内部的底物扩散速率, 载体表面的总
扩散速率为：
则
mKVk /m a x1 ?
Rr
S
eS dr
dCDRV
?
? 24 ?
Rr
S
S
e
dr
dC
Ck
D
R ?
?
01
1
3
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① 的求解：
由
Rr
S
dr
dC
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SS
SS
e CkVdr
dC
rdr
Cd
D 1
2
2 2
????
?
?
?
?
?
?
?
令：
无因次半径
无因次浓度
无因次反应级数参比量
一级反应的 Thiele模数
eD
kR 1
1 3??
mS KC /0??
0/ SSS CCC ?
Rrr /?
其边界条件为
球形载体的中心处
球形载体的表面处
解得
或
0
0
?
?r
S
rd
Cd
11 ??rSC
)3(sh
)3(sh
1
1
?
?
r
rC
S ?
)3(sh
)/3(sh
1
1
0 ?
? Rr
r
RCC
SS ?
② 一级反应的有效因子 ?1的解析式为：
?
?
?
?
?
?
??
? 11
01
3
1
)3(th
13
??
?
R
C
dr
dC S
Rr
S
?
?
?
?
?
?
??
?
?
111
01
1
3
1
)3(th
11
3
???
?
Rr
S
S
e
dr
dC
Ck
D
R
（ 2）零级反应的有效因子
对零级反应，当无外扩散效应时，在一球形
载体上的总本征反应的速率为：
式中 k0—— 零级反应速率常数，对酶促反应
此时
0
3
0 3
4 kRV
S
??
m a x0 Vk ?
10 ??
如果引内扩散的影响使得底物在载体的 RC处有
则在球形载体内的实际反应速率为：
0??
CRrS
C
0
33 )(
3
4 kRRV
CS ??
?
3
0
3
0
33
0
1
3
4
)(
3
4
?
?
?
?
?
?
??
?
?
R
R
k
R
kRR
C
C
?
?
?
① 由 求 ?0
边界条件：
球形载体的中心处
球形载体的表面处
解得
02
2 2
kV
dr
dC
rdr
Cd
D SSSe ????
?
?
?
?
?
?
?
0
0
?
?r
S
dr
dC
0SRrS CC ??
??
?
?
??
?
?
??? 1
6 2
2
20
0
R
r
R
D
k
CC
e
SS
应该指出的是
当 时，
，有
0??
CRrS
C 01
6 2
2
20
0 ??
?
?
?
?
?
?
?
??
R
R
R
D
k
C C
e
S
2
0
061
Rk
DC
R
R eSC
??
为了保证固定化酶的充分有效的利用，使得
，
固定化载体的最大直径
00 00 ?? ?? rSrS CC,且
0
0
m a x
6
k
CD
R Se?
2
3
2
0
0
0
6
11 ??
?
?
?
?
?
?
???
Rk
DC eS
?
② 由 ?0求 ?0
令
零级反应的 Thiele模数
注意在这里，
0＜ ?0≤0.577，
?0＞ 0.577，
0
0
0
23 Se CD
kR
??
3
0 3
4
c o s
2
1
1 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???? ???
10 ??
其中
（ 3）用 Kobayashi公式求 M-M反应的有效因
子
对球形载体
?
?
?
?
?
?
?
?
?? 1
3
2
a r c c o s
2
0?
?
8.0
0
1
8.0
0
0
6.21
6.2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
S
m
S
m
m
C
K
C
K
??
?
（小林）
0,1
1,0
0,1 1,0 10,0
?
?
0, 5
0, 5
5
一级反应 零级反应
（ 4） Thiele模数的讨论及其计算
Thiele模数的意义
对任意的反应动力学，有
内扩散速率
表面浓度下的反应速率??
2
1
0
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
Si
Si
C
SSe
CS
dCVD
V
载体的表面积
载体的体积
?
则
球形载体的一级反应的 Thiele模数为
球形载体的零级反应的 Thiele模数为
eD
kR 1
1 3??
0
0
0
23 Se CD
kR
??
球形载体的 M-M反应的 Thiele模数为
2
1
m a x
1
1
ln
1
1
1
23
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
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?
???
???
?
?
a
CD
V
a
R
Sie
m
例：蔗糖酶固定在直径为 1mm的球形离交树脂上，
固定化酶量为 0.05g/L，在一个柱形反应器中装有
20ml固定化颗粒，浓度为 16mmol/L的 75ml蔗糖溶
液快速流过固定化酶载体床层，对比试验为定量
的游离酶与同体积的蔗糖溶液相混合，已知
Km=8.8mmol/L,k+2=2.4mmol/g· s，蔗糖在离交树
脂中的扩散系数 De=2 × 10-6cm2/s。
试求（ 1）游离酶的反应速率
（ 2）固定化酶的反应速率
解：该酶反应为
蔗糖 +H2O 葡萄糖 +果糖
已知,Km=8.8mmol/L，
k+2=2.4mmol/g· s，
De=2 × 10-6cm2/s
R=0.5mm=5 × 10-3m
当溶液快速流过固定化酶载体床层时，认为
无外扩散的影响。 CS i= CS0 =16mmol/L
总酶量为 0.001g
（ 1）游离酶的反应速率
总酶浓度为：
该酶的最大的酶促反应速率为
该酶在游离状态下的酶促反应速率为
g / L1033.1
075.0
001.0 2
0
????
EC
sm m o l / L1019.3
1033.14.2
2
2
02m a x
???
????
?
?
? ECkV
游离酶促反应的反应器内的反应速率
Sm m o l / L1006.2
Sm m o l / L16Sm m o l / L8.8
Sm m o l / L16Sm m o l / L1019.3
2
2
0
0m a x
0
???
???
????
?
?
?
?
?
Sm
S
S
CK
CV
V
m m o l / s1055.1
L1075Sm m o l / L1006.2
3
32
?
??
??
?????
? RS VVV
游离
（ 2）固定化酶促反应速率
固定化酶促反应速率应以固定化载体的体积
为准，已知固定化酶量为 0.05g/L，则
求 ?m 值
载体
固定化固定化
Lm m o l / s12.0
0, 0 5 g / Ls2, 4 m m o l / g
,02m a x,
??
???
?? ?
E
CkV
72.0
1 6 m m o l / L/sdm10 2
Lm m o l / s12.0
23
dm105
23
23
28-
3
0
m a x,
0
0
0
?
??
??
?
?
?
?
载体
固定化
Se
Se
CD
VR
CD
kR
?
28.11
3
1
a r c c o s
2
0
???
?
?
?
?
?
?
??
?
?
94.0
3
428.1
c o s
2
1
1
3
4
c o s
2
1
1
3
3
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
???
?
??
?
55.0
38.13
1
)38.13(th
1
38.1
1
3
1
)3(th
11
111
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
38.1
/sdm10 28, 8 m m o l / L
Lm m o l / s12.0
3
dm105
33
28-
3
m a x,1
1
?
??
??
?
??
?
载体
固定化
eme
DK
VR
D
kR
?
69.0
16
8.8
6.21
55.0
16
8.8
6.294.0
6.21
6.2
8.0
8.0
8.0
0
1
8.0
0
0
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
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?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
S
m
S
m
m
C
K
C
K
??
?
固定化酶促反应速率
m m o l / s1007.1
m m o l / s1055.169.0
3
3
?
?
??
???? 游离固定化 VV m?
