Wu Chong-shi a0a1a2 a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12 ( a13) a141a15 a16a17a18 a19a20a21a22a23a24a25a26a27a28 ( a29) §7.1 a30a31a32a33a34 Laurent a35a36 a37a38a39a40a41a42a43a44a45a46a47a48 Taylor a49a50a51a52 a53a54a55a56a57a58a59 a44a60a47a61a62 a49a50a63a64a65 a40a66 a67 a54a68a69a70Laurent a49a50 a66 a71a72 7.1 (Laurent) a73 a39a40f(z) a44a74 b a75a76a77a78a79 a80a81a82R 1 ≤|z ?b|≤ R2 a83a84a85 a45a46 a52 a86a87a88 a79 a82a89 a78a90a91z a47 a52f(z)a43a74a92a64a65 a40 a49a50a75 f(z) = ∞summationdisplay n=?∞ an(z ?b)n, R1 < |z ?b| < R2, a93a94 an = 12pii contintegraldisplay C f(ζ) (ζ ?b)n+1dζ, C a95a79a82a89a96a89a76a37a97a78a90a98a37a99a100a101a102a103 (a104a1057.1)a66 a1067.1 Laurenta107a108 a109 a58 a79 a82 a78 a89 a51a110a111a112a113a114a75 C1 a115 C2 a52 a86a116a117a118a119a120a81a82 a78 Cauchya121a112a122a123a52 a53 f(z) = 12pii contintegraldisplay C2 f(ζ) ζ ?zdζ ? 1 2pii contintegraldisplay C1 f(ζ) ζ ?zdζ. a87a88C 2 a83 a78a121a112a52 a43a74a124a125a126a92a74a127 a78a128a129a52 1 2pii contintegraldisplay C2 f(ζ) ζ ?zdζ = ∞summationdisplay n=0 an(z ?b)n, |z ?b| < R2, an = 12pii contintegraldisplay C2 f(ζ) (ζ ?b)n+1dζ. a87a88C 1 a83 a78a121a112 ? 12pii contintegraldisplay C1 f(ζ) ζ ?zdζ = 1 2pii contintegraldisplay C1 f(ζ) (z ?b)?(ζ ?b)dζ = 1 2pii contintegraldisplay C1 f(ζ) z ?b ∞summationdisplay k=0 parenleftbiggζ ?b z ?b parenrightbiggk dζ = ∞summationdisplay k=0 (z ?b)?k?1 · 12pii contintegraldisplay C1 f(ζ)(ζ ?b)kdζ. a130?k?1 = n, k = ?(n + 1) a52 a86 ? 12pii contintegraldisplay C1 f(ζ) ζ ?zdζ = ?∞summationdisplay n=?1 (z ?b)n · 12pii contintegraldisplay C1 f(ζ) (ζ ?b)n+1dζ = ?∞summationdisplay n=?1 an(z ?b)n, |z ?b| > R1, a93a94 an = 12pii contintegraldisplay C1 f(ζ) (ζ ?b)n+1dζ. Wu Chong-shi §7.1 a3a4a5a6a7Laurenta11a12 a142a15 a131a132a133 a112 a101a134a135a136 a52 a68a53 f(z) = ∞summationdisplay n=?∞ an(z ?b)n, R1 < |z ?b| < R2, an = 12pii contintegraldisplay C f(ζ) (ζ ?b)n+1dζ. a67 a38 a128a129a137a75 a39a40 f(z)a44 a79 a82R 1 < |z ?b| < R2 a89 a78 Laurenta49a50a52 a93a94 a78a65 a40 a137a75 Laurenta65 a40a66 square a138a139a140a141a142a n a143a144a145a146a147a148a149a150a151a152a153a154a155 C a66 (a156a157a158a159 a138a160a161a162) a163a164a165 star Laurenta49a50a78 a99a166a167a43a74a168a169 a75f(z)a44R1 < |z ?b| < R2 a89 a84a85 a45a46a66 star a87a88Laurenta49a50 a136a170 a52a171 a40( a172a173a95a174a64a175a78a171 a40) an negationslash= 1n!f(n)(b). star f(z)a44a89a76C1 a94a176a45a46a66a37a177a170a136a52 a44C1 a83 a95 a53 a60a47 a78 a66 a178a88b a47 a52 a43a179 a95f(z)a78 a60a47 a52 a167a43a179 a95f(z)a78 a45a46a47a66 ? a180a129ba47a95C2 a89a78a181a37a60a47a52a86C1a43a74a182a183a184a185a52a186a187a188a189a68a190a630 < |z?b| < Ra66 a67a54a68a69a70f(z) a44a191a192a60a47b a78a193 a82a89 a78Laurenta49a50 a66 ? a51a76C2 a78a194a195 a167a43a74 a75∞a52a196 a178 a44∞a47a167 a186a187 a66 star Laurenta49a50a197 a53 a174a64a175a52a198 a53a199 a64a175 a66 ? a174a64a175 a44 a76C2 a89(|z?b| < R2)a200 a87a186a187 a52 a44C2 a89 a78a90a98 a37a38a100 a81a82a94 a37a201 a186a187 a52a137 a75Laurenta65 a40 a78a174 a86a133 a112a202 ? a199a64a175 a44 a76C1 a51(|z?b| > R1)a200 a87a186a187 a52 a44C1 a51a78a90a98 a37a38a100 a81a82a94 a37a201 a186a187 a52a137 a75Laurenta65 a40 a78a203 a57a133 a112 a66 ? a132a133a112 a101a135a136 a52 a68a204 a63Laurenta65 a40 a52 a44 a79 a82 R1 < |z ?b| < R2 a89 a200 a87a186a187 a52 a44 a79 a82a89 a78a90a98 a37a38a100 a81a82a94 a37a201 a186a187 a66 ? a205R1 = 0a54a52Laurenta65 a40 a78a203 a57a133 a112 a68a206a207a208a209 a42f(z)a44z = ba47 a78 a60a210a211a66 Wu Chong-shi a0a1a2 a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12 ( a13) a143a15 star Laurent a212a213a214a215a216a217 a73f(z)a44a79a82R1 < |z ?b| < R2 a89a53a132a38Laurenta65 a40 a52 f(z) = ∞summationdisplay n=?∞ an(z ?b)n = ∞summationdisplay n=?∞ aprimen(z ?b)n. a132a218a219a220 a74(z ?b)?k?1 a52a221a79 a82a89a96a89 a76 a37a97 a78a90 a37 a189a222C a121a112(a67a132a38a65a40a44a189a222 a83a223 a224 a37a201 a186a187 a52a225a226 a43a74a227 a175a121a112) a52 a86a228a88 contintegraldisplay C (z ?b)n?k?1dz = 2piiδnk, a229a53a k = aprimek a66a225a75ka90a98a52 a229a53 ak = aprimek, k = 0,±1,±2,···. a172a230 a69Laurent a49a50a78a181 a37a211a66 a231a232a233a234Laurent a235a236a237a238a216a239a240a241a242a242a243a244a52a245a246a247a248a249a236a243a244(a250a251a252a253a254a249a236)a66 Wu Chong-shi §7.2 Laurenta255 a6a0a1a2a3 a144a15 §7.2 Laurent a4a33a5a6a7a8 a9 Laurent a10a11a52a12a13a14a15a16a17 a143a144 a9a141a142 (a138a18a19a20a21 a149a150a147a148 a52 a152a22a23a24a25a26a27 a146 )a66a28a29a30a31a52a32a33 a9 Laurent a10a11 a146a34a35a36a37 a66 a38a39a40a142a41a42a43a44a45a46 a146 Laurenta10a11 a23a47a152a146 a52a48 a29 a52 a49a50 a17a157a158 a36a37 a52a51 a19a52a53 a155 a41a138a54a44a45a46a55a56a53 f(z) a146a57a58 a142 a52a59a60a61 a152 a43 a23 f(z) a146 Laurenta10a11 a66 Taylora10a11 a145a62a63a146a36a37 a52a13a64a33a65 a146a66a67 a52a68a12a13a69a17a70 a9 Laurent a10a11 a66 a71 7.1 a72 1 z(z ?1) a440 < |z| < 1 a89 a115 |z| > 1 a89a78a49a50a123a66 a73 1 z(z ?1) a440 < |z| < 1 a89 a78a49a50 a80 a123 a37a74 a95 ∞summationtext n=?∞ anzn a66a75a74 1 z(z ?1) = ? 1 z 1 1?z = ? 1 z ∞summationdisplay n=0 zn = ? ∞summationdisplay n=0 zn?1 = ? ∞summationdisplay n=?1 zn, 0 < |z| < 1. a167a43a74a92 a133 a112a112a123a78a76a77 a165 1 z(z ?1) = ? 1 z ? 1 1?z = ? 1 z ? ∞summationdisplay n=0 zn = ? ∞summationdisplay n=?1 zn. 1 z(z ?1) a44|z| > 1 a89 a78Laurenta49a50 a80 a123 a167 a95 ∞summationtext n=?∞ anzn a52 1 z(z ?1) = 1 z2 1 1? 1z = 1z2 ∞summationdisplay n=0 parenleftbigg1 z parenrightbiggn = ?∞summationdisplay n=?2 zn, |z| > 1. a138a139a78a79a80a53 a52a81 a152 a54a40a142a41a49 a81 a146a82 a45a46 a146 Laurenta10a11 a23a83 a49a84 a81 a146 a66 1/z(z?1) a410 < |z| < 1 a46 a146 Laurenta10a11a51a33 a152 a54a85 a57a86 a52 a87a41 |z| > 1 a46 a146 Laurenta10a11a33a88a89 a90a54a85 a57a86 a52a91a92a32a33a93 a57a86 a66 a71 7.2 a92a94a74 a171 a40 a77a72 cotza44z = 0a193 a82a89 a78Laurenta49a50 a66 a73 a94a74 a171 a40 a77a95 a179a92 a88a53 a183a38 a199 a64a175 (a174a64a175)a78a96 a80 a66 cotz = ∞summationdisplay n=?1 b2n+1z2n+1. (a156a157a158a51a33 a152 a54a85 a57a86 a52 a138a54 a150a97 a41 5.6 a98a99 a50 a66) cosz = sinz ∞summationdisplay n=?1 b2n+1z2n+1, ∞summationdisplay n=0 (?)n (2n)!z 2n = ∞summationdisplay k=0 (?)k (2k + 1)!z 2k+1 ∞summationdisplay l=0 b2l?1z2l?1 = ∞summationdisplay k=0 ∞summationdisplay l=0 (?)k (2k + 1)!b2l?1z 2(k+l) = ∞summationdisplay n=0 bracketleftBigg nsummationdisplay l=0 (?)n?l (2n?2l + 1)!b2l?1 bracketrightBigg z2n. Wu Chong-shi a0a1a2 a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12 ( a13) a145a15 a228a100a69a70a101a102a103 a171 nsummationdisplay l=0 (?)l (2n?2l + 1)!b2l?1 = 1 (2n)!. a227a104 a72 a45 a52a172 a69 n = 0 : b?1 = 1; n = 1 : 13!b?1 ? 11!b1 = 12!, b1 = ?13; n = 2 : 15!b?1 ? 13!b1 + 11!b3 = 14!, b3 = ? 145; n = 3 : 17!b?1 ? 15!b1 + 13!b3 ? 11!b5 = 16!, b5 = ? 2945; ... a75a74 cotz = 1z ? 13z ? 145z3 ? 2945z5 ?···. a116a117cotz a78 a60a47 a112a105a52 a43a106a107 a100 a65 a40 a78 a186a187a188a189 a75 0 < |z| < pia66 a108a109a55 a43a74a110a92 a65 a40a41 a77 a66 cotz = 1tanz = 1 z + 13z3 + 215z5 + 17315z7 +··· = 1z 1 1 + 13z2 + 215z4 + 17315z6 +··· = 1z bracketleftBig 1? parenleftbigg1 3z 2 + 2 15z 4 + 17 315z 6 +··· parenrightbigg + parenleftbigg1 3z 2 + 2 15z 4 + 17 315z 6 +··· parenrightbigg2 ? parenleftbigg1 3z 2 + 2 15z 4 + 17 315z 6 +··· parenrightbigg3 + parenleftbigg1 3z 2 + 2 15z 4 + 17 315z 6 +··· parenrightbigg4 ?+··· bracketrightBig = 1z bracketleftBig 1? 13z2 + parenleftbigg ? 215 + 19 parenrightbigg z4 + parenleftbigg ? 17315 + 2× 13 × 215 ? 127 parenrightbigg z6 +··· bracketrightBig = 1z bracketleftbigg 1? 13z2 ? 145z4 ? 2945z6 ?··· bracketrightbigg = 1z ? 13z ? 145z3 ? 2945z5 +···. Wu Chong-shi §7.2 Laurenta255 a6a0a1a2a3 a146a15 a111a112a113 a236a214 Laurent a212a213 a71 7.3 a72 a39a40ln z ?2 z ?1 a441 < |z| < 2 a114 2 < |z| < ∞a89a78a64a65 a40 a49a50 a66 a73 a108a109a94a115 a74 a78a49a50 a81a82 a95a79 a80a81a82 a52 a75a74 a52a180a129 a179a48 a64a65 a40 a49a50a78a116a52 a69a70 a78 a37a74 a95Laurent a65 a40a66 a39a40ln z ?2 z ?1 a53a132 a38a117a47 a165 z = 1 a115 z = 2a52 a229 a44 a79 a82 1 < |z| < 2 a89a176 a43a179a48Laurent a49a50 a66 a44 a79 a822 < |z| < ∞a89 a52 a39a40ln z ?2 z ?1 a95a84a85 a45a46 a78a52 a118a119a120a121a122a123a124 a74 a84a85 a112 a117a125 a52a76 a43a48 Laurenta49a50 a66a126 a180a52a127 a124 a74a44a128a103 a83a129 arg(z ?2)?arg(z ?1) = pia52 a86 ln z ?2z ?1 vextendsinglevextendsingle vextendsinglevextendsingle z=∞ = 0. a88 a95 a53 ln z ?2z ?1 = ln 1?2/z1?1/z = ln parenleftbigg 1? 2z parenrightbigg ?ln parenleftbigg 1? 1z parenrightbigg = bracketleftBigg ?2z ? 12 parenleftbigg2 z parenrightbigg2 ? 13 parenleftbigg2 z parenrightbigg3 ?··· bracketrightBigg ? bracketleftBigg ?1z ? 12 parenleftbigg1 z parenrightbigg2 ? 13 parenleftbigg1 z parenrightbigg3 ?··· bracketrightBigg = ? 1z ? 32 1z2 ? 73 1z3 ?···? 2 n ?1 n 1 zn ?···. a71 7.4 a72exp braceleftbiggz 2 parenleftbigg t? 1t parenrightbiggbracerightbigg a440<|t|<∞ a89 a78Laurenta49a50 a66 a73 a92 a65 a40 a220 a77 a66 a225a75 ezt/2 = ∞summationdisplay k=0 parenleftBigz 2 parenrightBigk tk k!, |t| < ∞, e?z/2t = ∞summationdisplay l=0 parenleftBigz 2 parenrightBigl (?)l l! parenleftbigg1 t parenrightbiggl , vextendsinglevextendsingle vextendsingle1t vextendsinglevextendsingle vextendsingle < ∞a172|t| > 0, a75a74 exp braceleftbiggz 2 parenleftbigg t? 1t parenrightbiggbracerightbigg = ∞summationdisplay k=0 parenleftBigz 2 parenrightBigk tk k! ∞summationdisplay l=0 parenleftBigz 2 parenrightBigl (?)l l! parenleftbigg1 t parenrightbiggl = ∞summationdisplay k=0 ∞summationdisplay l=0 (?)l k!l! parenleftBigz 2 parenrightBigk+l tk?l = ∞summationdisplay n=0 bracketleftBig ∞summationdisplay l=0 (?)l l!(l + n)! parenleftBigz 2 parenrightBig2l+n bracketrightBig tn + ?∞summationdisplay n=?1 bracketleftBig ∞summationdisplay l=?n (?)l l!(l + n)! parenleftBigz 2 parenrightBig2l+nbracketrightBig tn = ∞summationdisplay n=?∞ Jn(z)tn, Wu Chong-shi a0a1a2 a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12 ( a13) a147a15 a93a94 Jn(z) = ?? ??? ?? ??? ??? ∞summationdisplay l=0 (?)l l!(l + n)! parenleftBigz 2 parenrightBig2l+n , n = 0,1,2,···; ∞summationdisplay l=?n (?)l l!(l + n)! parenleftBigz 2 parenrightBig2l+n , n = ?1,?2,?3,··· a137a75na130Bessela39a40a66 a180a129 a182a131a132a47 a95 a39a40f(z) a78 a60a47 a52a226 a44a182a131a132a47 a78a193 a82a89 a84a85 a45a46 a78a116a52 a86 a43 a58f(z) a44∞ a47 a78a193 a82a89 a48Laurent a49a50(a53a54a68a133 a84a134 a170 a63 a44 ∞a47a48Laurent a49a50)a66 star a135a136f(z)a41∞a137 a146a138 a45a46(∞ a137 a28a31) a139a140a141a142a52a61a143a144a145a146a147a148 t = 1/za52 a40a142f(1/t)a41 t = 0a137 a146a138 a45a46(t = 0 a28a31) a139a140a141a142a52a48 a87 f parenleftbigg1 t parenrightbigg = ∞summationdisplay n=?∞ antn, 0 < |t| < r, f(z) = ∞summationdisplay n=?∞ anz?n, 1r < |z| < ∞. a138a139 a146 a55a56a149 a149 a12a13 a80 a154a23 a13∞a137a156a150a151 a146a152 a54a44a45 a66 star f(1/t) a146 Laurent a58 a142 a145 a93 a57a86 (a152a153a154 a142 a86 )a155 a148a23 a93a156a155 a148 a52 a85 a57a86a23a157 a19 a155 a148 a66 a48 a29 a52 a158a159a160 a69a161a52 a78a79a140f(z)a41z = ∞ a137 a138 a45a46 a146 Laurent a58 a142 a145 a52z a146 a85 a57a86a162 a156a93a156a155 a148 a52 a87 a93 a57a86a162 a156 a157 a19 a155 a148 a66 a93 a57a86 a158a159a163a164 a155 a40a142 f(z)a41∞ a137 a146a165a166a167 a66 a83a168 a78 a126 4 a115 a1266 a78a169a170a171a96 a80 a74 a114 a126 7 a52 a167a172a43a74a173 a63a95 a44∞a47 a193 a82a89Laurent a49a50 a66 Wu Chong-shi §7.3 a174a175 a5a6a7a176a177a178a179 a148a15 §7.3 a180a181a32a33a34a182a183a184a185 a71a186 a73f(z)a75 a84a85 a39a40( a187a188 a85 a39a40 a78 a37a38 a84a85 a112 a117) a52ba47a95 a59 a78 a60a47a66 a180a129 a44ba47a189 a44a37a38 a193 a82 a52 a44a190 a193 a82a89( a41ba47 a51)a52f(z)a191a191 a43a192 a52 a86 a137ba75f(z)a78 a191a192a60a47a66 a193 a191a192a60a47 a78 a126a194a66 a87a88 a39a401/sin(1/z) a52 a223 a224 a521/z = npia52a172z = 1/npia52n = 0,±1,±2,···a95 a59 a78 a60a47a66 a86z = 0 a95 a67a195 a60a47 a78a196 a47( a197 a183a47) a165 a44z = 0 a78a90a98 a37a38 a193 a82a94 a52 a198 a189a44a182a131 a188 a38a60a47 a52 a229z = 0 a95 a193 a191 a192a60a47a66 a180a129z = ba95 a84a85 a39a40f(z) a78 a191a192a60a47 a52 a86 a37a74a189a44a37a38 a79 a820 < |z?b| < R a52 a44a190 a79 a82a89 a52 f(z)a43a74a49a50a63Laurenta65 a40 a52 f(z) = ∞summationdisplay n=?∞ an(z ?b)n. a67a54 a43a179a199a200a201 a171a96a202 a165 star a65 a40 a49a50a123 a176a203a199 a64a175 a165 b a47 a137a75f(z)a78 a43a204a60a47a66 z = 0a68a95 a39a40 sinz z = ∞summationdisplay n=0 (?)n (2n + 1)!z 2n, |z| < ∞ a115 1 z ?cotz = 1 3z + 1 45z 3 + 2 945z 5 +···, |z| < pi a78 a43a204a60a47a66 star a65 a40 a49a50a123a95 a203a53 a183a38 a199 a64a175 a165 b a47 a137a75f(z)a78a197 a47a66 star a65 a40 a49a50a123 a203a53 a182a131 a188 a38 a199 a64a175 a165 b a47 a137a75f(z)a78 a108 a211a60a47a66 a205 a168 a112a113 a163a164 a39a40a44a201 a171 a60a47 a191a78a206a75 a66 a251a207a208a209 a228a88 a44a43a204a60a47 a191a52a65 a40 a49a50a123 a94a176a203a199 a64a175a52 a229 a65 a40 a176 a95a95 a44 a79 a82a89a186a187 a52a226 a210 a44 a79 a82 a78 a94 a77a52a172 a43a204a60a47 z = b a191 a167 a95 a186a187 a78 a66 arrowvertexdblarrowvertexdbl arrowdblbt a67a54 a78 a186a187a81a82 a95 a37a38 a76a52a76a77 a44a43a204a60a47 z = b a52a65 a40a44 a186a187 a76 a89 a78a90 a37a100 a81a82a94 a37a201 a186a187 a52arrowvertexdbl arrowvertexdblarrowdblbt a115 a39a40 a119a211 a52 lim z→b f(z) = lim z→b ∞summationdisplay n=0 an(z ?b)n = a0. Wu Chong-shi a0a1a2 a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12 ( a13) a149a15 a39a40a44a43a204a60a47 a191a78a197 a183 a85 a95 a53 a183 a78 a66 arrowvertexdbl arrowvertexdblarrowdblbt a92 a100 a197 a183 a85 a48 a75f(z)a78 a74a212 a52 f(z) = ? ? ? f(z), z negationslash= b; lim z→b f(z), z = b, a67a213a69a70 a78f(z) a44ba47a167 a68 a95 a45a46 a78 a42a66 a67 a174a95 a43a204a60a47 a67 a37 a137a214a78 a228 a136a66 a208a215 a52a180a129z = ba95 a39a40f(z) a78 a191a192a60a47 a52a226 a210f(z) a44z = b a78a193 a82a89a53 a111a52 a86z = b a95f(z) a78 a43a204a60a47a66 a109 a58f(z) a44z = b a78a193 a82a89 a48Laurent a49a50a52 f(z) = ∞summationdisplay n=?∞ an(z ?b)n, 0 < |z ?b|≤ ρ. a225a75 a44 a76C : |z ?b| = ρ a83 a52|f(z)| < M a52 a75a74 |an| = vextendsinglevextendsingle vextendsinglevextendsingle 1 2pii contintegraldisplay C f(z) (z ?b)n+1dz vextendsinglevextendsingle vextendsinglevextendsingle≤ 1 2pi contintegraldisplay C |f(z)| |z ?b|n+1|dz| < M ρn. a130ρ → 0 a52a172 a69 an = 0, n = ?1,?2,?3,···. square a216 a209 a39a40a44 a197 a47 a193 a82a89 a78 Laurenta49a50 a53a53 a183a38 a199 a64a175a52 f(z) = ∞summationdisplay n=?m an(z ?b)n = a?m(z ?b)?m + a?m+1(z ?b)?m+1 +···+ a?1(z ?b)?1 + a0 + a1(z ?b) +··· = (z ?b)?mbracketleftbiga?m + a?m+1(z ?b) + a?m+2(z ?b)2 +···bracketrightbig = (z ?b)?mφ(z), φ(z)a44z = ba47a114a93a193a82a89a95a45a46a78a52a?m negationslash= 0a66 ba47a68a137a75f(z)a78 ma130a197a47a66 a95 a57|z ?b| a217a218 a185 a52|f(z)|a43a74a219a88a90a91a174 a40 a52a172 lim n→b f(z) = ∞. a113 a236a237 a216 a209a242a214 a216a220a112a221∞ a52a222a223a224a52 a113 a236a237 a216 a209a225a226 a221a227a228 a214 a66 a208a215 a52a180a129ba95f(z)a78 a191a192a60a47 a52 a210 lim z→b f(z) = ∞a52 a86b a95f(z)a78a197 a47a66 a109 a225a75 lim z→b f(z) = ∞a52 a229 a205|z ?b| < δa54a52 |f(z)| > M, |f(z)|?1 < 1M = ε, Wu Chong-shi §7.3 a174a175 a5a6a7a176a177a178a179 a1410a15 a172 lim z→b 1 f(z) = 0. a88 a95 a43 a130 1 f(z) = (z ?b) mg(z), a93a94lim z→b g(z) negationslash= 0a52 a210g(z) a44z = b a114 a93 a193 a82a89 a45a46a66a75a74 f(z) = (z ?b)?m · 1g(z) = (z ?b)?mφ(z). square a229 a67 z = b a23 f(z) a146 ma230a231a137a52a156a232 a43 a23 1/f(z) a146 ma230a233a137 a66 a163 a30a234a235a66 a126a92 a67 a38 a103 a171a52 a43a74a236a237a238a239a240a241 a197 a47a66 ? z = npia951/sinza78 a37 a130a197 a47 a202 ? z = 2kpii, k = 0,±1,±2,···a951/parenleftbigez ?1parenrightbiga78 a37 a130a197 a47 a202 ? z = 1a951/(z ?1)2 a78a170a130a197 a47a66 a242 a217a208a209 a39a40a44 a108 a211a60a47 a193 a82a89 a78 Laurenta49a50a243 a53 a182a131 a188 a38 a199 a64a175 a66 ? a229 a67 z = b a23 a40a142f(z) a146a244a167a165 a137a52a156a245z → ba18a52f(z) a146 a231a246 a49a247a41 a66 ? a248a249a250a161a251a52z → b a146a36a144 a49 a81a52f(z)a12a13a252a253 a49 a81 a146 a142 a140 a66 a126 a180a52z = 0a95 a39a40 e1/z = ∞summationdisplay n=0 1 n! parenleftbigg1 z parenrightbiggn , 0 < |z| < ∞ a78 a108 a211a60a47a66 a205za74a176a219a76a123a254 a880a54 a52 a68a53a176a219 a78a128a129 a165 ? a245z a255a93a0a1a2 a39 0a18 a52e1/z →∞a202 ? a245z a255 a85 a0a1a2 a39 0a18 a52e1/z → 0a202 ? a245z a255a3a1a2 a39 0a18 a52e1/z a49a2 a39 a152 a54 a250 a43 a146 a142 a66 a4 a113a95a52 ? a245z a13a5a6±i/2npi, n = 1,2,3,···a2 a390a18 a52e1/z a7a1561 (a48 a87 a131a156a8a9a137)a202 ? a245z a13a5a6±i/(2n+1)pi, n = 0,1,2,3,···a2 a390a18 a52e1/z a7a156?1 (a48 a87 a13?1a156a8a9a137)a202 ? a245z a13a5a6±i/(2n+ 1/2)pi, n = 0,1,2,···a2 a39 0a18 a52e1/z a7a156?i (a48 a87 a13?ia156a8a9a137)a66 a43a74 a230 a122 a52 a87a88a108 a211a60a47z = ba136a170 a52a90a98a10 a74a37a38a40A( a53 a183 a187∞)a52 a198 a43a74a241 a70 a37a38 a11a12z n → ba52a173 a69f(z n) → A( a176 a230)a66 a13a14a123 a134a15a16a17a18a19a20a21a22a23a24a25a26a27a28a29a30a16a31a32 f(z) a33a34a35 (a36a37a35a38a39a40a41) a23a24a22a42a43a32a44a16a45 a40a33a46 a42a25a26a47a48a49 Wu Chong-shi a50a51a52 a53a54a55a56a57a58a59a60a61a62 ( a63) a6411a65 a66a67a68a69 a70a71a72a73z = 1/t a16a74 f(z)a75a76f(1/t)a77a78a79 a49 star a80t = 0 a21a81 f(1/t) a22 a33a82 a20a21a16a83 z = ∞ a21a81 f(z) a22 a33a82 a20a21a84 star a80t = 0 a21a81 f(1/t) a22a85a21a16a83 z = ∞ a21a81 f(z) a22a85a21a84 star a80t = 0 a21a81 f(1/t) a22a18a19a20a21a16a83 z = ∞ a21a81 f(z) a22a18a19a20a21a49 ? z = ∞ a81 1/(1 + z) a22 a33a82 a20a21a84 ? z = ∞ a81 1 + z2 a22a86a87a85a21a84 ? z = ∞ a81 ez, sinz, cosz, ··· a22a18a19a20a21a49 Wu Chong-shi §7.4 a53 a54 a88 a89 a6412a65 §7.4 a90 a91 a92 a93 a25a26a47a94a49 a95a96 a32 ∞ summationdisplay n=0 zn = 1 + z + z2 +··· ? a17 a34z = 0 a21a97a98a99a22a100a101a98 g1 : |z| < 1 a30a102a103a16a104a105a25a26a106a107a31a32a16a108a97 f1(z) a49 ? a17a98a48a16 a96 a32a81a109a110a22a49 a111a112a113 a26 a95a96 a32a105a114a115a16 a33a34a116a117 f1(z) a17a100a101a98a30a23a24a25a21a22a31a32a44a118a119a87a120a32a44a49 a47a121a16a17 z = i/2 a21a16a42 f1 parenleftbiggi 2 parenrightbigg = 1 + i2 + parenleftbiggi 2 parenrightbigg2 +···, fprime1 parenleftbiggi 2 parenrightbigg = 1 + 2· i2 + 3· parenleftbiggi 2 parenrightbigg2 +···, fprimeprime1 parenleftbiggi 2 parenrightbigg = 2·1 + 3·2· i2 + 4·3· parenleftbiggi 2 parenrightbigg2 +···, ... f(n)1 parenleftbiggi 2 parenrightbigg = n! + (n + 1)!1! i2 + (n + 2)!2! parenleftbiggi 2 parenrightbigg2 +···, ... a122a123 a16 f1(z) a17 z = i/2 a21a22 Taylora124a125 a81 ∞summationdisplay n=0 1 n!f (n) 1 parenleftbigg i 2 parenrightbigg · parenleftbigg z ? i2 parenrightbiggn . a113 a26 a96 a32a126a127a128a17a129a22a102a103a98 g2 : |z ?i/2| < r a30a102a103a16a128a104a105a130a25a26a106a107a31a32a16a108a97 f2(z) a49 a1317.2 a132a133a134a135 Wu Chong-shi a50a51a52 a53a54a55a56a57a58a59a60a61a62 ( a63) a6413a65 f1(z)a136f2(z)a137a138a139a140a141a142 star a143g1 a144 g2 a145a146a147a148a149 g1intersectiontextg2 a150a16 f1(z) ≡ f2(z) a49 a151a152a153 a16 f1(z) = 11?z, a36a37 f(n)1 parenleftbiggi 2 parenrightbigg = n!parenleftbigg 1? i2 parenrightbiggn+1, a154 a34 a16a128 a46a116a155 f2(z) = ∞summationdisplay n=0 1parenleftbigg 1? i2 parenrightbiggn+1 parenleftbigg z ? i2 parenrightbiggn = 11?z, vextendsinglevextendsingle vextendsinglevextendsinglez ? i 2 vextendsinglevextendsingle vextendsinglevextendsingle < √5 2 . star f1(z)a136f2(z)a156a157a158a159a160a161a162a163a164 (a1651/(1?z))a143a157a160 a148a149a150a145a166a167a168a49 ? a113a169 a26a105a114a115a170a42a119a171a22a42a172a173a174a175 g1 : |z| < 1 a176 g2 : |z ?(i/2)| < √5/2. ? a17a177a178a179a29 g1intersectiontextg2 a16 f1(z) ≡ f2(z) a49 star a113a180a181a182a183a184 a17a179a29 g1 a30a22 a95a96 a32 a117 a109a16 a155a185 a130a17a186a25a179a29 g2 a30a22a186a25 a95a96 a32a105a114a115a49 star a17 a169 a26a179a29a22a177a178a187a188 g1intersectiontextg2 a30a86a189a190a191a49 star a192a193 a113 a26a194a195a16 a181 a33a46a196a117a197a77 a22 a183a184 a173a174a16a198a199 a33a46a200a124a185a201 a26 z a202a203 a49 a204a205 a206 a31a32 f1(z) a17a179a29 g1 a30a106a107a16a31a32 f2(z) a17a179a29 g2 a30a106a107a16a207a17 g1 a208 g2 a22a177a178a179 a29 g1intersectiontextg2 a30a16 f1(z) ≡ f2(z) a16a83a209 f2(z) a97 f1(z) a17 g2 a30a22a106a107a210a211a84a212a213a16 f1(z) a81 f2(z) a17 g1 a30a22a106a107a210a211a49 ? a214a215a216a217a218a219 a145a220a221a16a222a223a224a225 a163a164 a145 a204a205 a149 a136a216a217a226a227 a49 a47a121a16 a112a96 a32a228a229a188 a183a184 a22a31a32a16a18 a77 a170a42a25 a183 a22a230 a112 a173a174a16 a70a71 a106a107a210a211a16 a33a46 a183a184 a117 a17 a231a232 a173a174a30a22a106a107a31a32a49 a153 a203 a22a47a94a233a16 a181 a155a185 a130a17a179a29 g1uniontextg2 a30a106a107a22a31a32 f(z) a16 f(z) = braceleftBigg f1(z), z ∈ g1; f2(z), z ∈ g2. a186a25a26 a152a234 a47a94a16 a181 a81 Γ a31a32a49 a235a236a112 a22a229a188 a183a184( a237 a17a238a239 a202a203 a106a107 )a117 a109a16 a240a71 a106a107a210a211a16 Wu Chong-shi §7.4 a53 a54 a88 a89 a6414a65 a182 a207 a155a185 a129a17a241 a202a203 a22 a183a184 ( a242a243 a244Γ a31a32a245 ) a49 ? a246a161a247a248a215a249a216a217a218a219 a145a250a251 a159a252a253a254a255a0 a145a1 a216 a250a251a49 a243a2 a25a3a49 a216a217a218a219 a145a4a5a6 a248a7a8 a250a251 star a216a217a218a219a9a10a11a12 a16a13a14a15a16 a163a164 a145a17 a69 a254a18 a49 a121a19a17 a95a96 a32 f1(z) a22a102a103a98 g1 a22a20a21 a153 a244 a22a23 a130a245a20a21a16 a24 a17a102a103a98a25 a153 a23a24a25a21a16 a26 a23 a24a27a22a28a29a30a170a42 f1(z) a22a20a21a16 a27a28 a16a17 g1 a30 a192a29a30Taylora124a125 a16 a26 a102a103a173a174a31a32 a33a46a196 a117g1 a49 star a216a217a218a219 a145a33a34 a159a10 a144a35a36 a137a140a142 a37a38 a32a39a40a41a210a211 (a185 a39a25a179a29 ) a22a42a19a81a43a190a39 a142 a70a71 a106a107a210a211 a155a185 a22a31a32a81a100a44a22a16a44a81 a40 a44a22 a142