1
三、卡诺图化简法,
1.逻辑函数的卡诺图表示
(1) 卡诺图的构成
① 格图形式的真值表
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 1
0
0
0
10
11
1A B
2
② 最小项（或最大项）的方块图
m6m7m5m41
m2m3m1m00
10110100A BC
注意：
Ⅰ 最小（大）项的序号为该小格对应的取值组合组成的二进制数的十进制值
Ⅱ 图上几何相邻和对称相邻的小方格所代表的最小（大）项 逻辑相邻 。
3
③ 卡诺图中 0和 1的含义
Ⅰ 从真值表的观点：函数取值 0或 1；
Ⅱ 从最小（或大）项方块图观点：在函数的标准表达式中，
不包含（为 0）或包含（为 1）最小项；
不包含（为 1）或包含（为 0）最大项。
4
11 1
01 0
10 1
00 0
FA B
( a )
0
0
0
10
11
1A B
( b )
)3,1(mF )3,1(mF
)2,0(MF )2,0(MF
5
例 2.6.11 将图 2.6.4所示卡诺图分别用最小项表达式和最大项表达式表示。
641),,( mmmCBAF
解：
= A B C + A B C + A B C
75320),,( MMMMMCBAF
10011
00100
10110100A BC
图 2.6.4
=( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )
( A + B + C )( A + B + C )
6
(2) 逻辑函数的几种移植方法
① 按真值表直接填
② 先把一般表达式转换为标准表达式，然后再填
③ 观察法
a,一般与或式的观察法移植方法：在 包含乘积项中全部变量 的小格中填 1
7
例 2.6.12 试将 F(A,B,C,D) = ABCD + ABD + AC
用卡诺图表示。
解：
1110
11111
1101
00
10110100AB
CD
图 2.6.5
8
b,一般或与式的观察法移植方法：在 包含和项中全部变量 的小格中填 0
例 2.6.13 试将 F(A,B,C,D) = (A+B+C+D)(A+B+D)
用卡诺图表示。
10
0011
01
000
10110100AB
CD
解：
图 2.6.6
9
2.卡诺图的运算
(1) 相加
00101
00100
10110100A BC
00001
01100
10110100A BC
00101
01100
10110100A BC
＋
﹦
10
(2) 相乘
00101
00100
10110100A BC
00001
01100
10110100A BC
00001
00100
10110100A BC
×
﹦
11
(3) 异或
00101
00100
10110100A BC
00101
01000
10110100A BC
A
00001
01100
10110100BC
⊕
﹦
12
(4) 反演
00101
00100
10110100A BC
11011
11010
10110100A BC
)5,1(mF )7,6,4,3,2,0(mF
13
例：已知 F1(A,B,C,D) = A B + C D
F2(A,B,C,D) = B C + A D
。试求 )?(21 mFFF
解：用卡诺图分别表示函数 F1,F2,F,如下图所示。
14
AB
CD
AB
CD
⊕
﹦
00 01 11 10
00 0 0 1 0
01 1 1 1 0
11 1 1 0 0
10 1 0 0 1
AB
CD
00 01 11 10
00 1
01 1
11 1
10 1 1 1 1
00 01 11 10
00
01 1 1
11 1 1 1
10 1 1
F1 F2
F
15
。所以 )13,12,10,8,7,5,4,3(mF
3,卡诺图化简法
(1) 化简原理卡诺图上几何相邻和对称相邻的小方格所代表的最小项 逻辑相邻,可以利用合并相邻项公式,A B + A B = A 化简。
16
(2) 合并的对象卡诺图上几何相邻和对称相邻的、并构成矩形框的、填,1”的,2n 个小方格所代表的最小项
。(3) 合并项的写法一个卡诺圈对应一个乘积项，该乘积项由卡诺圈内各小方格对应的 取值相同的变量 组成，其中,,1”对应原变量,,0”对应反变量。
17
① 圈 2格，可消去 1个变量；
(4) 合并的规律
00001
00110
10110100A BC
F = A B
00001
10010
10110100A BC
F = A C
18
② 圈 4格，可消去 2个变量；
00111
00110
10110100A BC
F = B
00001
11110
10110100A BC
F = A
10011
10010
10110100A
BC
F = C
19
100110
011011
011001
100100
10110100AB CD
011010
100111
100101
011000
10110100AB CD
F = B D + B D F = B D + B D
20
011010
011011
011001
011000
10110100AB CD
100110
100111
100101
100100
10110100AB CD
③ 圈 8格，可消去 3个变量；
F = D F = D
21
(5) 化简的原则、步骤
① 名词解释结论：圈 2i 个相邻最小项，可消去 i 个变量 (i =
0,1,2…)
a.主要项必要项多余项
：主要项圈中含有独立的,1”
格
：主要项圈中无独立的,1”格
b.实质小项
22
00111
00110
10110100A BC
01101
00110
10110100A BC
B C 不是主要项
B 是主要项
B C 是多余项
A C,A B 是必要项
ABC,A B C是实质小项
23
② 圈卡诺圈的原则
a,排斥原则
b,闭合原则
c,最小原则
③ 化简的步骤
a,先圈孤立的,1格,；
b,再圈只有一个合并方向的,1格,；
c,圈剩下的,1格,。
24
注意：
a,圈中,1”格的数目只能为 2 i ( i = 0,1,2…),且是相邻的。
b,同一个,1” 格可被圈多次 ( A + A = A )。
c.每个圈中必须有该圈独有的,1”格。
d,首先考虑圈数最少，其次考虑圈尽可能大。
e,圈法不是唯一的。
25
(6) 化简举例例 2.6.14 化简函数
)15,14,10,9,7,6,5,2,0(),,,( mDCBAF
为最简与或式。
101010
110011
111001
100100
10110100AB CD F(A,B,C,D) = A B D +
A B D + A B C D +
B C + C D
图 2.6.13
26
例 2.6.16 化简函数为最简与或式。
)15,14,11,10,9,8,7,6,5,2,0(),,,( mDCBAF
111110
110011
111001
100100
10110100AB CD
F(A,B,C,D) = A B D +
B D + A B + B C
图 2.6.15
27
(7) 由最大项表达式求最简与或式例 2.6.18 已知函数 )15,13,7,5(),,,( MDCBAF
求最简与或式。
111110
100111
100101
111100
10110100AB CD
F(A,B,C,D) = B + D
图 2.6.18
28
(8) 由最小项表达式求最简或与式例 2.6.19 已知函数 )7,5,2,1,0(),,( mCBAF
求最简或与式。
01101
10110
10110100A BC
F(A,B,C,D) = ( A + C )
( A+ B + C )
图 2.6.19
29
四、非完全描述逻辑函数的化简
1,约束项、任意项、无关项及非完全描述逻辑函数
(1) 无关项约束项任意项
：不可能出现的取值组合所对应的最小项。
：出现以后函数的值可任意规定的取值组合所对应的最小项。
30
(2) 非完全描述逻辑函数
)7,3()5,2,1,0(),,(?mCBAF
例：一自动供水系统原理示意图如下所示，其中
F1为大功率供水机,F2为小功率供水机，自动控制过程为：当水位在 A线以下时,F1和 F2同时启动；当水位在 A线和 B线之间时，只有 F1启动；
当水位在 B线和 C线之间时，只有 F2启动；当水位在 C线以上时,F1和 F2停机。试用真值表和逻
31
A
B
C
F2F1
辑表达式描述该系统的控制功能。
32
解：
(1) 列真值表。由题意知 A,B,C为输入变量，
F1和 F2为函数。设水位在刻度线以上，相应的输入变量取 1；反之，取 0。供水机启动，相应的函数取 1，反之，取 0。
33
C B A F1 F2
0 0 0 1 1
0 0 1 1 0
0 1 0
0 1 1 0 1
(2) 逻辑函数表达式
)6,5,4,2()1,0(),,(1?mABCF
)6,5,4,2()3,0(),,(2?mABCF
C B A F1 F2
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1 0 0
34
2,非完全描述逻辑函数的化简无关项小格既可作为,0”格处理，也可作为,1”
格 处理，以使化简结果最简为准。
注意：
(1) 卡诺圈中不可全是无关项；
(2) 不可把无关项作为实质小项。
35
例 2.6.22 用卡诺图化简逻辑函数
)15,14,13,6,5,4(),,,( mDCBAF
0?BA
10
111011
101101
000000
10110100AB CD
F(A,B,C,D) = A B C + A D
+ B C D
图 2.6.22
36
3,无关项的运算规则
+ 0 1?
1?
× 0 1?
0
⊕ 0 1?
=?
表 2.6.1
37
五、最简与或式的转换
1,转换成两级与非式
F(A,B,C) = A C +A B = A C + A B = AC ·AB
2,转换成两级或非式
F(A,B,C) = A C +A B
01101
11000
10110100A BC
F(A,B,C) = (A+B)(A+C)
F(A,B,C) = A+B+A+C 图 2.6.23
38
3,转换成与或非式
01101
11000
10110100A BC
F(A,B,C) = A C +A B
F(A,B,C) = F(A,B,C) = A C +A B
图 2.6.23
39
作业题
2.12 (1) (3) (4)
2.13 (1)
2.14
三、卡诺图化简法,
1.逻辑函数的卡诺图表示
(1) 卡诺图的构成
① 格图形式的真值表
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 1
0
0
0
10
11
1A B
2
② 最小项（或最大项）的方块图
m6m7m5m41
m2m3m1m00
10110100A BC
注意：
Ⅰ 最小（大）项的序号为该小格对应的取值组合组成的二进制数的十进制值
Ⅱ 图上几何相邻和对称相邻的小方格所代表的最小（大）项 逻辑相邻 。
3
③ 卡诺图中 0和 1的含义
Ⅰ 从真值表的观点：函数取值 0或 1；
Ⅱ 从最小（或大）项方块图观点：在函数的标准表达式中，
不包含（为 0）或包含（为 1）最小项；
不包含（为 1）或包含（为 0）最大项。
4
11 1
01 0
10 1
00 0
FA B
( a )
0
0
0
10
11
1A B
( b )
)3,1(mF )3,1(mF
)2,0(MF )2,0(MF
5
例 2.6.11 将图 2.6.4所示卡诺图分别用最小项表达式和最大项表达式表示。
641),,( mmmCBAF
解：
= A B C + A B C + A B C
75320),,( MMMMMCBAF
10011
00100
10110100A BC
图 2.6.4
=( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )
( A + B + C )( A + B + C )
6
(2) 逻辑函数的几种移植方法
① 按真值表直接填
② 先把一般表达式转换为标准表达式，然后再填
③ 观察法
a,一般与或式的观察法移植方法：在 包含乘积项中全部变量 的小格中填 1
7
例 2.6.12 试将 F(A,B,C,D) = ABCD + ABD + AC
用卡诺图表示。
解：
1110
11111
1101
00
10110100AB
CD
图 2.6.5
8
b,一般或与式的观察法移植方法：在 包含和项中全部变量 的小格中填 0
例 2.6.13 试将 F(A,B,C,D) = (A+B+C+D)(A+B+D)
用卡诺图表示。
10
0011
01
000
10110100AB
CD
解：
图 2.6.6
9
2.卡诺图的运算
(1) 相加
00101
00100
10110100A BC
00001
01100
10110100A BC
00101
01100
10110100A BC
＋
﹦
10
(2) 相乘
00101
00100
10110100A BC
00001
01100
10110100A BC
00001
00100
10110100A BC
×
﹦
11
(3) 异或
00101
00100
10110100A BC
00101
01000
10110100A BC
A
00001
01100
10110100BC
⊕
﹦
12
(4) 反演
00101
00100
10110100A BC
11011
11010
10110100A BC
)5,1(mF )7,6,4,3,2,0(mF
13
例：已知 F1(A,B,C,D) = A B + C D
F2(A,B,C,D) = B C + A D
。试求 )?(21 mFFF
解：用卡诺图分别表示函数 F1,F2,F,如下图所示。
14
AB
CD
AB
CD
⊕
﹦
00 01 11 10
00 0 0 1 0
01 1 1 1 0
11 1 1 0 0
10 1 0 0 1
AB
CD
00 01 11 10
00 1
01 1
11 1
10 1 1 1 1
00 01 11 10
00
01 1 1
11 1 1 1
10 1 1
F1 F2
F
15
。所以 )13,12,10,8,7,5,4,3(mF
3,卡诺图化简法
(1) 化简原理卡诺图上几何相邻和对称相邻的小方格所代表的最小项 逻辑相邻,可以利用合并相邻项公式,A B + A B = A 化简。
16
(2) 合并的对象卡诺图上几何相邻和对称相邻的、并构成矩形框的、填,1”的,2n 个小方格所代表的最小项
。(3) 合并项的写法一个卡诺圈对应一个乘积项，该乘积项由卡诺圈内各小方格对应的 取值相同的变量 组成，其中,,1”对应原变量,,0”对应反变量。
17
① 圈 2格，可消去 1个变量；
(4) 合并的规律
00001
00110
10110100A BC
F = A B
00001
10010
10110100A BC
F = A C
18
② 圈 4格，可消去 2个变量；
00111
00110
10110100A BC
F = B
00001
11110
10110100A BC
F = A
10011
10010
10110100A
BC
F = C
19
100110
011011
011001
100100
10110100AB CD
011010
100111
100101
011000
10110100AB CD
F = B D + B D F = B D + B D
20
011010
011011
011001
011000
10110100AB CD
100110
100111
100101
100100
10110100AB CD
③ 圈 8格，可消去 3个变量；
F = D F = D
21
(5) 化简的原则、步骤
① 名词解释结论：圈 2i 个相邻最小项，可消去 i 个变量 (i =
0,1,2…)
a.主要项必要项多余项
：主要项圈中含有独立的,1”
格
：主要项圈中无独立的,1”格
b.实质小项
22
00111
00110
10110100A BC
01101
00110
10110100A BC
B C 不是主要项
B 是主要项
B C 是多余项
A C,A B 是必要项
ABC,A B C是实质小项
23
② 圈卡诺圈的原则
a,排斥原则
b,闭合原则
c,最小原则
③ 化简的步骤
a,先圈孤立的,1格,；
b,再圈只有一个合并方向的,1格,；
c,圈剩下的,1格,。
24
注意：
a,圈中,1”格的数目只能为 2 i ( i = 0,1,2…),且是相邻的。
b,同一个,1” 格可被圈多次 ( A + A = A )。
c.每个圈中必须有该圈独有的,1”格。
d,首先考虑圈数最少，其次考虑圈尽可能大。
e,圈法不是唯一的。
25
(6) 化简举例例 2.6.14 化简函数
)15,14,10,9,7,6,5,2,0(),,,( mDCBAF
为最简与或式。
101010
110011
111001
100100
10110100AB CD F(A,B,C,D) = A B D +
A B D + A B C D +
B C + C D
图 2.6.13
26
例 2.6.16 化简函数为最简与或式。
)15,14,11,10,9,8,7,6,5,2,0(),,,( mDCBAF
111110
110011
111001
100100
10110100AB CD
F(A,B,C,D) = A B D +
B D + A B + B C
图 2.6.15
27
(7) 由最大项表达式求最简与或式例 2.6.18 已知函数 )15,13,7,5(),,,( MDCBAF
求最简与或式。
111110
100111
100101
111100
10110100AB CD
F(A,B,C,D) = B + D
图 2.6.18
28
(8) 由最小项表达式求最简或与式例 2.6.19 已知函数 )7,5,2,1,0(),,( mCBAF
求最简或与式。
01101
10110
10110100A BC
F(A,B,C,D) = ( A + C )
( A+ B + C )
图 2.6.19
29
四、非完全描述逻辑函数的化简
1,约束项、任意项、无关项及非完全描述逻辑函数
(1) 无关项约束项任意项
：不可能出现的取值组合所对应的最小项。
：出现以后函数的值可任意规定的取值组合所对应的最小项。
30
(2) 非完全描述逻辑函数
)7,3()5,2,1,0(),,(?mCBAF
例：一自动供水系统原理示意图如下所示，其中
F1为大功率供水机,F2为小功率供水机，自动控制过程为：当水位在 A线以下时,F1和 F2同时启动；当水位在 A线和 B线之间时，只有 F1启动；
当水位在 B线和 C线之间时，只有 F2启动；当水位在 C线以上时,F1和 F2停机。试用真值表和逻
31
A
B
C
F2F1
辑表达式描述该系统的控制功能。
32
解：
(1) 列真值表。由题意知 A,B,C为输入变量，
F1和 F2为函数。设水位在刻度线以上，相应的输入变量取 1；反之，取 0。供水机启动，相应的函数取 1，反之，取 0。
33
C B A F1 F2
0 0 0 1 1
0 0 1 1 0
0 1 0
0 1 1 0 1
(2) 逻辑函数表达式
)6,5,4,2()1,0(),,(1?mABCF
)6,5,4,2()3,0(),,(2?mABCF
C B A F1 F2
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1 0 0
34
2,非完全描述逻辑函数的化简无关项小格既可作为,0”格处理，也可作为,1”
格 处理，以使化简结果最简为准。
注意：
(1) 卡诺圈中不可全是无关项；
(2) 不可把无关项作为实质小项。
35
例 2.6.22 用卡诺图化简逻辑函数
)15,14,13,6,5,4(),,,( mDCBAF
0?BA
10
111011
101101
000000
10110100AB CD
F(A,B,C,D) = A B C + A D
+ B C D
图 2.6.22
36
3,无关项的运算规则
+ 0 1?
1?
× 0 1?
0
⊕ 0 1?
=?
表 2.6.1
37
五、最简与或式的转换
1,转换成两级与非式
F(A,B,C) = A C +A B = A C + A B = AC ·AB
2,转换成两级或非式
F(A,B,C) = A C +A B
01101
11000
10110100A BC
F(A,B,C) = (A+B)(A+C)
F(A,B,C) = A+B+A+C 图 2.6.23
38
3,转换成与或非式
01101
11000
10110100A BC
F(A,B,C) = A C +A B
F(A,B,C) = F(A,B,C) = A C +A B
图 2.6.23
39
作业题
2.12 (1) (3) (4)
2.13 (1)
2.14
