1
第五节 逻辑函数的表达式一、常见表达式,
F = AB + AC
= AB + AC
= AB · AC
= ( A + B ) · ( A + C )
与或式与非 — 与非式与或非式= AB + A C
2
= ( A + B ) ·( A + C ) 或与式
= ( A + B ) ·( A + C )
= A + B + A + C 或非 — 或非式二、标准表达式,
1.最小项、最小项表达式,
(1)最小项的概念及其表示
3
例 1：已知三变量函数 F(A,B,C),则 ABC就是一个最小项，通常写成 m5。
其中,m 表示最小项,5 表示最小项的编号
ABC ( 101 )2 ( 5 )10
例 2：已知四变量函数 F(A,B,C,D),则 BACD就是一个最小项，其最小项编号为多少？
解：把最小项中的变量从左到右按 A,B,C,D的顺序排列,得 ABCD，从而得 (0111)2，即 (7)10。
4
所以，此最小项的编号为 7，通常写成 m7。
(2)最小项表达式（标准与或式）
例,F(A,B,C) = A B C + A B C + A B C
),,( 420 mmm
)4,2,0(m
420 mmm
5
2.最大项、最大项表达式：
(1)最大项的概念及其表示其中,M 表示最小项,5 表示最大项的编号
( 101 )2 ( 5 )10
例 1：已知三变量函数 F(A,B,C),则 A + B + C
就是一个最大项，通常写成 M5。
A + B + C
6
例 2：已知四变量函数 F(A,B,C,D),则 B + C +
A + D 就是一个最大项，其最大项编号为多少？
解：把最大项中的变量从左到右按 A,B,C,D的顺序排列,得 A + B +C + D，从而得 (0111)2，即
(7)10。
所以，此最大项的编号为 7，通常写成 M7。
7
(2)最大项表达式（标准或与式）
例,F(A,B,C) = (A + B + C ) ·( A + B + C ) ·( A +
B + C )
),,( 420 MMM
420 MMM
)4,2,0(M
8
一变量函数，如 F(A)，共有,2个最小项
3,最小项和最大项的性质即,A,A
二变量函数，如 F(A,B)，共有,4个最小项三变量函数，如 F(A,B,C)，共有,8个最小项即,A B,A B,A B,A B
即,A B C,A B C,A B C,A B C
A B C,A B C,A B C,A B C
结论,n变量函数，共有,2 n 个最小（大）项。
9
(1) 最小项的主要性质
① 对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为 1。
10
A B C A B C
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
能使最小项的值为 1的取值组合，称为 与该最小项对应的取值组合 。
例,101 ABC 。
若把 与最小项对应的取值组合 看成二进制数，
则对应的十进制数就是该最小项的编号 i。
11
② 全部最小项之和恒等于 1。
即,
12
0
1
n
i
im
③ 任意两个最小项的乘积恒等于 0 。
即：
),12)(0(0 jijimm nji 且
12
即：
④ 任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最小项 。
),12)(0( jijimmm niji 且证明：
若自变量的取值组合使 mi = 1 ( 有且只有一组 )，
则,iji mmm 1
若自变量的取值组合使 mi = 0 ( 其余 2 n -1组 )，
则,iji mmm 0
所以，等式成立。
13
(2) 最大项的主要性质,
① 对任何一个最大项，只有一组变量的取值组合，使它的值为 0。
14
A B C A+B+C
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
能使最大项的值为 0的取值组合，称为 与该最大项对应的取值组合 。
若把 与最大项对应的取值组合 看成二进制数，
则对应的十进制数就是该最大项的编号 i。
例,101 A+B+C 。
15
② 全部最大项之积恒等于 0。
即,012
0
n
i
iM
③ 任意两个最大项的和恒等于 1。
即,),12)(0(1 jijiMM n
ji 且
④ 任一最大项与另一最大项非之和恒等于该最大项 。
即,),12)(0( jijiMMM n
iji 且
16
4,几个关系式
(1) 编号相同的最小项和最大项互补。
即：
iiii MmMm 或例如：三变量函数 F(A,B,C)的 m5,M5 对 A,B,C
的 8组取值组合，其取值如下：
17
A B C A B C（ m5 )
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
A B C A+B+C(M5)
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
18
以外的所有正整数）中除了为（ jk n )12(~0?
kj mFmF 则若,)2(
证明：
即上述关系式成立。
1 kj mm因为
kj
kj
kj
mm
mm
mm
所以时，当时，当
01
10
19
),4,2,1(),,( mCBAF例：
)7,6,5,3,0(mF则
kj Mm)3(
以外的所有正整数）中除了为（ jk n )12(~0?
),4,2,1(),,( mCBAF例：
)7,6,5,3,0(mFF则
)7,6,5,3,0(M
20
jj MFmF,则若)4(
))12((
)5(
jk
mFmF
n
kj
,则若证明：
根据反演规则和对偶规则之间的关系可知,F中的原、反变量互换，即得到 F′。
所以,F 和 F′中包含的最小项的个数是相等的，
且对应的最小项的编号之和为 ( 2n-1 )。
21
即上述关系式成立。
例 1：若 )6,4,3(),,( mCBAF
= A B C + A B C + A B C
则 F′(A,B,C) = A B C + A B C + A B C
)1,3,4(m
例 2：若 )6,4,3(),,( mCBAF
则 )?(mF
解：,)7,5,2,1,0( mF )7,6,5,2,0(mF
22
5,由一般表达式写出最小 (大 )项表达式的方法：
一般表达 式与或式或与式
A + A = 1 最小项表达式
A · A = 0 最大项表达式例 1：
式。展开成最小项之和的形试将 ABCBAF?),,(
解,F(A,B,C) = AB( C + C) = ABC + ABC
)7,6(m
23
例 2：
最大项之积的形式。
展开成试将 ACABCBAF),,(
解,F(A,B,C) = AB+AC = A(B+C)
= ( A + B B + C C ) ( A A + B + C )
( A + B + C ) ·( A + B + C )
= ( A + B B + C ) ·( A + B B + C) ·
= ( A + B + C ) ( A + B + C ) ( A + B + C ) (
A + B + C ) ( A + B + C )
)7,6,5,4,3( m
24
6,由真值表写出最小（大）项表达式的方法
(1) 最小项表达式是真值表中所有使函数值为 1的取值组合所对应的各最小项之和。
例 2.5.3 试将表 2.5.2 真值表所表示的逻辑函数分别用最小项表达式和最大项表达式表示。
(2) 最大项表达式是真值表中所有使函数值为 0的取值组合所对应的各最大项之积。
25
A B F
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 0
解：
最小项表达式：
= m0+m2
最大项表达式：
= M1·M3
F(A,B) = ( A + B ) ·( A+ B )
F(A,B) = A B + A B
表 2.5.2
26
第六节 逻辑函数的化简一、化简的意义和最简的标准,
1.化简的意义（目的）,
节省元器件；提高工作可靠性
2,化简的目标,
最简与或式 或者 最简或与式
3.最简的标准,
(1) 项数最少 (2) 每项中的变量数最少 (3)要求电路的工作速度较高时，优先考虑级数最少
27
二、公式法
1.与或式的化简
(1) 相邻项合并法利用合并相邻项公式,A B + A B = A
例 2,F = A ( B C + B C ) + A ( B C + B C )
= A
例 1,F = A B + C D + A B + C D
= A + D
= ( A B + A B ) + ( C D + C D )
28
(2) 消项法
= A B
利用消项公式 A + AB = A 或多余项公式
A B + A C + B C = A B + A C
例 1,F = A B + A B C + A B D
= A B + A B ( C + D )
例 2,F = A C + C D + A D E + A D G
= A C + C D
29
(3) 消去互补因子法利用 消去互补因子公式 A + AB = A + B
例 1,F = A B + A C + B C
= A B + C
= A B + A B C
例 2,F = A B + A B + A B C D + A B C D
= A B + A B + C D ( A B + A B )
= A B + A B + C D
(4) 综合法
30
结论：先找公共因子，再找互补因子合并相邻项公式 AB + AB = A
消项公式 A + AB = A
消去互补因子公式 A + AB = A + B
多余项（生成项）公式
AB + AC + BC = AB +AC
31
二、或与式的化简,
方法,二次对偶法
F
或与式
（未化简）
与或式
（进行化简）
或与式
（已化简）
F′ F
32
解,F ′= A B C + A B C
例：把 F(A,B,C) = ( A + B + C )( A + B + C )化为最简或与式。
= A B
F = ( F′) ′= A + B
33
作业题
2.1
2.8 (1)
2.10 (1)
2.11 (1)
第五节 逻辑函数的表达式一、常见表达式,
F = AB + AC
= AB + AC
= AB · AC
= ( A + B ) · ( A + C )
与或式与非 — 与非式与或非式= AB + A C
2
= ( A + B ) ·( A + C ) 或与式
= ( A + B ) ·( A + C )
= A + B + A + C 或非 — 或非式二、标准表达式,
1.最小项、最小项表达式,
(1)最小项的概念及其表示
3
例 1：已知三变量函数 F(A,B,C),则 ABC就是一个最小项，通常写成 m5。
其中,m 表示最小项,5 表示最小项的编号
ABC ( 101 )2 ( 5 )10
例 2：已知四变量函数 F(A,B,C,D),则 BACD就是一个最小项，其最小项编号为多少？
解：把最小项中的变量从左到右按 A,B,C,D的顺序排列,得 ABCD，从而得 (0111)2，即 (7)10。
4
所以，此最小项的编号为 7，通常写成 m7。
(2)最小项表达式（标准与或式）
例,F(A,B,C) = A B C + A B C + A B C
),,( 420 mmm
)4,2,0(m
420 mmm
5
2.最大项、最大项表达式：
(1)最大项的概念及其表示其中,M 表示最小项,5 表示最大项的编号
( 101 )2 ( 5 )10
例 1：已知三变量函数 F(A,B,C),则 A + B + C
就是一个最大项，通常写成 M5。
A + B + C
6
例 2：已知四变量函数 F(A,B,C,D),则 B + C +
A + D 就是一个最大项，其最大项编号为多少？
解：把最大项中的变量从左到右按 A,B,C,D的顺序排列,得 A + B +C + D，从而得 (0111)2，即
(7)10。
所以，此最大项的编号为 7，通常写成 M7。
7
(2)最大项表达式（标准或与式）
例,F(A,B,C) = (A + B + C ) ·( A + B + C ) ·( A +
B + C )
),,( 420 MMM
420 MMM
)4,2,0(M
8
一变量函数，如 F(A)，共有,2个最小项
3,最小项和最大项的性质即,A,A
二变量函数，如 F(A,B)，共有,4个最小项三变量函数，如 F(A,B,C)，共有,8个最小项即,A B,A B,A B,A B
即,A B C,A B C,A B C,A B C
A B C,A B C,A B C,A B C
结论,n变量函数，共有,2 n 个最小（大）项。
9
(1) 最小项的主要性质
① 对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为 1。
10
A B C A B C
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
能使最小项的值为 1的取值组合，称为 与该最小项对应的取值组合 。
例,101 ABC 。
若把 与最小项对应的取值组合 看成二进制数，
则对应的十进制数就是该最小项的编号 i。
11
② 全部最小项之和恒等于 1。
即,
12
0
1
n
i
im
③ 任意两个最小项的乘积恒等于 0 。
即：
),12)(0(0 jijimm nji 且
12
即：
④ 任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最小项 。
),12)(0( jijimmm niji 且证明：
若自变量的取值组合使 mi = 1 ( 有且只有一组 )，
则,iji mmm 1
若自变量的取值组合使 mi = 0 ( 其余 2 n -1组 )，
则,iji mmm 0
所以，等式成立。
13
(2) 最大项的主要性质,
① 对任何一个最大项，只有一组变量的取值组合，使它的值为 0。
14
A B C A+B+C
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
能使最大项的值为 0的取值组合，称为 与该最大项对应的取值组合 。
若把 与最大项对应的取值组合 看成二进制数，
则对应的十进制数就是该最大项的编号 i。
例,101 A+B+C 。
15
② 全部最大项之积恒等于 0。
即,012
0
n
i
iM
③ 任意两个最大项的和恒等于 1。
即,),12)(0(1 jijiMM n
ji 且
④ 任一最大项与另一最大项非之和恒等于该最大项 。
即,),12)(0( jijiMMM n
iji 且
16
4,几个关系式
(1) 编号相同的最小项和最大项互补。
即：
iiii MmMm 或例如：三变量函数 F(A,B,C)的 m5,M5 对 A,B,C
的 8组取值组合，其取值如下：
17
A B C A B C（ m5 )
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
A B C A+B+C(M5)
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
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以外的所有正整数）中除了为（ jk n )12(~0?
kj mFmF 则若,)2(
证明：
即上述关系式成立。
1 kj mm因为
kj
kj
kj
mm
mm
mm
所以时，当时，当
01
10
19
),4,2,1(),,( mCBAF例：
)7,6,5,3,0(mF则
kj Mm)3(
以外的所有正整数）中除了为（ jk n )12(~0?
),4,2,1(),,( mCBAF例：
)7,6,5,3,0(mFF则
)7,6,5,3,0(M
20
jj MFmF,则若)4(
))12((
)5(
jk
mFmF
n
kj
,则若证明：
根据反演规则和对偶规则之间的关系可知,F中的原、反变量互换，即得到 F′。
所以,F 和 F′中包含的最小项的个数是相等的，
且对应的最小项的编号之和为 ( 2n-1 )。
21
即上述关系式成立。
例 1：若 )6,4,3(),,( mCBAF
= A B C + A B C + A B C
则 F′(A,B,C) = A B C + A B C + A B C
)1,3,4(m
例 2：若 )6,4,3(),,( mCBAF
则 )?(mF
解：,)7,5,2,1,0( mF )7,6,5,2,0(mF
22
5,由一般表达式写出最小 (大 )项表达式的方法：
一般表达 式与或式或与式
A + A = 1 最小项表达式
A · A = 0 最大项表达式例 1：
式。展开成最小项之和的形试将 ABCBAF?),,(
解,F(A,B,C) = AB( C + C) = ABC + ABC
)7,6(m
23
例 2：
最大项之积的形式。
展开成试将 ACABCBAF),,(
解,F(A,B,C) = AB+AC = A(B+C)
= ( A + B B + C C ) ( A A + B + C )
( A + B + C ) ·( A + B + C )
= ( A + B B + C ) ·( A + B B + C) ·
= ( A + B + C ) ( A + B + C ) ( A + B + C ) (
A + B + C ) ( A + B + C )
)7,6,5,4,3( m
24
6,由真值表写出最小（大）项表达式的方法
(1) 最小项表达式是真值表中所有使函数值为 1的取值组合所对应的各最小项之和。
例 2.5.3 试将表 2.5.2 真值表所表示的逻辑函数分别用最小项表达式和最大项表达式表示。
(2) 最大项表达式是真值表中所有使函数值为 0的取值组合所对应的各最大项之积。
25
A B F
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 0
解：
最小项表达式：
= m0+m2
最大项表达式：
= M1·M3
F(A,B) = ( A + B ) ·( A+ B )
F(A,B) = A B + A B
表 2.5.2
26
第六节 逻辑函数的化简一、化简的意义和最简的标准,
1.化简的意义（目的）,
节省元器件；提高工作可靠性
2,化简的目标,
最简与或式 或者 最简或与式
3.最简的标准,
(1) 项数最少 (2) 每项中的变量数最少 (3)要求电路的工作速度较高时，优先考虑级数最少
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二、公式法
1.与或式的化简
(1) 相邻项合并法利用合并相邻项公式,A B + A B = A
例 2,F = A ( B C + B C ) + A ( B C + B C )
= A
例 1,F = A B + C D + A B + C D
= A + D
= ( A B + A B ) + ( C D + C D )
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(2) 消项法
= A B
利用消项公式 A + AB = A 或多余项公式
A B + A C + B C = A B + A C
例 1,F = A B + A B C + A B D
= A B + A B ( C + D )
例 2,F = A C + C D + A D E + A D G
= A C + C D
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(3) 消去互补因子法利用 消去互补因子公式 A + AB = A + B
例 1,F = A B + A C + B C
= A B + C
= A B + A B C
例 2,F = A B + A B + A B C D + A B C D
= A B + A B + C D ( A B + A B )
= A B + A B + C D
(4) 综合法
30
结论：先找公共因子，再找互补因子合并相邻项公式 AB + AB = A
消项公式 A + AB = A
消去互补因子公式 A + AB = A + B
多余项（生成项）公式
AB + AC + BC = AB +AC
31
二、或与式的化简,
方法,二次对偶法
F
或与式
（未化简）
与或式
（进行化简）
或与式
（已化简）
F′ F
32
解,F ′= A B C + A B C
例：把 F(A,B,C) = ( A + B + C )( A + B + C )化为最简或与式。
= A B
F = ( F′) ′= A + B
33
作业题
2.1
2.8 (1)
2.10 (1)
2.11 (1)
